Lý thuyết căn bậc ba toán 9 chương trình mới

Tác giả Hoàng Uyên 16:44 17/07/2024 2,046 Tag Lớp 9

Trong bài học này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về phép khai căn bậc ba cùng những tính chất cơ bản của nó. Các phép toán căn bậc ba thường xuyên được sử dụng trong toán học, trong một số môn học khác và ứng dụng trong thực tế.

Lý thuyết căn bậc ba toán 9 chương trình mới

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Căn bậc ba

- Căn bậc ba của số thực a là số thực x thỏa mãn x³ = a

- Chú ý: Mỗi số a đều có duy nhất một căn bậc ba. Căn bậc ba của số a được kí hiệu là $\large \sqrt[3]{a}$ . Trong kí hiệu $\large \sqrt[3]{a}$ , số 3 được gọi là chỉ số của căn. Phép tìm căn bậc ba của một số gọi là phép khai căn bậc ba.

- Từ định nghĩa căn bậc ba, ta có $\large (\sqrt[3]{a})^{3}=\sqrt[3]{a^{3}}=a$ với mọi số thực a.

- Cách tính căn bậc ba của một số bằng máy tính cầm tay.

2. Căn thức bậc ba

- Căn thức bậc ba là biểu thức có dạng $\large \sqrt[3]{A}$ , trong đó A là một biểu thức đại số.

- Tương tự căn bậc ba của một số, ta cũng có $\large (\sqrt[3]{A})^{3}=\sqrt[3]{A^{3}}=A$ ( A là một biểu thức).

- Để tính giá trị của $\large \sqrt[3]{A}$ tại những giá trị cho trước của biến, ta thay các giá trị cho trước của biến vào căn thức rồi tính giá trị của biểu thức số nhận được.

3. Một số công thức liên quan đến căn bậc ba

$\large A < B\Leftrightarrow \sqrt[3]{A}<\sqrt[3]{B}$

$\large \sqrt[3]{A}=\sqrt[3]{B}\Leftrightarrow A=B$

$\large \sqrt[3]{A.B}=\sqrt[3]{A}. \sqrt[3]{B}$

$\large \sqrt[3]{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt[3]{A}}{\sqrt[3]{B}}(B\neq 0)$

$\large \frac{1}{\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}}=\frac{\sqrt[3]{A^{2}}-\sqrt[3]{AB}+\sqrt[3]{B^{2}}}{A+B}(A\neq -B)$

$\large \frac{1}{\sqrt[3]{A}-\sqrt[3]{B}}=\frac{\sqrt[3]{A^{2}}+\sqrt[3]{AB}+\sqrt[3]{B^{2}}}{A-B}(A\neq B)$

4. Một số dạng bài tập căn bậc ba

- Dạng 1: Thực hiện phép tính chứa căn bậc ba.

Phương pháp giải: Áp dụng công thức $\large (\sqrt[3]{a})^{3}=\sqrt[3]{a^{3}}=a$

- Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Phương pháp giải: Sử dụng hằng đẳng thức liên quan đến căn bậc ba:

$\large \frac{1}{\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}}=\frac{\sqrt[3]{A^{2}}-\sqrt[3]{AB}+\sqrt[3]{B^{2}}}{A+B}(A\neq -B)$

$\large \frac{1}{\sqrt[3]{A}-\sqrt[3]{B}}=\frac{\sqrt[3]{A^{2}}+\sqrt[3]{AB}+\sqrt[3]{B^{2}}}{A-B}(A\neq B)$

- Dạng 3: So sánh căn bậc ba

Phương pháp giải: Áp dụng lí thuyết: $\large A < B\Leftrightarrow \sqrt[3]{A}<\sqrt[3]{B}$

- Dạng 4: Giải phương trình căn bậc ba

Phương pháp giải: Áp dụng: $\large \sqrt[3]{A}=B\Leftrightarrow A=B^{3}$ (Căn bậc ba không có điều kiện trong căn như căn bậc hai).

Khóa học DUO dành riêng cho các em bậc THCS từ nhà trường VUIHOC, các em sẽ được học cùng các thầy cô TOP trường điểm quốc gia với kinh nghiệm giảng dạy phong phú. Đăng ký học thử để được trải nghiệm buổi học trực tuyến hoàn toàn miễn phí nhé!

5. Bài tập căn bậc ba toán 9 chương trình mới

5.1 Bài tập căn bậc ba toán 9 kết nối tri thức

Bài 3.23 trang 62 sgk toán 9/1 kết nối tri thức

$\large \sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{6^{3}}=6$

$\large \sqrt[3]{-512}=\sqrt[3]{(-8)^{3}}=-8$

$\large \sqrt[3]{-0,001}=\sqrt[3]{(-0,1)^{3}}=-0,1$

$\large \sqrt[3]{1331}=\sqrt[3]{(1,1)^{3}}=1,1$

Bài 3.24 trang 62 sgk toán 9/1 kết nối tri thức

Thực hiện các bước tính các căn bậc ba trên máy tính, ta có kết quả:

$\large \sqrt[3]{2,1}\approx 1,28$

$\large \sqrt[3]{-18}\approx -2,62$

$\large \sqrt[3]{-28}\approx -3,04$

$\large \sqrt[3]{0,35}\approx 0,70$

Bài 3.25 trang 62 sgk toán 9/1 kết nối tri thức

Gọi chiều dài cạnh thùng tôn hình lập phương là x (dm).

Thể tích của thùng tôn hình lập phương đó là x³ (dm³).

Khi đó, ta có: x³ = 730 $\large \Rightarrow \sqrt[3]{730}\approx 9 (dm)$

Vậy ước lượng chiều dài cạnh thùng khoảng 9 dm.

Bài 3.26 trang 62 sgk toán 9/1 kết nối tri thức

$\large \sqrt[3]{(1-\sqrt{2})^{3}}=1-\sqrt{2}$

$\large \sqrt[3]{(2\sqrt{2}+1)^{3}}=2\sqrt{2}+1$

$\large (\sqrt[3]{\sqrt{2}+1})^{3}=\sqrt{2}+1$

Bài 3.27 trang 62 sgk toán 9/1 kết nối tri thức

Ta có: $\large \sqrt[3]{27x^{3}-27x^{2}+9x-1}=\sqrt[3]{(3x-1)^{3}}=3x-1$

Thay x = 7 vào biểu thức đã thu gọn ở trên, ta được: 3.7 – 1 = 20.

Vậy $\large \sqrt[3]{27x^{3}-27x^{2}+9x-1}=3x-1$ và có giá trị là 20 tại x = 7

5.2 Bài tập căn bậc ba toán 9 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 45 sgk toán 9/1 chân trời sáng tạo

a) Ta có (−4)³ = –64 $\large \Rightarrow \sqrt[3]{-64}=-4$

b) Ta có 30³ = 27000 $\large \Rightarrow \sqrt[3]{27000}= 30$

c) Ta có (−0,5)³ = –0,125 $\large \Rightarrow \sqrt[3]{-0,125}= -0,5$

d) Ta có $\large 3\frac{3}{8}=\frac{27}{8}$ . Khi đó $\large \left ( \frac{3}{2} \right )^{3}=\frac{27}{8}$ $\large \Rightarrow \sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{3}{2}$

Bài 2 trang 45 sgk toán 9/1 chân trời sáng tạo

$\large a) \sqrt[3]{0,001}=\sqrt[3]{0,1^{3}}=0,1$

$\large b) \sqrt[3]{\frac{-1}{64}}=\sqrt[3]{\left ( \frac{-1}{4} \right )^{3}}=-\frac{1}{4}$

$\large c) -\sqrt[3]{11^{3}}=-11$

$\large d) (\sqrt[3]{-216})^{3}=-216$

Bài 3 trang 45 sgk toán 9/1 chân trời sáng tạo

a	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000
$\large \sqrt[3]{a}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Bài 4 trang 45 sgk toán 9/1 chân trời sáng tạo

Thực hiện các bước tính các căn bậc ba trên máy tính, ta có kết quả:

$\large \sqrt[3]{79}\approx 3,291$

$\large \sqrt[3]{-6,32}\approx -1,849$

$\large \frac{\sqrt[3]{19}+\sqrt[3]{20}}{2}\approx 2,691$

Bài 5 trang 45 sgk toán 9/1 chân trời sáng tạo

$\large a) A= \sqrt[3]{8^{3}}+(\sqrt[3]{-7})^{3}=8+(-7)=8-7=1$

$b) B =\sqrt[3]{1000000}-\sqrt[3]{0,027}=\sqrt[3]{100^{3}}-\sqrt[3]{0,3^{3}}=100-0,3=99,7$

Bài 6 trang 45 sgk toán 9/1 chân trời sáng tạo

a) x³ = –27 $\large \Leftrightarrow$ x³ = (–3)³ $\large \Leftrightarrow$ x = –3.

$\large b) x^{3}=\frac{64}{125}\Leftrightarrow x^{3}=(\frac{4}{5})^{3}\Leftrightarrow x=\frac{4}5{}$

$\large c) \sqrt[3]{x}=8\Leftrightarrow x=8^{3}\Leftrightarrow x=512$

$\large d) \sqrt[3]{x}=-0,9\Leftrightarrow x=(-0,9)^{3}=-0,729$

Bài 7 trang 45 sgk toán 9/1 chân trời sáng tạo

Khi n = 1 $\large \Rightarrow P=\sqrt[3]{64.1}=\sqrt[3]{64}=4$

Khi n = -1 $\large \Rightarrow P=\sqrt[3]{64.(-1)}=\sqrt[3]{-64}=-4$

Khi $\large n=\frac{1}{125}\Rightarrow P=\sqrt[3]{64.\frac{1}{125}}=\sqrt[3]{\frac{64}{125}}=\frac{4}{5}$

Bài 8 trang 45 sgk toán 9/1 chân trời sáng tạo

Thể tích 1 khối gỗ hình lập phương nhỏ là:

$\large \frac{V}{8}=\frac{1000}{8}=125(cm^{3})$

Độ dài cạnh của mỗi khối gỗ hình lập phương nhỏ là: $\large \sqrt[3]{125}=5(cm)$

Vậy độ dài của mỗi khối gỗ hình lập phương nhỏ là 5 cm.

5.3 Bài tập căn bậc ba toán 9 Cánh diều

Bài 1 trang 53 sgk toán 9/1 cánh diều

Phát biểu đúng là: a; b; d; e.

Phát biểu sai là: c. Vì mỗi số thực đều có duy nhất một căn bậc ba nên số âm cũng có căn bậc ba.

Bài 2 trang 53 sgk toán 9/1 cánh diều

a) Do 17² = (–17)² = 289 nên 17 và –17 là các căn bậc hai của 289.

b) Do 9² = (–9)² = 81 nên 9 và –9 là các căn bậc hai của 81.

c) Do 1,3² = (–1,3)² = 1,69 nên 1,3 và –1,3 là các căn bậc hai của 1,69.

d) Do $\large \left ( \frac{7}{11} \right )^{2}=\left ( -\frac{7}{11} \right )^{2}=\frac{49}{121}$ nên $\large \frac{7}{11}$ và $\large \frac{-7}{11}$ là các căn bậc hai của $\large \frac{49}{121}$

Bài 3 trang 53 sgk toán 9/1 cánh diều

a) Ta có 11³ = 1331 $\large \Rightarrow \sqrt[3]{1331}=11$

b) Ta có (–3)³ = –27 $\large \Rightarrow \sqrt[3]{-27}=-3$

c) Ta có (–0,6)³ = –0,216 $\large \Rightarrow \sqrt[3]{-0,216}=-0,6$

d) Ta có $\large \left ( \frac{2}{7} \right )^{3}=\frac{8}{343}\Rightarrow \sqrt[3]{\frac{8}{343}}=\frac{2}{7}$

Bài 4 trang 54 sgk toán 9/1 cánh diều

$\large a) \frac{4}{3}>1>\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{4}{3}>\frac{3}{4}\Rightarrow \sqrt{\frac{4}{3}}>\sqrt{\frac{3}{4}}$

$\large b) 0,7=\sqrt{0,49}$

Do 0,48 < 0,49 => $\large \sqrt{0,48}<\sqrt{0,49}\Rightarrow \sqrt{0,48}<\sqrt{0,7}$

c) Ta có -45 > -50 nên $\large \sqrt[3]{-45}>\sqrt[3]{-50}$

d) Ta có -10 = $\large \sqrt[3]{-1000}$

Do -1000 < -999 nên $\large \sqrt[3]{-1000}<\sqrt[3]{-999}\Rightarrow -10 < \sqrt[3]{-999}\$

Bài 5 trang 54 sgk toán 9/1 cánh diều

$\large a) (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^{2}-(\sqrt{3})^{2}=4-3=1$

$\large b) (\sqrt[3]{2}+1)[(\sqrt[3]{2})^{2}-\sqrt[3]{2}+1]=(\sqrt[3]{2})^{3}+1=2+1=3$

Bài 6 trang 54 sgk toán 9/1 cánh diều

Áp dụng định lí Pythagore cho:

$\large \Delta OA_{1}A_{2}$ vuông tại A₁, ta có $\large OA_{2}=\sqrt{OA_{1}^{2}+A_{1}A_{2}^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$

$\large \Delta OA_{2}A_{3}$ vuông tại A₂, ta có $\large OA_{3}=\sqrt{OA_{2}^{2}+A_{2}A_{3}^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}$

$\large \Delta OA_{3}A_{4}$ vuông tại A₃, ta có $\large OA_{4}=\sqrt{OA_{3}^{2}+A_{3}A_{4}^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{4}=2$

Thực hiện tương tự ta có:

$\large OA_{5}=\sqrt{5}; OA_{6}=\sqrt{6}; OA_{7}=\sqrt{7}; OA_{8}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

$\large OA_{9}=\sqrt{9}=3; OA_{10}=\sqrt{10}; OA_{11}=\sqrt{11}$

$\large OA_{12}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}; OA_{13}=\sqrt{13}; OA_{14}=\sqrt{14}$

$\large OA_{15}=\sqrt{15}; OA_{16}=\sqrt{16}=4; OA_{17}=\sqrt{17}$

Bài 7 trang 54 sgk toán 9/1 cánh diều

Gọi a (m) là độ dài cạnh của nền kim tự tháp dạng hình vuông (a > 0).

Diện tích của nền kim tự tháp đó là a² (m²).

Theo bài, ta có: a² = 53 052 $\large \Rightarrow a=\sqrt{53052}\approx 230,3(m)$

Vậy độ dài cạnh của nền kim tự tháp đó là khoảng 230,3 m.

Bài 8 trang 54 sgk toán 9/1 cánh diều

Giả sử hình ảnh của cây được mô tả như hình vẽ dưới đây:

Vì $\large \Delta$ ABC vuông cân tại A có $\large \widehat{ACB}=45^{o}$ nên $\large \Delta$ ABC vuông cân tại A.

Do đó AB = AC = 4,5 m.

Áp dụng định lí Pythagore vào $\large \Delta$ ABC vuông cân tại A, ta có:

BC² = AB² + AC²

$\large \Rightarrow BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{4,5^{2}+4,5^{2}}=\sqrt{40,5}\approx 6,4(m)$

Vậy chiều cao của cây đó là khoảng 4,5 + 6,4 = 10,9 m.

Bài 9 trang 54 sgk toán 9/1 cánh diều

Gọi a (cm) là độ dài cạnh của khối bê tông dạng hình lập phương (a > 0).

Thể tích của khối bê tông đó là : a³ (cm³).

Theo bài, ta có: a³ = 220 348 $\large \Rightarrow \sqrt[3]{220348}\approx 60,4(cm)$

Vậy độ dài cạnh của khối bê tông đó là khoảng 60,4 cm.

HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN TOP 5 TRƯỜNG ĐIỂM QUỐC GIA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học cá nhân hóa, giúp con tăng 3 - 6 điểm chỉ sau 1 khóa học

⭐ Học chắc - ôn kỹ, tăng khả năng đỗ vào các trường chuyên cấp 2, cấp 3

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo mong muốn và thời gian biểu cá nhân

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô, hỗ trợ con 24/7

⭐ Học lý thuyết đi đôi với thực hành, kết hợp chơi và học giúp con học hiệu quả

⭐ Công nghệ AI cảnh báo học tập tân tiến, giúp con tập trung học tập

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập được biên soạn bởi các thầy cô TOP 5 trường điểm quốc gia

Trải nghiệm khóa học DUO hoàn toàn miễn phí ngay!!

Trên đây là bài học Lý thuyết căn bậc ba toán 9 chương trình mới. Theo dõi các bài học mới nhất của VUIHOC trên trang web vuihoc.vn và đừng quên để lại thông tin để được tư vấn lộ trình học toán THCS hiệu quả nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm: