Ôn Tập Chương 3 Toán 12: Nguyên Hàm, Tích Phân Và Ứng Dụng

1. Nguyên hàm

Ôn tập chương 3 toán 12 đại số có bao gồm lý thuyết về nguyên hàm. Cùng theo dõi ngay sau đây và ôn tập cùng VUIHOC nhé!

1.1 Các tính chất nguyên hàm

Tính chất 1

$(\int f(x)dx)'=f(x)$

$\int f'(x)dx=k\int f(x)dx$

Tính chất 2

$kf(x)dx=k\int f(x)dx$

Tính chất 3

 $\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$

1.2 Bảng giá trị nguyên hàm cơ bản

1.3 Phương pháp tính nguyên hàm

• Phương pháp đổi biến số 

Khi 

$\int f(u)du=F(u)+C$ đồng thời $u=u(x)$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì khi đó:

$\int f(u(x))u'(x)dx=F(u(x))+C$

Hệ quả của phương pháp đổi biến số: Với $u=ax+b(a\neq 0)$ thì $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$.

• Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Khi hai hàm số 

$u=u(x)$ và $v=v(x)$ có đạo hàm liên tục trên D thì khi đó:

$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx$

Phương pháp nguyên hàm từng phần thường được sử dụng để giải 2 dạng toán sau:

Dạng 1: $\int P(x).e^{ax+b}dx,\int P(x)sin(ax+b)dx,\int P(x)cos(ax+b)dx$

Cách giải: Đặt $u=P(x),dv=e^{ax+b}$ hoặc $dv=sin(ax+b)dx,dv=P(x)dx$

Dạng 2: $\int P(x)ln(ax+b)dx$

Cách giải: Đặt $u=ln(ax+b),dv=P(x)dx$

2. Tích phân

Tích phân là khái niệm được sử dụng nhiều trong toán học. Để thành thạo các phương pháp giải tích phân, các bạn học sinh cùng điểm qua một số tính chất thường gặp nhé!

2.1. Các tính chất 

Tính chất 1

$\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$

Tính chất 2

$\int_{a}^{b}(f(x)\pm g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx \pm \int_{a}^{b}g(x)dx$

Tính chất 3

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$

2.2. Phương pháp tính tích phân

• Phương pháp đổi biến số

Để tính tích phân: $I=\int_{a}^{b}g(x)dx$ ta thực hiện các bước:

Bước 1: Chọn biến số

• Phân tích $g(x)dx = f[u(x)]u'(x)dx=f[u(x)]d[u(x)]$

• Đặt $u = u(x)$

Bước 2: Thực hiện phép đổi cận

• Với $x = a$ thì $u = u(a)$

• Với $x = b$ thì $u = u(b)$

Bước 3: Khi đó $\int_{a}^{b}g(x)dx=\int_{u(a)}^{u(b)}f(u)du$

• Phương pháp tính tích phân từng phần

Nếu v(x) và uv(x) là 2 hàm số có đạo hàm liên tục trên |a,b| thì:

Áp dụng công thức trên ta có quy tắc tính $\int_{a}^{b}f(x)dx$ bằng phương pháp tích phân từng phần như sau:

+ Bước 1: Viết phương trình đạo hàm f(x)dx dưới dạng $udv = uv’dx$ bằng phương pháp chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại $dv = v’(x)dx$

+ Bước 2: Tính $d(u) = u’d(x)$ và $\int dv =\int v'(x)dx$

+ Bước 3: Tính $\int_{a}^{b}vdu=\int_{a}^{b}vu'dx$

+ Bước 4: Áp dụng công thức theo công thức 

3. Ứng dụng tích phân trong hình học

Trong hình học, tích phân sẽ được ứng dụng trong những trường hợp sau đây:

3.1 Tính diện tích hình phẳng

• Hình giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

$S=\int_{a}^{b}|f(x)|dx$

• Hình giới hạn bởi hai đường cong

$S=\int_{a}^{b}|f_{1}(x)-f_{2}(x)|dx$

3.2 Tính thể tích 

• Thể tích của vật thể

$V=\int_{a}^{b}S(x)dx$

• Thể tích của hình khối chóp và hình khối chóp cụt

$V=\int_{0}^{h}S(x)dx$ với $S(x)=B \frac{x^{2}}{h^{2}}$

3.3 Thể tích khối tròn xoay

$V=\pi \int_{a}^{b}f^{2}(x)dx$

4. Hướng dẫn giải bài tập SGK ôn tập chương 3 Toán 12

Để có thể ôn tập chương 3 toán đại 12 thật dễ dàng, các em học sinh cần tham khảo những dạng bài tập trong sách giáo khoa từ cơ bản đến nâng cao dưới đây:

Bài 1:

a) Phát biểu định nghĩa về nguyên hàm của f(x) trên một khoảng.

b) Phát biểu phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Cho ví dụ minh họa.

Lời giải:

a) Cho hàm số f(x) xác định trên tập K.

Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên tập K.

⇔ F’(x) = f (x) với mọi x ∈ K.

b)

+ Phương pháp nguyên hàm từng phần:

Nếu 2 hàm số v = v(x) và u = u(x) có đạo hàm liên tục trên tập K thì:

∫u(x).v’(x)dx = u(x).v(x) - ∫v(x).u’(x)dx

Dạng viết gọn: ∫udv = uv - ∫vdv.

 

Bài 2:

a) Nêu định nghĩa tích phân của hàm số f(x) trên một đoạn.

b) Nêu các tính chất của tích phân. Cho ví dụ minh họa.

Lời giải:

a) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].

F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Hiệu số F(b) – F(a) gọi là tích phân từ a đến b của f(x).

Kí hiệu là:

$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

b) Các tính chất

$\int_{a}^{a}f(x)dx=0$

$\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$

$\int_{a}^{b}k.f(x)dx=k.\int_{a}^{b}f(x)dx$

$\int_{a}^{b}(f(x)\pm g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx \pm \int_{a}^{b}g(x)dx$

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$

 

Bài 3: 

Tính nguyên hàm của các hàm số sau đây:

a. $f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)$

b. $f(x)=sin4x.cos2^{2}x$

Lời giải:

a. Có: $(x-)(1-2x)(1-3x)$

$=(x-1)(6x^{2}-5x+1)$

$=6x^{3}-11x^{2}+6x-1$

$\Rightarrow \int f(x)dx=\int (6x^{3}-11x^{2}+6x-1)dx$

$=6\frac{x^{4}}{4}-11\frac{x^{3}}{3}+3x^{2}-x+C$

$=\frac{3x^{4}}{2}-\frac{11x^{3}}{3}+3x^{2}-x+C$

b. sin4x.cos²2x

$=sin4x.\frac{cos4x+1}{2}$

$=\frac{1}{2}sin4x.cos4x+\frac{1}{2}sin4x$

$=\frac{1}{4}sin8x+\frac{1}{2}sin4x$

$\Rightarrow \int f(X)dx$

$=\int (\frac{1}{4}sin8x+\frac{1}{2}sin4x)dx$

$=\frac{1}{4}.\frac{1}{8}.(-cos8x)+\frac{1}{4}.\frac{1}{8}.(-cos4x)+C$

$=\frac{-cos8x}{32}-\frac{cos4x}{8}+C$

 

Bài 4: 

Tính:

a. $\int(2-x)sinx dx$

b. $\frac{(x+1)^{2}}{\sqrt{x}}dx$

Lời giải

a. Đặt $u = 2 - x$

$dv=sinx dx$       

$\Rightarrow du=-dx$

$v=-cosx$

ADCT tính phân từng phần

$\int (2-x)sinx dx$

$=(2-x)(-cosx)-\int cosxdx$

$=(x-2)cosx-sinx+C$

b. $\int \frac{(x+1)^{2}}{\sqrt{x}}dx=\int \frac{x^{2}+2x+1}{\sqrt{x}}dx$

$=\int x^{3/2}+2.x^{1/2}+x^{-1/2})dx$

$=\frac{2}{5}.x^{5/2}+2.\frac{2}{3}.x^{3/2}+2.x^{1/2}+C$

$=\sqrt{x}.(\frac{2}{5}x^{2}+\frac{4}{3}x+2)+C$

5. Một số bài tập trắc nghiệm ôn tập chương 3 Toán 12 có đáp án

Dưới đây là một số cách giải bài tập ôn tập chương 3 toán 12 có đầy đủ đáp án giúp các em học sinh hiểu và làm bài một cách tốt nhất. 

Bài 1: Tính nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}$

A. $\frac{1}{2}.ln \begin{vmatrix}\frac{1-x}{1+x}\end{vmatrix}+C$

B. $\frac{1}{2}.ln \begin{vmatrix}\frac{1+x}{1-x}\end{vmatrix}+C$

C. $2.ln \begin{vmatrix}\frac{1-x}{1+x}\end{vmatrix}+C$

D. $\frac{1}{2}.ln \begin{vmatrix}\frac{x-1}{1+x}\end{vmatrix}+C$

Giải: 

$\frac{1}{1-x^{2}}=\frac{1}{(1-x)(1+x)}$

$=\frac{1}{2}.\frac{1-x+1+x}{(1-x)(1+x)}$

$=\frac{1}{2}.(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x})$

$\Rightarrow \int f(x)dx=\frac{1}{2}.(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x})dx$

$=\frac{1}{2}(ln|1+x|-ln|1-x|)+C$

$=\frac{1}{2}.ln\begin{vmatrix}\frac{1+x}{1-x}\end{vmatrix}+C$

Đáp án B

 

Bài 2: Tính $\int \frac{e^{3x}+1}{e^{x}+1}dx$

A. $\frac{1}{2}.e^{2x}-e^{x}+x+C$

B. $e^{2x}-e^{x}+x+C$

C. $\frac{1}{2}.e^{x}-e^{x}+x+C$

D. $\frac{1}{2}.e^{2x}-e^{x}+C$

Giải

$\int \frac{e^{3x}+1}{e^{x}+1}dx$

$=\int \frac{(e^{x}+1)(e^{2x}-e^{x}+1)dx}{e^{x}+1}$

$=\int (e^{2x}-e^{x}+1)dx$

$=\frac{1}{2}.e^{2x}-e^{x}+x+C$

Đáp án A

 

Bài 3: Tính $\int \frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx$

A. $\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}-x\sqrt{x}+C$

B. $\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x-1}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$

C. $\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$

D. $\frac{2}{3}(x-1)\sqrt{x+1}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$

Giải:

$\int \frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx$

$=\int \frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}dx$

=$\int \frac{(\sqrt{x}+1-\sqrt{x})(\sqrt{x}+1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}+1+\sqrt{x}}$

=$\int (\sqrt{x}+1-\sqrt{x})dx$

=$\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$

Đáp án C

 

Bài 4: Tính $\int_{0}^{3}\frac{x}{\sqrt{x+1}}dx$

A. 8/3

B. 3/8

C. 2/9

D. 9/2

Giải

$\int_{0}^{3}\frac{x}{\sqrt{x+1}}dx$

=$\int_{0}^{3}\frac{x+1-1}{\sqrt{x+1}}dx$

=$\int_{0}^{3}(\sqrt{x+1}-\frac{1}{\sqrt{x+1}})dx$

=$\int_{0}^{3}((x+1)^{3/2}-2(x+1)^{1/2})dx$

=$\frac{4}{3}-(\frac{-4}{3})=\frac{8}{3}$

Đáp án A

 

Bài 5: Tính $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x}}$

A. $\frac{C}{\sqrt{1-x}}$

B. $C{\sqrt{1-x}}$

C. $-2{\sqrt{1-x}}+C$

D. $\frac{2}{\sqrt{1-x}}+C$

Đáp án: C 

 

Bài 6: Tính $\int 2^{\sqrt{x}}\frac{ln2}{\sqrt{x}}dx$, tìm kết quả sai

A. $2^{\sqrt{x+1}}+C$

B. $2(2^{\sqrt{x}}-1)+C$

C. $2(2^{\sqrt{x}}+1)+C$

D. $2^{\sqrt{x}}+C$

Đáp án: A

 

Bài 7. Tích phân $\int_{0}^{x}cos^{2}xsinx dx$

A. -⅔

B. ⅔

C. 3/2

D. 0

Đáp án: B 

 

Bài 8: Diện tích hình phẳng giới hạn bằng các đường cong

y = x³ và y = x⁵ bằng:

A. 0

B. -4

C. ⅙

D. 2

Đáp án: C 

 

Bài 9: Diện tích hình phẳng được giới hạn bằng các đường cong

$y=x+sin x$ và $y=x (0\leq x \leq 2\pi)$ bằng

A. -4

B. 4

C. 0

D. 1

Đáp án: B 

 

Bài 10: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y=\sqrt{x}$ và $y=x$ quay xung quanh trục Ox. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành bằng:

A. 0

B. $-\pi$

C. $\pi$

D. $\frac{\pi}{6}$

Đáp án: D

Trên đây là toàn bộ công thức và lý thuyết ôn tập chương 3 toán 12 và các dạng bài tập thường gặp. Các em học sinh có thể truy cập Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để luyện đề! Chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới.

>> Xem thêm: Toán 12 - Lý Thuyết & Phương Pháp Giải Bài Tập Toán Lớp 12 Đầy Đủ, Chi Tiết