Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác| Toán 7 chương trình mới

Tác giả Hoàng Uyên 16:12 02/07/2024 1,869 Tag Lớp 7

Đường trung tuyến, đường phân giác của tam giác là gì? Theo dõi bài học Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác toán 7 chương trình mới để hiểu rõ các kiến thức của đường phân giác, trung tuyến trong tam giác.

Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác| Toán 7 chương trình mới

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác

1.1 Đường trung tuyến của tam giác

Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC) của tam giác ABC.

1.2 Sự đồng quy của ba đường trung tuyến

- Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (hay đồng quy tại một điểm). Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Trong tam giác ABC, các đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại điểm G và ta có:

$\large \frac{GA}{MA}=\frac{GB}{NB}=\frac{GC}{PC}=\frac{2}{3}$

- Chú ý: Điểm đồng quy của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm tam giác.

2. Sự đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác

2.1 Đường phân giác của tam giác

- Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D thì đoạn thẳng AD được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC.

2.2 Sự đồng quy của ba đường phân giác

- Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Trong tam giác ABC, các đường phân giác AD, BE, CF đồng quy tại I và IH = IK = IL.

3. Bài tập sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác toán 7

3.1 Bài tập toán 7 kết nối tri thức

Bài 9.20 trang 76 SGK toán 7/2 kết nối tri thức

Ta có BG = 2/3BN, CG = 2/3CP.

GN = BN – BG = BN – 2323BN = 1/3BN.

GP = CP – CG = CP – 2323CP = 1313CP.

Khi đó BG : GN = 2/3BN : 1/3BN = 2, CG : GP = 2/3CP : 1/3CP = 2.

Do đó BG = 2 GN, CG = 2 GP.

Vậy BG = 2/3BN, CG = 2/3CP, BG = 2 GN, CG = 2 GP.

Bài 9.21 trang 76 SGK toán 7/2 kết nối tri thức

Giả sử tam giác ABC cân tại A có M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

a) Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\large \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ .

Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên AB = 2BM, AC = 2CN.

Do đó BM = CN.

Xét $\large \Delta$ MBC và $\large \Delta$ NCB có:

BM = CN (chứng minh trên).

$\large \widehat{MBC}=\widehat{NCB}$ (chứng minh trên).

BC chung

Suy ra $\large \Delta$ MBC = $\large \Delta$ NCB (c - g - c).

Do đó CM = BN (2 cạnh tương ứng).

Vậy trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

b) Giả sử tam giác ABC có hai trung tuyến CM, BN bằng nhau và cắt nhau tại G.

G là trọng tâm tam giác ABC nên CG = 2/3CM, BG = 2/3BN.

Do CM = BN nên CG = BG.

$\large \Delta$ BGC có CG = BG nên $\large \Delta$ BGC cân tại G.

Do đó $\large \widehat{GBC}=\widehat{GCB}$ .

Xét $\large \Delta$ MBC và $\large \Delta$ NCB có:

MC = NB (theo giả thiết).

$\large \widehat{MCB}=\widehat{NBC}$ (chứng minh trên).

BC chung.

Suy ra $\large \Delta$ MBC = $\large \Delta$ NCB (c-g-c).

Do đó $\large \widehat{MBC}=\widehat{NCB}$ (2 góc tương ứng).

$\large \Delta$ ABC có $\large \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ nên $\large \Delta$ ABC cân tại A.

Vậy nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Bài 9.22 trang 76 SGK toán 7/2 kết nối tri thức

Xét $\large \Delta$ GBC có $\large \widehat{GBC}>\widehat{GCB}$ nên GC > GB.

Do G là trọng tâm của $\large \Delta$ ABC nên CG = 2/3CN, BG = 2/3BM.

Khi đó 2/3CN > 2/3BM.

Do đó CN > BM.

Vậy CN > BM.

Khóa học DUO dành riêng cho các em bậc THCS từ nhà trường VUIHOC, các em sẽ được học cùng các thầy cô TOP trường điểm quốc gia với kinh nghiệm giảng dạy phong phú. Đăng ký học thử để được trải nghiệm buổi học trực tuyến hoàn toàn miễn phí nhé!

Bài 9.23 trang 76 SGK toán 7/2 kết nối tri thức

Xét $\large \Delta$ ABC có $\large \widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^{o}$

Do đó $\large \widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^{o}-\widehat{BAC}=180^{o}-120^{o}=60^{o}$

Do CI là tia phân giác của $\large \widehat{ACB}$ nên $\large \widehat{ACB}=2\widehat{ICB}$ .

Do BI là tia phân giác của $\large \widehat{ABC}$ nên $\large \widehat{ABC}=2\widehat{IBC}$ .

Do đó $\large \widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2(\widehat{IBC}+\widehat{ICB})$

hay 60^o = 2( $\large \widehat{IBC}+\widehat{ICB}$ )

hay $\large \widehat{IBC}+\widehat{ICB}$ = 30^o.

Xét $\large \Delta$ IBC có $\large \widehat{BIC}+\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=180^{o}$

Do đó $\large \widehat{BIC}=180^{o}-(\widehat{IBC}+\widehat{ICB})=180^{o}-30^{o}=150^{o}$

Vậy $\large \widehat{BIC}$ = 150^o.

Bài 9.24 trang 76 SGK toán 7/2 kết nối tri thức

Do $\large \Delta$ ABC cân tại A nên $\large \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

Do BE là tia phân giác của $\large \widehat{ABC}$ nên $\large \widehat{ABC}=2\widehat{EBC}$ .

Do CF là tia phân giác của $\large \widehat{ACB}$ nên $\large \widehat{ACB}=2\widehat{FCB}$ .

Mà $\large \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ nên $\large \widehat{EBC}=\widehat{FCB}$ .

Xét $\large \Delta$ FBC và $\large \Delta$ ECB có:

$\large \widehat{FCB}=\widehat{EBC}$ (chứng minh trên).

BC chung.

$\large \widehat{FBC}=\widehat{ECB}$ (chứng minh trên).

Suy ra $\large \Delta$ FBC = $\large \Delta$ ECB (g - c - g).

Do đó CF = BE (2 cạnh tương ứng).

Vậy BE = CF.

Bài 9.25 trang 76 SGK toán 7/2 kết nối tri thức

a) Do BD là tia phân giác của $\large \widehat{ABC}$ nên $\large \widehat{DBR}=\widehat{DBP}=\frac{1}{2}\widehat{PBR}$ .

Xét $\large \Delta$ DBR vuông tại R và ∆DBP vuông tại P có:

$\large \widehat{BDR}=\widehat{DBP}$ (chứng minh trên).

BD chung.

Suy ra $\large \Delta$ DBR = $\large \Delta$ DBP (cạnh huyền - góc nhọn).

Do đó DR = DP (2 cạnh tương ứng).

b) Do CD là tia phân giác của $\large \widehat{ACB}$ nên $\large \widehat{DCQ}=\widehat{DCP}=\frac{1}{2}\widehat{PCQ}$ .

Xét $\large \Delta$ DCQ vuông tại Q và $\large \Delta$ DCP vuông tại P có:

$\large \widehat{DCQ}=\widehat{DCP}$ (chứng minh trên).

CD chung.

Suy ra $\large \Delta$ DCQ = $\large \Delta$ DCP (cạnh huyền - góc nhọn).

Do đó DQ = DP (2 cạnh tương ứng).

c) Từ ý a và b ta có DR = DP và DQ = DP nên DR = DQ.

Ta có D nằm trong $\large \widehat{BAC}$ và D cách đều hai cạnh AB và AC của $\large \widehat{BAC}$ nên D nằm trên tia phân giác của $\large \widehat{BAC}$ .

3.2 Bài tập toán 7 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 75 SGK toán 7/2 Chân trời sáng tạo

Ta thấy G là giao điểm hai đường trung tuyến của tam giác EFH nên G là trọng tâm của tam giác EFH.

Do đó EG = 2/3EM.

Suy ra GM = EM - EG = EM - 2/3EM = 1/3EM.

Khi đó GM : EG = 1/3EM : 2/3EM = 1/2.

FG = 2/3FN, do đó GN = FN - FG = FN - 2/3FN = 1/3FN.

Khi đó FG : GN = 2/3FN : 1/3FN = 2.

GN = 1/3FN nên FN = 3GN.

FG = 2/3FN nên FN =3/2FG.

Ta điền như sau:

EG = 2/3EM;GM = 1/3EM;GM = 1/2EG;

FG = 2GN;FN = 3GN;FN = 3/2FG.

Bài 2 trang 75 SGK toán 7/2 Chân trời sáng tạo

a) G là giao điểm hai đường trung tuyến của tam giác ABC nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Do đó AG = 2/3AM = 2/3. 15 = 10 cm.

b) Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên GN = 1/3 > CN.

Do đó CN = 3GN = 3.6 = 18 cm

Bài 3 trang 75 SGK toán 7/2 Chân trời sáng tạo

a) Do AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.

Do đó BM = CM.

Xét $\large \Delta$ BMG và $\large \Delta$ CME có:

BM = CM (chứng minh trên).

$\large \widehat{BMG}=\widehat{CME}$ (đối đỉnh).

MG = ME (theo giả thiết).

Do đó $\large \Delta$ BMG = $\large \Delta$ CME (c.g.c).

Suy ra $\large \widehat{BGM}=\widehat{CEM}$ (2 góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên BG // EC.

b) Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2GM.

Lại có ME = GM và G, M, E thẳng hàng nên GE = GM + ME = 2GM.

Suy ra AG = GE.

Do đó G là trung điểm của AE.

Tam giác ABE có hai đường trung tuyến AI và BG cắt nhau tại F nên F là trọng tâm của tam giác ABE.

Do đó AF = 2FI.

Bài 4 trang 75 SGK toán 7/2 Chân trời sáng tạo

a) Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\large \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ .

Do BM và CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC nên M và N là lần lượt là trung điểm của AC và AB.

Khi đó BN = 1/2AB, CM = 1/2AC.

Mà AB = AC nên BN = CM.

Xét $\large \Delta$ MCB và $\large \Delta$ NBC có:

MC = NB (chứng minh trên).

$\large \widehat{MCB}=\widehat{NBC}$ (chứng minh trên).

BC chung.

Do đó $\large \Delta$ MCB = $\large \Delta$ NBC (c.g.c).

Suy ra BM = NC (2 cạnh tương ứng).

b) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại I nên I là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó AI đi qua trung điểm của BC.

Mà AI cắt BC tại H nên H là trung điểm của BC.

Bài 5 trang 76 SGK toán 7/2 Chân trời sáng tạo

Gọi giao điểm của BM và CN là I.

Tam giác ABC có I là giao điểm hai đường trung tuyến nên I là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó BI = 2/3BM, IM = 1/3BM, CI = 2/3CN, IN = 1/3CN.

Mà BM = CN nên BI = CI, IM = IN.

Xét $\large \Delta$ NIB và $\large \Delta$ MIC có:

IN = IM (chứng minh trên).

$\large \widehat{NIB}=\widehat{MIC}$ (đối đỉnh).

IB = IC (chứng minh trên).

Do đó $\large \Delta$ NIB = $\large \Delta$ MIC (c.g.c).

Suy ra BN = CM (2 cạnh tương ứng).

Do BM và CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC nên M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB.

Suy ra BN = 1/2AB, CM = 1/2AC.

Do đó AB = AC.

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Bài 6 trang 76 SGK toán 7/2 Chân trời sáng tạo

Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

BE và CD là hai đường trung tuyến của tam giác ABC nên E và D lần lượt là trung điểm của AC, AB.

Suy ra AE = 1/2AC, AD = 1/2AB.

Mà AB = AC nên AE = AD.

Xét $\large \Delta$ ABE và $\large \Delta$ ACD có:

AB = AC (chứng minh trên).

$\large \widehat{A}$ chung.

AE = AD (chứng minh trên).

Do đó $\large \Delta$ ABE = $\large \Delta$ ACD (c.g.c).

Suy ra BE = CD (2 cạnh tương ứng).

F là giao điểm hai đường trung tuyến trong tam giác ABC nên F là trọng tâm của tam giác ABC.

Do đó DF = 1/3CD = 1/3. 9 = 3 (cm).

Vậy DF = 3 cm.

Lộ trình khóa học DUO dành riêng cho cấp THCS sẽ được thiết kế riêng cho từng em học sinh, phù hợp với khả năng của các em cũng như giúp các em từng bước tăng 3 - 6 điểm trong bài thi của mình.

3.3 Bài tập toán 7 cánh diều

Bài 1 trang 107 SGK Toán 7/2 Cánh diều

Tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó GA = 2/3AM; GB = 2/3BN; GC = 2/3CP.

Do đó GA + GB + GC = 2/3AM + 2/3BN + 2/3CP = 2/3(AM + BN + CP).

Bài 2 trang 107 SGK Toán 7/2 Cánh diều

a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\large \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ .

Do BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của AC và N là trung điểm của AB.

Do đó BN = MC.

Xét $\large \Delta$ NBC và $\large \Delta$ MCB có:

BN = MC (chứng minh trên).

$\large \widehat{NBC}=\widehat{MCB}$ (chứng minh trên).

BC chung.

Do đó $\large \Delta$ NBC = $\large \Delta$ MCB (c - g - c).

Suy ra BM = CN (2 cạnh tương ứng).

b) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó GB = 2/3BM; GC = 2/3CN.

Mà BM = CN nên GB = GC.

Tam giác GBC có GB = GC nên tam giác GBC cân tại G.

Bài 3 trang 107 SGK Toán 7/2 Cánh diều

a) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó GM = 1/2GA.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG nên M là trung điểm của GD.

Suy ra GM = 1/2GD.

Vậy GA = GD.

b) Do M là trung điểm của GD nên MG = MD.

Xét $\large \Delta$ MBG và $\large \Delta$ MCD có:

MB = MC (theo giả thiết).

$\large \widehat{GMB}=\widehat{DMC}$ (2 góc đối đỉnh).

MG = MD (chứng minh trên).

Do đó $\large \Delta$ MBG = $\large \Delta$ MCD (c - g - c).

c) Do $\large \Delta$ MBG = $\large \Delta$ MCD (c - g - c) nên CD = BG (2 cạnh tương ứng).

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên BG = 2GN.

Mà CD = BG nên CD = 2GN.

Bài 4 trang 107 SGK Toán 7/2 Cánh diều

a) Do H là hình chiếu của A trên BC nên AH ⊥ BC.

Xét $\large \Delta$ AHB vuông tại H và $\large \Delta$ AHM vuông tại H có:

AH chung.

HB = HM (theo giả thiết).

Do đó $\large \Delta$ AHB = $\large \Delta$ AHM (2 cạnh góc vuông).

b) Do $\large \Delta$ AHB = $\large \Delta$ AHM (2 cạnh góc vuông) nên AB = AM (2 cạnh tương ứng).

$\large \Delta$ ABC có hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của $\large \Delta$ ABC.

Suy ra AG = 2/3AM.

Mà AB = AM nên AG = 2/3AB.

Bài 5 trang 107 SGK Toán 7/2 Cánh diều

a) $\large \Delta$ ABC cân tại A nên AB = AC và $\large \widehat{ABH}=\widehat{ACH}$ .

AH là đường trung tuyến của ∆ABC nên H là trung điểm của BC.

Do đó BH = CH.

Xét $\large \Delta$ ABH và $\large \Delta$ ACH có:

AB = AC (chứng minh trên).

$\large \widehat{ABH}=\widehat{ACH}$ (chứng minh trên).

BH = CH (chứng minh trên).

Do đó $\large \Delta$ ABH = $\large \Delta$ ACH (c - g - c).

Suy ra $\large \widehat{AHB}=\widehat{AHC}$ (2 góc tương ứng).

Mà $\large \widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^{o}$ nên $\large \widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^{o}$ hay AH $\large \perp$ BC.

b) Do O là trọng tâm của tam giác ABC nên OH = 1/3AH = 1/3. 1,2 = 0,4 m.

Do mỗi tầng cao 3,3 m nên vị trí O ở độ cao 0,4 + 3,3 . 3 = 10,3 m so với mặt đất.

HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN TOP 5 TRƯỜNG ĐIỂM QUỐC GIA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học cá nhân hóa, giúp con tăng 3 - 6 điểm chỉ sau 1 khóa học

⭐ Học chắc - ôn kỹ, tăng khả năng đỗ vào các trường chuyên cấp 2, cấp 3

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo mong muốn và thời gian biểu cá nhân

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô, hỗ trợ con 24/7

⭐ Học lý thuyết đi đôi với thực hành, kết hợp chơi và học giúp con học hiệu quả

⭐ Công nghệ AI cảnh báo học tập tân tiến, giúp con tập trung học tập

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập được biên soạn bởi các thầy cô TOP 5 trường điểm quốc gia

Trải nghiệm khóa học DUO hoàn toàn miễn phí ngay!!

Trên đây là những kiến thức về bài học Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác trong chương trình toán lớp 7. Qua bài học, các em đã biết được về mối quan hệ giữa các đường trung tuyến, đường phân giác trong tam giác và áp dụng giải các bài tập hình học toán 7. Theo dõi các bài học mới nhất của VUIHOC trên trang web vuihoc.vn và đừng quên để lại thông tin để được tư vấn lộ trình học toán THCS hiệu quả nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm:

Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác