Đề cương ôn thi học kì 1 lớp 8 môn toán chi tiết

1. Ôn thi học kì 1 lớp 8 môn toán: Đại số

1.1 Phép nhân đa thức

a. Nhân đa thức với đơn thức

- Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

- Ta có A(B + C) = A.B + A.C

- Ta thường sử dụng các phép toán liên quan đến lũy thừa sau khi thực hiện phép nhân:

$\large a^{o}=1 (a\neq 0)$

$\large a^{m}.a^{n}=a^{m+n}$

$\large a^{m}:a^{n}=a^{m-n}; m\geq n$

$\large (a^{m})^{n}=a^{m.n}$ với m, n là số tự nhiên.

b. Nhân đa thức với đa thức

- Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với mỗi hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích lại với nhau. Ta có: 

(A + B)(C + D) = A(C + D) + B(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D với A, B, C, D là các đơn thức.

1.2 Hằng đẳng thức đáng nhớ 

- Bình phương của một tổng: (A + B)² = A² + 2AB + B²

- Bình phương của một hiệu: (A - B)² = A² - 2AB + B²

- Hiệu hai bình phương: A² − B² = (A − B)(A + B)

- Lập phương của một tổng: (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

- Lập phương của một hiệu: (A - B)³ = A³ - 3A²B + 3AB² - B³

- Tổng hai lập phương: A³ + B³ = (A + B)(A² - AB + B²)

- Hiệu hai lập phương: A³ - B³ = (A - B)(A² + AB + B²)

1.3 Phân tích đa thức thành nhân tử

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung: Khi các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung. 

Ví dụ: x³ + 3x = x(x + 3)

Cách làm này gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

- Để phân tích một đa thức thành nhân tử, bên cạnh phương pháp đặt nhân tử chung đã học, ta còn có phương pháp dùng các hằng đẳng thức sau đây:

•  (A + B)² = A² + 2AB + B²
• (A - B)² = A² - 2AB + B²
• A² − B² = (A − B)(A + B)
• (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³
• (A - B)³ = A³ - 3A²B + 3AB² - B³
• A³ + B³ = (A + B)(A² - AB + B²)
• A³ - B³ = (A - B)(A² + AB + B²)

- Một số trường hợp không thể áp dụng ngay hai phương pháp đặt nhân tử chung hay các hằng đẳng thức, mà cần nhóm các hạng tử một cách thích hợp để xuất hiện dạng hằng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung mới.

Ví dụ: x² - 2x + xy - 2y = (x² - 2x) + (xy - 2y) = x(x - 2) + y(x - 2) = (x - 2)(x + y)

- Với phương pháp này để tìm cách nhóm hạng tử một cách thích hợp, cần thay đổi vị trí các hạng tử (nếu cần) sao cho khi nhóm thì từng nhóm đa thức có thể phân tích được thành nhân tử bằng hai phương pháp đã nêu ở trên. Khi đó, đa thức đã cho mới xuất hiện nhân tử chung. 

- Ngoại trừ một số trường hợp đơn giản có thể sử dụng một trong các phương pháp như đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức hay nhóm hạng tử thì trong nhiều bài toán, ta phải phối hợp nhiều phương pháp ấy mới giải quyết được bài toán.

Ví dụ: x² + 4x + 3 = (x² + 4x + 4) - 1 = (x + 2)² - 1 = (x + 1)(x + 3)

1.4 Phép chia đơn thức

a. Phép chia đơn thức cho đa thức, chia đa thức cho đơn thức 

- Cho A và B là hai đơn thức, B $\large \neq $ 0.

Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ của B không lớn

hơn số mũ của A.

- Quy tắc: Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau:

• Chia hệ số của A cho hệ số của B.
• Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của từng biến đó trong B.
• Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

- Nội dung phương pháp

+ Sử dụng kiến thức chia hai lũy thừa cùng cơ số: $\large a^{m}:a^{n}=a^{m-n}(m\geq n; m,n\in \mathbb{N})$

+ Một số trường hợp cần phần tích đa thức bị chia thành nhân tử để rút gọn các nhân tử.

- Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn

thức B) ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau. 

b. Phép chia hết

- Phép chia có số dư bằng 0 là phép chia hết. Muốn chia đa thức A cho đa thức B (A và B đều là các đa

thức một biến đã sắp xếp), ta làm như sau:

• Đặt phép chia.
• Chia hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia.
• Nhân thương vừa tìm được với đa thức chia rồi lấy đa thức bị chia trừ đi tích đó nhận được một hiệu. Hiệu vừa tìm được gọi là dư thứ nhất.
• Chia hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia.
• Nhân thương vừa tìm được với đa thức chia rồi lấy dư thứ nhất trừ đi tích đó nhận được dư thứ hai.
• Cứ tiếp tục như vậy đến khi được dư bằng 0, ta được thương cần tìm.

c. Phép chia có dư

- Khác với phép chia hết, phép chia có dư khác 0 là phép chia có dư. Chia hai đa thức một biến đã sắp xếp với phép chia có dư ta thực hiện tương tự như phép chia hết, đến khi đa thức dư có bậc nhỏ hơn đa thức chia thì dừng lại. Đa thức đó gọi là dư.

- Đối với hai đa thức tùy ý A và B của cùng một biến (B$\large \neq $ 0), tồn tại duy nhất một cặp đa

thức Q và R sao cho A = B.Q + R, trong đó R bằng 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B (R được gọi là

dư trong phép chia A cho B).

- Khi R = 0, phép chia A cho B là phép chia hết.

1.5 Phân thức đại số 

a. Khái niệm

- Một phân thức đại số (hay gọi là phân thức) là một biểu thức có dạng $\large \frac{A}{B} $ với A và B là các đa thức, B khác đa thức 0. A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).
- Hai phân thức $\large \frac{A}{B} $ và $\large \frac{C}{D} $ được gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C.

Ta viết $\large \frac{A}{B}=\frac{C}{D} \Leftrightarrow A.D = B.C$

- Chú ý: 

+ Các tính chất về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau của phân số cũng đúng cho phân thức.
+ Các giá trị của biến làm cho mẫu nhận giá trị bằng 0 gọi là giá trị hàm phân thức vô nghĩa hay không xác định.

b. Tính chất cơ bản của phân thức 

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho. Ta có: 

$\large \frac{A}{B}=\frac{A.M}{B.M} $

- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho. Ta có: $\large \frac{A}{B}=\frac{A:N}{B:N} $ với N là một nhân tử chung của A và B.

- Quy tắc đổi dấu: 

+ Nếu đối dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. Ta có: 

$\large \frac{A}{B}=\frac{-A}{-B} $

+ Nếu đổi dấu tử hoặc mẫu đồng thời đổi dấu của phân thức được một phân thức bằng phân thức đã cho. Ta có: $\large \frac{A}{B}=\frac{-A}{-B}=-\frac{-A}{B}=-\frac{A}{-B} $

c. Rút gọn phân thức

Để rút gọn phân thức cho trước ta làm như sau:

• Bước 1. Sử dụng các phương pháp phân tích thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của phân thức.
• Bước 2. Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho. 

d. Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

- Tìm mẫu thức chung ta làm như sau: 

+ Bước 1. Phân tích mẫu thức của các phân thức đã cho thành nhân tử;

+ Bước 2. Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn theo quy tắc sau:

• Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của phân thức đã cho. (Nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số của mẫu thức chung là BCNN của chúng);
• Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.

- Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

+ Bước 1. Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung;
+ Bước 2. Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức;
+ Bước 3. Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

e. Phép cộng trừ các phân thức đại số

- Phép cộng phân thức đại số: 

+ Quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức: Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.
+ Quy tắc cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức, đưa về quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức.

- Phép trừ phân thức đại số: 

+ Phân thức đối của $\large \frac{A}{B} $ là $\large -\frac{A}{B} $

+ Hai phân thức gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0. 

- Quy tắc trừ hai phân thức đại số: Muốn trừ phân thức $\large \frac{A}{B} $ cho phân thức $\large \frac{C}{D} $, ta cộng phân thức $\large \frac{A}{B} $ với phân thức đối của phân thức $\large \frac{C}{D} $, tức là: 

$\large \frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A}{B}+\left ( -\frac{C}{D} \right ) $

f. Phép nhân chia các phân thức đại số

- Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau:

$\large \frac{A}{B}.\frac{C}{D}=\frac{A.C}{B.D}$

- Phân thức nghịch đảo của phân thức $\large \frac{A}{B} $ là $\large \frac{B}{A} $. Tích của hai phân thức nghịch đảo bằng 1.

- Muốn chia phân thức $\large \frac{A}{B} $ cho phân thức $\large \frac{C}{D}\neq 0$, ta nhân phân thức $\large \frac{A}{B} $ với phân thức nghịch đảo của phân thức $\large \frac{C}{D}$, tức là: 

$\large \frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}.\frac{D}{C}=\frac{A.D}{B.C}; \frac{C}{D}\neq 0$

Khóa học DUO cung cấp cho các em nền tảng kiến thức vững chắc, bứt phá điểm 9+ trong mọi bài kiểm tra trên lớp.

2. Ôn thi học kì 1 lớp 8 môn toán: Hình học 

2.1 Một số hình học thường gặp

a. Tứ giác 

- Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó, bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên cùng một đường thẳng.

- Tứ giác lồi: Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm về một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì một cạnh nào của tứ giác (hình b không phải tứ giác lồi).

- Tổng các góc trong một tứ giác: Tổng các góc trong một tứ giác bằng 360^o.

- Góc ngoài của tứ giác: Góc kề bù với một góc của tứ giác gọi là góc ngoài của tứ giác.

b. Hình thang

- Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song (gọi là hai đáy).

- Trong hình thang, hai góc kề một cạnh bên bù nhau.

- Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông

- Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.
- Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau

c. Hình thang cân

- Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. Cạnh đáy có độ dài lớn hơn được gọi là đáy lớn.

- Tính chất: 

+ Định lí 1. Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
+ Định lí 2. Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.
+ Định lí 3. Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân

- Dấu hiệu nhận biết: 

+ Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
+ Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. 

d. Hình bình hành

- Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song.

Tứ giác ABCD là hình bình hành $\large \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
AB//CD &  \\ AD//BC
\end{matrix}\right.$

- Trong hình bình hành ta có: 

+ Các cạnh đối bằng nhau.
+ Các góc đối bằng nhau.
+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 

- Dấu hiệu nhận biết: 

• Tứ giác có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành.
• Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
• Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
• Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
• Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

e. Hình chữ nhật 

- Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật $\large \Leftrightarrow \widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^{o}$

- Tính chất:

+ Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành.

+ Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình thang cân.

+Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

- Dấu hiệu nhận biết: 

+ Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

+ Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

+ Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

+ Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

f. Hình thoi

- Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Tứ giác ABCD là hình thoi <=> AB = BC = CD = DA.

- Tính chất: 

+ Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.

+ Hai đường chéo vuông góc với nhau. 

+ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh của hình thoi.

- Hệ quả:

+ Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi;

+ Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi;

+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi;

+ Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc ở đỉnh là hình thoi.

g. Hình vuông

- Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

- Tứ giác ABCD là hình vuông $\large \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^{o} &  \\AB=BC=CD=DA
\end{matrix}\right.$

- Tính chất: 

+ Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

+ Trong hình vuông hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường.

- Hệ quả:

+ Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

+ Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

+ Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của một góc là hình vuông.

+ Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

+ Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

2.2 Định lý Thalès

- Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo. 

- Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A′B′ và C′D′ nếu có tỉ lệ thức: 

$\large \frac{AB}{CD}=\frac{A'B'}{C'D'}$ hay $\large \frac{AB}{A'B'}=\frac{CD}{C'D'}$

- Định lý Thalès: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn
lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

- Định lý Thalès đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh
này những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại. 

- Hệ quả: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỷ lệ với ba cạnh còn lại của tam giác đã cho.

2.3 Đường trung bình, đường phân giác trong tam giác

a. Đường trung bình của tam giác 

- Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. 

- Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung
điểm cạnh thứ ba.

- Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy

b. Đường trung bình của hình thang

- Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

- Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

- Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

b. Đường phân giác của tam giác 

- Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy. 

3. Ôn thi học kì 1 lớp 8 môn toán: Dữ liệu - biểu đồ 

3.1 Lựa chọn dạng biểu đồ để biểu diễn dữ liệu

Biểu đồ cho chúng ta hình ảnh cụ thể về số liệu nên việc chọn bảng, biểu đồ phù hợp sẽ giúp chúng ta dễ dàng thống kê số liệu rõ ràng, trực quan, dễ đọc và dễ hiểu hơn. 

- Đối với một tập dữ liệu ta có thể: 

• Biểu diễn tập dữ liệu đó theo những cách khác nhau vào bảng, biểu đồ thích hợp.
• Chuyển tập dữ liệu đó từ dạng biểu diễn này sang dạng biểu diễn khác.

3.2 Đọc và phân tích số liệu từ biểu đồ

Các biểu đồ sau cho biết cấu trúc dân số của Việt Nam các năm 2010 và 2020. Hãy nhận xét về sự thay đổi tỉ lệ người thuộc nhóm tuổi lao động chính (15 - 64 tuổi) sau 10 năm. Biết năm 2020 dân số Việt Nam là 97,41 triệu người. Hãy tính số lượng người thuộc mỗi nhóm tuổi trên. 

- Sau 10 năm, tỉ lệ người thuộc nhóm tuổi lao động chính (15 - 64 tuổi) giảm từ 69,88% xuống 68,94%. 

- Biết dân số Việt Nam năm 2020 là 97,41 triệu người, số lượng người thuộc mỗi nhóm tuổi là: 

• 0 - 14 tuổi: 23,19% x 97410000 = 22589379 (người).
• 15 - 64 tuổi: 68,94% x 97410000 = 67154454 (người).
• Trên 64 tuổi: 7,87% x 97410000 = 7666167 (người).

Nhận xét: Khi phân tích số liệu, ta có thể kết hợp thông tin từ hai hay nhiều biểu đồ. Để phát hiện vấn đề hoặc quy luật đơn giản dựa trên phân tích và xử lý số liệu thu được, ta cần: 

• Nhận biết được mối liên hệ toán học đơn giản giữa các số liệu đã được biểu diễn. 
• Thực hiện được tính toán và suy luận toán học. 

Việc chuẩn bị kỹ lưỡng cho kỳ thi học kỳ 1 không chỉ giúp học sinh tự tin hơn mà còn tạo nền tảng vững chắc cho những môn học tiếp theo. Hy vọng đề cương ôn thi học kì 1 lớp 8 môn toán này sẽ hỗ trợ các em trong việc hệ thống hóa kiến thức và nâng cao khả năng giải quyết bài tập. Hãy chăm chỉ ôn tập và chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!