Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác| Toán 8 chương trình mới

Tác giả Hoàng Uyên 08:43 23/04/2024 1,866 Tag Lớp 8

Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác có điều gì khác với các trường hợp bằng nhau của tam giác? Theo dõi bài học ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác để biết cách chứng minh hai tam giác đồng dạng.

Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác| Toán 8 chương trình mới

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác toán 8

1.1 Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

- Trường hợp đồng dạng cạnh - cạnh - cạnh: Nếu ba cạnh của hai tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

1.2 Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

- Trường hợp đồng dạng cạnh - góc - cạnh: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

- Chứng minh định lý:

Nếu A'B' = AB thì A'C' = AC. Do đó $\large \Delta$ A'B'C' = $\large \Delta$ ABC (c.g.c)

=> $\large \Delta$ A'B'C' $\large \sim$ $\large \Delta$ ABC.

Nếu A'B' $\neq$ AB thì không mất tính tổng quát, ta giả sử A'B' < AB. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = A'B'. Kẻ đường thẳng qua M song song với BC, cắt AC tại N.

Vì MN // BC nên $\large \Delta$ AMN $\large \sim$ $\large \Delta$ ABC. Do đó ta có:

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$

Kết hợp với AM = A'B' và giả thiết $\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}$ ta suy ra AN = A'C'.

Hai tam giác AMN và A'B'C' có: AM = A'B', $\widehat{A}=\widehat{A'}$ , AN = A'C'.

Vậy $\large \Delta$ AMN = $\large \Delta$ A'B'C' (c.g.c). Vì $\large \Delta$ AMN $\large \sim$ $\large \Delta$ ABC nên $\large \Delta$ A'B'C' $\large \sim$ $\large \Delta$ ABC.

1.3 Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

- Trường hợp đồng dạng góc - góc: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

- Chứng minh định lý:

Nếu A'B' = AB thì A'C' = AC. Do đó $\large \Delta$ A'B'C' = $\large \Delta$ ABC (g.c.g)

=> $\large \Delta$ A'B'C' $\large \sim$ $\large \Delta$ ABC.

Vì MN // BC nên $\large \Delta$ AMN $\large \sim$ $\large \Delta$ ABC. Do đó ta có:

$\large \widehat{AMN}=\widehat{ABC}=\widehat{A'B'C'}$

Hai tam giác AMN và A'B'C' có: AM = A'B', $\widehat{A}=\widehat{A'}$ , $\large \widehat{AMN}=\widehat{A'B'C'}$ .

Vậy $\large \Delta$ AMN = $\large \Delta$ A'B'C' (g.c.g). Vì $\large \Delta$ AMN $\large \sim$ $\large \Delta$ ABC nên $\large \Delta$ A'B'C' $\large \sim$ $\large \Delta$ ABC.

Duy nhất khóa học DUO tại VUIHOC dành riêng cho cấp THCS, bạn sẽ được học tập cùng các thầy cô đến từ top 5 trường chuyên toàn quốc. Nhanh tay đăng ký thôi bạn ơi!!!!

2. Bài tập về ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác toán 8

2.1 Bài tập về ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác toán 8 kết nối tri thức

Bài 9.5

Giả thiết a) suy ra hai tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.

Giả thiết c) suy ra hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

Các giả thiết b) và d) không suy ra hai tam giác đồng dạng.

Bài 9.6

Vì 6 + 12 + 15 = 33 (cm) và $\large \frac{4}{6}=\frac{8}{12}=\frac{10}{15}$ nên bộ ba trong câu a) là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa

mãn yêu cầu. Các bộ ba còn lại hoặc không có tổng bằng 33 cm hoặc không có tỉ lệ tương ứng với (4 :

8 : 10) nên không thể là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn yêu cầu.

Bài 9.7

Vì $\large \Delta$ A′B′C′ $\large \sim$ $\large \Delta$ ABC nên: $\large \frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}(1)$

và $\large \widehat{A'B'C'}=\widehat{ABC};\widehat{B'C'A'}=\widehat{BCA};\widehat{C'A'B'}=\widehat{CAB}(2)$

Hai $\large \Delta$ A'B'M' và $\large \Delta$ ABM có:

$\large \frac{A'M'}{BM}=\frac{\frac{B'C'}{2}}{\frac{BC}{2}}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{B'A'}{BA}$ (theo (1));

$\large \widehat{A'B'M'}=\widehat{A'B'C'}=\widehat{ABC}=\widehat{ABM}$ (theo (2)).

Do đó $\large \Delta$ A′M′B′ $\large \sim$ $\large \Delta$ AMB (c.g.c).

$\large \Rightarrow \frac{A'M'}{AM}=\frac{A'B'}{AB}(3)$

Tương tự $\large \Delta$ A′C′P′ $\large \sim$ $\large \Delta$ ACP và $\large \Rightarrow \frac{C'P'}{CP}=\frac{A'C'}{AC}(4)$

$\large \Delta$ A′B′N′ $\large \sim$ $\large \Delta$ ABN và $\large \Rightarrow \frac{B'N'}{BN}=\frac{A'B'}{AB}(5)$

Từ (1), (3), (4) và (5) suy ra $\large \frac{A'M'}{AM}=\frac{B'N'}{BN}=\frac{C'P'}{CP}$

Bài 9.8

Có AB = 12 cm , AN = 8 cm. Suy ra $\large \frac{AN}{AB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$ .

AC = 15 cm, AM = 10 cm. Suy ra $\large \frac{AM}{AC}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$

Suy ra $\large \frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}$ .

Xét hai tam giác ABC và tam giác ANM có:

$\large \frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC};\widehat{A}$ chung.

Do đó $\large \Delta$ ABC $\large \sim$ $\large \Delta$ ANM (c.g.c).

Bài 9.9

a) Xét tam giác ABN và tam giác ACM:

$\large \widehat{A}$ chung, $\large \widehat{ABN}=\widehat{ACM}$ (giả thiết)

Suy ra $\large \Delta$ ABN $\large \sim$ $\large \Delta$ ACM (g.g).

b) Vì $\large \Delta$ ABN $\large \sim$ $\large \Delta$ ACM (chứng minh trên) nên $\large \widehat{ANB}=\widehat{AMC}$ .

Lại có: $\large \widehat{ANB}+\widehat{CNB}=180^{o};\widehat{AMC}+\widehat{BMC}=180^{o}$ (kề bù)

=> $\large \widehat{CNB}=\widehat{BMC}$ .

Xét tam giác IBM và tam giác ICN có:

$\large \widehat{CNB}=\widehat{BMC}$ và $\large \widehat{IBM}=\widehat{ICN}$

Suy ra $\large \Delta$ IBM $\large \sim$ $\large \Delta$ ICN (g.g).

Suy ra $\large \frac{IB}{IC}=\frac{IM}{IN}$ Suy ra IB . IN = IC . IM.

Bài 9.10

Kí hiệu các điểm như hình vẽ trên.

Ta có: AB, EF, CD đôi một song song vì cùng vuông góc với BC (do dựng thẳng đứng).

Do đó $\large \Delta$ CEF $\large \sim$ $\large \Delta$ CAB và $\large \Delta$ BEF $\large \sim$ $\large \Delta$ BDC.

Suy ra $\large \frac{EF}{AB}=\frac{CF}{CB}$ và $\large \frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BC}$ .

Do đó: $\large \frac{EF}{CD}+\frac{EF}{AB} =\frac{BF}{BC}+\frac{CF}{CB}=\frac{BF+CF}{BC}=\frac{BC}{BC}$

Suy ra $\large \frac{EF(AB+CD)}{CD.BA}=1$

Vậy $\large h=EF=\frac{CD.AB}{AB.CD}=\frac{2.3}{3+2}=\frac{6}{5}=1,2(m)$

2.2 Bài tập về ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác toán 8 chân trời sáng tạo

Bài 1

a) Xét $\large \Delta$ AFE và $\large \Delta$ MNG có:

$\large \frac{AF}{MN}=\frac{b}{3b}=\frac{1}{3};\frac{FE}{NG}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3};\frac{AE}{MG}=\frac{c}{3c}=\frac{1}{3}$

Suy ra $\large \frac{AF}{MN}=\frac{FE}{NG}=\frac{AE}{MG}$

Vậy $\large \Delta$ AFE $\large \sim$ $\large \Delta$ MNG (c.c.c).

b) Tam giác AFE đồng dạng với tam giác MNG theo tỉ số $\large \frac{1}{3}$ nên tỉ số chu vi của hai tam giác đó cũng bằng $\large \frac{1}{3}$ .

Vậy chu vi tam giác MNG là: 15.3 = 45 (cm).

Bài 2

Chu vi tam giác ABC: AB + AC + BC = 19.

Tỉ số chu vi của hai tam giác ABC và A'B'C' là: $\large k=\frac{19}{66,5}=\frac{2}{7}$

$\large \Delta$ ABC $\large \sim$ $\large \Delta$ A′B′C′ nên $\large \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{2}{7}$

Vậy: A′B′=14, A′C′=21, B'C'=63/2.

Bài 3

Cạnh ngắn nhất của con đường bên ngoài là 600.m tương ứng với cạnh ngắn nhất của con đường bên trong là 300 m.

Do đó, con đường bên trong đồng dạng với con đường bên ngoài theo tỉ số $\large K=\frac{300}{600}=\frac{1}{2}$ nên tỉ số độ dài 2 con đường cũng bằng $\large \frac{1}{2}$ .

Độ dài con đường bên trong là: 300 + 350 + 550 = 1200 (m).

Độ dài con đường bên ngoài: 2.1200 = 2400 (m)

Độ dài quãng đường Nam chạy: 4.1200 = 4800 (m).

Độ dài quãng đường Hùng chạy: 2.2400 = 4800 (m).

Vậy quãng đường chạy được của hai bạn bằng nhau.

Bài 4

a. Xét $\large \Delta$ DEF và $\large \Delta$ ABC có:

$\large \frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$

$\large \widehat{A}=\widehat{D}=120^{o}$

Vậy $\large \Delta$ DEF $\large \sim$ $\large \Delta$ ABC (c.g.c).

b. Cặp tam giác trên không đồng dạng.

Bài 5

Xét $\large \Delta$ DEF và $\large \Delta$ MNP ta có:

$\large \frac{DE}{MN}=\frac{EF}{NP}=\frac{3}{5}; \widehat{E}=\widehat{N}(gt)$

Do đó $\large \Delta$ DEF $\large \sim$ $\large \Delta$ MNP (c.g.c)

Suy ra $\large \widehat{F}=\widehat{P}=42^{o}$ (hai góc tương ứng).

Vậy $\large \widehat{F}=42^{o}$

Bài 6

a) Xét $\large \Delta$ AFE và $\large \Delta$ ABC có:

$\large \frac{AF}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{3}$

$\large \widehat{A}$ chung

Do đó $\large \Delta$ AFE $\large \sim$ $\large \Delta$ ABC (c.g.c)

Suy ra $\large \frac{AF}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{EF}{BC}$ (các cặp cạnh tương ứng).

Khi đó $\large \frac{8}{12}=\frac{10}{15}=\frac{EF}{18}=\frac{2}{3}$

$\large \Rightarrow EF=\frac{18.2}{3}=12cm$

Vậy EF = 12 cm.

b) Xét $\large \Delta$ ABC và $\large \Delta$ MED ta có:

$\large \frac{BC}{ED}=\frac{AC}{MD}=\frac{3}{4}$

$\large \widehat{C}=\widehat{D}$ (tam giác FDC cân)

Vậy $\large \Delta$ ABC $\large \sim$ $\large \Delta$ MED (c.g.c).

Bài 7

a) Xét $\large \Delta$ BNM và $\large \Delta$ ABC ta có:

MN // BC nên $\large \widehat{MNB}=\widehat{ABC}$ (hai góc so le trong)

MB // AC nên $\large \widehat{MBN}=\widehat{BAC}$ (hai góc so le trong)

Vậy $\large \Delta$ BNM $\large \sim$ $\large \Delta$ ABC (g.g).

b) Do $\large \Delta$ BNM $\large \sim$ $\large \Delta$ ABC (cmt) nên $\large \widehat{C}=\widehat{M}=48^{o}$ .

Bài 8

a) Xét $\large \Delta$ MNP và $\large \Delta$ DEF có:

$\large \widehat{N}=\widehat{E};\widehat{M}=\widehat{D}$

Do đó $\large \Delta$ MNP $\large \sim$ $\large \Delta$ DEF (g.g)

Suy ra $\large \frac{NP}{EF}=\frac{MP}{DF}$ (các cạnh tương ứng).

Khi đó $\large \frac{a+3}{32}=\frac{18}{24}=\frac{3}{4}\rightarrow a+3=\frac{32.3}{4}=24(cm)$ .

Vậy a = 24 – 3 = 21.

b) Xét hình thang ABCD (AB // CD):

Vì AB // CD nên $\large \widehat{MAB}=\widehat{MCD};\widehat{MBA}=\widehat{MDC}$ (cặp góc so le trong).

Xét $\large \Delta$ AMB và $\large \Delta$ CMD có:

$\large \widehat{MAB}=\widehat{MCD}$ (chứng minh trên)

$\large \widehat{MBA}=\widehat{MDC}$ (chứng minh trên)

Do đó $\large \Delta$ AMB $\large \sim$ $\large \Delta$ CMD (g.g)

Suy ra $\large \frac{AM}{CM}=\frac{MB}{MD}=\frac{AB}{CD}$ (các cặp cạnh tương ứng).

Khi đó $\large \frac{6}{15}=\frac{y}{10}=\frac{8}{x}$

Suy ra $\large x=\frac{15.8}{6}=20; y=\frac{6.10}{15}=4$

Vậy x = 20; y = 4.

Bài 9

a) Xét $\large \Delta$ HOP và $\large \Delta$ HPE có:

$\large \widehat{HOP}=\widehat{HPE}$ (gt)

$\large \widehat{HPO}=\widehat{HEP}$ (gt)

Do đó $\large \Delta$ HOP $\large \sim$ $\large \Delta$ HPE (g.g)

Suy ra $\large \frac{HO}{HP}=\frac{HP}{HE}$ (các cặp cạnh tương ứng).

Khi đó $\large \frac{6}{HP}=\frac{HP}{4}$ nên HP² = 6.4 = 24.

Vậy HP = $\large 2\sqrt{6}$ cm.

b) Xét $\large \Delta$ AEM và $\large \Delta$ AMF ta có:

$\large \widehat{A}$ chung

$\large \widehat{AME}=\widehat{AFM}$

Do đó $\large \Delta$ AEM $\large \sim$ $\large \Delta$ AMF (g.g)

Suy ra $\large \frac{AE}{AM}=\frac{AM}{AF}$ nên AM² = AE.AF (đpcm).

Bài 10

Xét $\large \Delta$ IAB và $\large \Delta$ ICD ta có:

$\large \widehat{B}=\widehat{D}$ (gt)

$\large \widehat{AIB}=\widehat{CID}$ (đối đỉnh)

Suy ra $\large \Delta$ IAB $\large \sim$ $\large \Delta$ ICD (g.g) nên $\large \frac{IA}{TC}=\frac{IB}{ID}=\frac{AB}{CD}$

$\large \frac{IA}{2,4}=\frac{7,8}{ID}=\frac{9}{3}=3\Rightarrow IA=7,2;ID=2,6$

Quãng đường đi từ M $\large \rightarrow$ A $\large \rightarrow$ I là: 4,73 + 7,2 = 11,93 (km)

Quãng đường đi từ M $\large \rightarrow$ B $\large \rightarrow$ I là: 4,27 + 7,8 = 12,07 (km)

Quãng đường đi từ I $\large \rightarrow$ C $\large \rightarrow$ N là: 2,4 + 1,84 = 4,24 (km)

Quãng đường đi từ I $\large \rightarrow$ D $\large \rightarrow$ N là: 2,6 + 1,16 = 3,76 (km)

Vậy quãng đường ngắn nhất để đi từ nhà của anh Thanh đến công ty là M → A → I → D → N với độ dài 15,69 km.

2.3 Bài tập về ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác toán 8 cánh diều

Bài 1

Ta có: $\large \frac{AB}{IK}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2};\frac{BC}{KH}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2};\frac{AC}{IH}=\frac{7,5}{15}=\frac{1}{2}$

Do đó, $\large \frac{AB}{IK}=\frac{BC}{KH}=\frac{AC}{IH}\left ( =\frac{1}{2} \right )$

Xét $\large \Delta$ ABC và $\large \Delta$ IKHcó: $\large \frac{AB}{IK}=\frac{BC}{KH}=\frac{AC}{IH}$

Suy ra $\large \Delta$ ABC $\large \sim$ $\large \Delta$ IKH (c.c.c).

Tương tự, xét $\large \Delta$ DEG và $\large \Delta$ MNP có: $\large \frac{DE}{MN}=\frac{DG}{MP}=\frac{EG}{NP}=\frac{1}{2}$

Suy ra $\large \Delta$ DEG $\large \sim$ $\large \Delta$ MNP(c.c.c).

Bài 2

Ta có: $\large \frac{AB}{MN}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2};\frac{BC}{NP}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2};\frac{CA}{PM}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

Xét $\large \Delta$ ABC và $\large \Delta$ MNP có: $\large \frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NP}=\frac{CA}{PM}$

Suy ra $\large \Delta$ ABC $\large \sim$ $\large \Delta$ MNP (c.c.c).

Do đó $\large \widehat{A}=\widehat{M};\widehat{B}=\widehat{N};\widehat{C}=\widehat{P}$ (các cặp góc tương ứng).

Bài 3

$\large \Delta$ ABC $\large \sim$ $\large \Delta$ MNP theo tỉ số đồng dạng là:

$\large \frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NP}=\frac{AC}{NP}=\frac{1}{1000000}$

Do đó $\large AB=\frac{1}{1000000}MN$

$\large \Delta$ A’B’C’ $\large \sim$ $\large \Delta$ MNP theo tỉ số đồng dạng là:

$\large \frac{A'B'}{MN}=\frac{B'C'}{NP}=\frac{A'C'}{MP}=\frac{1}{1500000}$

Do đó $\large A'B'=\frac{1}{1500000}MN$

$\large \Rightarrow \frac{A'B'}{AB}=\frac{\frac{1}{1500000}MN}{\frac{1}{1000000}MN}=\frac{1000000}{1500000}=\frac{2}{3}$

Tương tự ta cũng có $\large \frac{B'C'}{BC}=\frac{2}{3};\frac{A'C'}{AC}=\frac{2}{3}$

Do đó $\large \frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{2}{3}$

Suy ra $\large \Delta$ A’B’C’ $\large \sim$ $\large \Delta$ ABC theo tỉ số đồng dạng là 2/3.

Bài 4:

⦁ Xét tam giác OMN có: $\large \frac{OA}{OM}=\frac{OB}{ON}=\frac{2}{3}$ nên AB // MN (định lí Thalès đảo)

Do đó $\large \frac{OA}{OM}=\frac{OB}{ON}=\frac{AB}{MN}(1)$

⦁ Xét tam giác OMP có: $\large \frac{OA}{OM}=\frac{OC}{OP}=\frac{2}{3}$ nên AC // MP (định lí Thalès đảo)

Do đó $\large \frac{OA}{OM}=\frac{OC}{OP}=\frac{AC}{MP}$

⦁ Xét tam giác ONP có: $\large \frac{OC}{OP}=\frac{OB}{ON}=\frac{2}{3}$ nên BC // NP (định lí Thalès đảo)

Do đó $\large \frac{OC}{OP}=\frac{OB}{ON}=\frac{BC}{NP}(3)$

Từ (1), (2) và (3) ta có $\large \frac{AB}{MN}=\frac{AC}{MP}=\frac{BC}{NP}(3)$

Do đó $\large \Delta$ ABC $\large \sim$ $\large \Delta$ MNP (c.c.c)

HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN TOP 5 TRƯỜNG ĐIỂM QUỐC GIA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học cá nhân hóa, giúp con tăng 3 - 6 điểm chỉ sau 1 khóa học

⭐ Học chắc - ôn kỹ, tăng khả năng đỗ vào các trường chuyên cấp 2, cấp 3

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo mong muốn và thời gian biểu cá nhân

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô, hỗ trợ con 24/7

⭐ Học lý thuyết đi đôi với thực hành, kết hợp chơi và học giúp con học hiệu quả

⭐ Công nghệ AI cảnh báo học tập tân tiến, giúp con tập trung học tập

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập được biên soạn bởi các thầy cô TOP 5 trường điểm quốc gia

Trải nghiệm khóa học DUO hoàn toàn miễn phí ngay!!

Trên đây là lý thuyết Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác toán 8 chi tiết cùng hướng dẫn giải bài tập cuối sách toán 8 kết nối tri thức, chân trời sáng tạo và cánh diều. Tham khảo thêm các bài học khác trong chương trình toán 8 tại trang web vuihoc.vn bạn nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm: