Tổng hợp kiến thức đường tròn toán 9 chương trình mới

Tác giả Hoàng Uyên 09:17 26/07/2024 1,226 Tag Lớp 9

Trong đời sống, chúng ta gặp rất nhiều hình ảnh của hình tròn hay đường tròn. Vậy đường tròn là gì? Đường tròn có những tính chất gì? Cùng khám phá những kiến thức về đường tròn trong bài viết dưới đây.

Tổng hợp kiến thức đường tròn toán 9 chương trình mới

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Định nghĩa đường tròn

- Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0), kí hiệu là (O,R) là hình gồm tất cả các điểm cách điểm O một khoảng bằng R.

+ Một đường tròn hoàn toàn xác định khi biết tâm và bán kính. Khi không cân quan tâm đến bán kính R, ta kí hiệu đường tròn tâm O là (O).

+ Nếu A là một điểm của đường tròn (O) thì ta viết A $\large \in$ (O). Khi đó, ta còn nói đường tròn (O) đi qua điểm A hay điểm A nằm trên đường tròn (O).

- Nhận xét:

+ Điểm M nằm trên đường tròn (O,R) nếu OM = R;

+ Điểm M nằm trong đường tròn (O,R) nếu OM < R;

+ Điểm M nằm ngoài đường tròn (O,R) nếu OM > R.

- Tính đối xứng của đường tròn: Đường tròn là hình có tâm đối xứng; tâm của đường tròn là tâm đối xứng của nó. Đường tròn là hình có trục đối xứng, mỗi đường thẳng qua tâm của đường tròn là một trục đối xứng của nó.

- Đường kính và dây cung của đường tròn: Cho hai điểm M, N cùng thuộc một đường tròn, đoạn thẳng MN được gọi là dây cung hoặc dây. Đường kính là một dây đi qua tâm, trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài lớn nhất.

2. Vị trí tương đối của hai đường tròn

2.1 Hai đường tròn cắt nhau

- Hai đường tròn có đúng hai điểm chung gọi là hai đường tròn cắt nhau. Mỗi điểm chung của hai đường tròn cắt nhau được gọi là một giao điểm củ hai đường tròn đó.

- Cho hai đường tròn (O,R) và (O', r) với R $\geq$ r. Người ta chứng minh được khẳng định sau: Nếu hai đường tròn đó cắt nhau thì R - r < OO' < R + r.

2.2 Hai đường tròn tiếp xúc nhau

- Hai đường tròn có đúng một điểm chung gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau tại điểm chung đó. Điểm chung của hai đường tròn tiếp xúc nhau gọi là tiếp điểm.

- Hai đường tròn tiếp xúc nhau có 2 trường hợp: tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài.

- Nhận xét: Cho hai đường tròn (O,R) và (O', r), chứng minh được những khẳng định sau:

+ Nếu hai đường tròn đó tiếp xúc ngoài thì tiếp điểm A nằm giữa O, O' và OO' = R + r.

+ Giả sử R > r, nếu hai đường tròn tiếp xúc trong thì điểm O' nằm giữa O,A và OO' = R - r.

2.3 Hai đường tròn không giao nhau

- Hai đường tròn không có điểm chung gọi là hai đường tròn không giao nhau. Có 2 trường hợp là hai đường tròn ở ngoài nhau và đường tròn đựng đường tròn.

- Nhận xét: Cho hai đường tròn (O,R) và (O',r), chứng minh được những khẳng định sau:

+ Nếu hai đường tròn ở ngoài nhau thì OO' > R + r.

+ Giả sử R > r. Nếu đường tròn (O) đựng đường tròn (O') thì OO' < R - r.

2.4 Bảng tóm tắt vị trí tương đối của hai đường tròn

3. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

- Nếu đường thẳng a và đường tròn (O):

+ Không có điểm chung thì ta nói a và (O) không giao nhau;

+ Có duy nhất một điểm chung C thì ta nói a tiếp xúc với (O) tại C, khi đó a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C và C là tiếp điểm;

+ Có hai điểm chung A, B thì ta nói a cắt (O), a là cát tuyến của đường tròn (O) và A, B là hai giao điểm.

- Nhận xét: Cho đường tròn (O,R). Gọi d là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a, ta có kết quả sau:

+ Đường thẳng a và đường tròn (O,R) không giao nhau khi d > R.

+ Đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O,R) khi d = R.

+ Đường thẳng a cắt đường tròn (O,R) khi d < R.

- Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn: Một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn khi nó đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.

+ Tính chất của tiếp tuyến:

Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến tiếp tuyến luôn bằng bán kính của đường tròn đó.

- Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

+ Điểm đó cách điều hai tiếp điểm;

+ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Khóa học DUO dành riêng cho các em bậc THCS từ nhà trường VUIHOC, các em sẽ được học cùng các thầy cô TOP trường điểm quốc gia với kinh nghiệm giảng dạy phong phú. Đăng ký học thử để được trải nghiệm buổi học trực tuyến hoàn toàn miễn phí nhé!

4. Góc ở tâm, góc nội tiếp đường tròn

4.1 Góc ở tâm

- Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.

- Mỗi phần đường tròn giới hạn bởi hai điểm A, B trên đường tròn gọi là một cung AB, kí hiệu là $\widehat{AB}$

- Trong hình, ta có góc ở tâm $\large \widehat{AOB}$ chắn cung AnB, khi 0^o < $\large \widehat{AOB}$ < 180^o, để phân biệt hai cung có chung các mút A, B ta gọi cung AnB là cung nhỏ, cung AmB à cung lớn. Khi AB là đường kính thì gọi cung AB là cung nửa đường tròn.

- Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360^o và số đo của cung nhỏ có chung hai đầu mút với cung lớn.

+ Số đo của cung nửa đường tròn bằng 180^o.

+ Số đo của cung AB đợc kí hiệu là sđ $\widehat{AB}$ .

- Chú ý:

+ Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn 180^o, cung lớn có số đo lớn hơn 180^o. Cung nửa đường tròn có số đo 180^o.

+ Khi hai mút của cung trùng nhau, ta có cung không với số đo 0^o và cung cả đường tròn có số đo 360^o.

+ Một cung có số đo n^o thường được gọi tắt là cung n^o.

+ Trong một đường tròn, hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

- Độ dài cung tròn: Trên đường tròn bán kính R, độ dài l của một cung có số đo n^o được tính theo công thức:

$\large l=\frac{\pi Rn}{180}$

4.2 Góc nội tiếp

- Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

- Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

5. Các dạng bài tập về đường tròn

5.1 Dạng bài chứng minh các điểm cho trước cùng nằm trên một đường tròn

Cách 1: chứng minh các điểm cho trước cùng cách đều 1 điểm cho trước nào đó.

Cách 2:

Nếu $\large \widehat{BAC}=90^{o}$ thì A thuộc đường tròn đường kính BC.

Xét tam giác vuông ABC có AO là đường trung tuyến nên:

$\large AO=\frac{1}{2}BC\Rightarrow AO=OB=OC$

Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 9cm, BC = 12cm. Chứng minh bốn điểm A,B,C,D cùng nằm trên một đường tròn, tính bán kính đường tròn đó.

Lời giải:

- Theo tính chất hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt tại trung điểm của mỗi đương, gọi O là giao điểm của AC và BD

ABCD là hình chữ nhật ta có OA = OB = OC = OD => A,B,C,D $\large \in$ (O)

- Áp dụng định lý pythagore cho tam giác vuông ABC ta có:

$\large BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=15cm$

$\large \Rightarrow OA=OB=OC=OD=\frac{1}{2}BC=7,5cm$

5.2 Dạng bài liên hệ giữa đường kính và dây của đường tròn

- Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn đó.

- Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính của đường tròn đó.

+ Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Xét tam giác COD cân tại O (OC = OD) và OB là đường cao nên OB là đường trung trực của đoạn thẳng CD, do đó OB là trung tuyến và đi qua trung điểm CD.

+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

Xét tam giác COD cân tại O (OC = OD) và OB là đường trung tuyến nên OB là đường trung trực của đoạn thẳng CD, do đó OB vuông góc CD.

- Ví dụ 1: Cho đường tròn (I) có các dây cung AB, CD, EF. Cho biết AB và CD đi qua tâm I, EF không đi qua I. Hãy so sánh độ dài AB, CD, EF.

Lời giải:

Trong đường tròn (I), AB và CD là đường kính đi qua tâm I, EF là dây cung không đi qua I. Do đso AB = CD và EF < AB; EF < CD

Vậy EF < AB = CD.

- Ví dụ 2: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và một dây cung CD. Kẻ AE và BF vuông góc với CD lần lượt tại E và F. Chứng minh CE = DF, E và F đều nằm ngoài (O).

Lời giải:

- Gọi I là trung điểm của CD => CI = ID

Xét hình thang AEFB có I là trung điểm EF => IE = IF => CE = DF

- Ta có góc EAB và FBA bù nhau nên có một góc tù và một góc nhọn.

Giả sử góc EAB > 90^o => $\large \Delta$ EAO có OE > OA = R => E nằm ngoài đường tròn, mà OE = OF nên F nằm ngoài đường tròn (O).

5.3 Dạng bài về vị trí tương đối của hai đường tròn

- Áp dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn để chứng minh

- Ví dụ 1: Cho đường tròn (O,R) và (O',R) cắt nhau tại A, B. Chứng minh OO' là đường trung trực của AB.

Lời giải:

Ta có OA = OB = R

O'A = O'B = R'

Do đó O, O' thuộc đường trung trực của AB

Vậy O, O' là đường trung trực của dây AB.

- Ví dụ 2: Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A, B. Gọi I là trung điểm của OO'. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với IA cắt (O) tại C và cắt (O') tại D. So sánh AC và AC.

Lời giải:

Vẽ OM $\large \perp$ AC tại M

$\large \Rightarrow MA=MC=\frac{1}{2}AC(1)$

O'N $\large \perp$ AD tại N

$\large \Rightarrow NA=ND=\frac{1}{2}AD(2)$

Hình thang OO'NM có IO = IO' và IA // OM // O'N => MA = NA (3)

Từ (1) (2) (3) => AC = AD

5.4 Dạng bài chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

Để chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O,R) tại tiếp điểm M, ta có thể làm theo các cách sau:

Cách 1: Chứng minh M nằm trên (O) và OM vuông góc với d tại M.

Cách 2: Kẻ OH vuông góc với d tại H, chứng minh OH = OM = R.

Cách 3: Vẽ tiếp tuyến d' của (O) và chứng minh d trùng d'.

- Ví dụ: Cho đường tròn tâm (O) có bán kính OA = R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA. Chứng minh tứ giác OACB là hình thoi. Kẻ tiếp tuyến với đường tròn B, cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE theo R.

Lời giải:

- Có OA vuông góc với BC tại M => M là trung điểm của BC => OCAB là hình thoi.

- Tính được BR = R $\large \sqrt{3}$

5.5 Dạng bài liên quan đến vị trí tương đối và tiếp tuyến chung của hai đường tròn

- Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó. Ta có các trường hợp tiếp tuyến chung của hai đường tròn như sau:

+ Hai đường tròn cắt nhau có hai tiếp tuyến chung ngoài.

+ Hai đường tròn tiếp xúc ngoài có hai tiếp tuyến chung ngoài và một tiếp tuyến chung.

+ Hai đường tròn tiếp xúc trong chỉ có 1 tiếp tuyến chung.

+ Hai đường tròn ngoài nhau có hai tiếp tuyến chung ngoài và hai tiếp tuyến chung trong.

- Ví dụ: Cho hai đường tròn (O,8cm) và (O',5cm) tiếp xúc ngoài tại M. Gọi AB là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( A $\large \in$ (O); B $\large \in$ (O')). Tính độ dài AB.

Lời giải:

- Vẽ BC // OO' (C $\large \in$ OA) (1)

Ta có OA // O'B ( $\large \perp$ AB) (2)

Từ (1) và (2) => OCBO' là hình bình hành.

Do đó OC = O'B = 5cm; BC = OO' = 13cm.

Có AC = OA - OC = 8 - 5 = 3cm.

$\large \Delta$ ABC vuông tại A $\large \Rightarrow AB =\sqrt{BC^{2}-AC^{2}}=\sqrt{13^{2}-3^{2}}\approx 12,65cm$

5.6 Dạng bài tính số đo góc ở tâm và số đo cung bị chắn

- Đưa về cách tính số đo một góc của tam giác;

- Để tính số đo của cung nhỏ, ta tính số đo của góc ở tâm tương ứng;

- Để tính số đo củ cung lớn, ta lấy 360^o trừ đi số đo của cung nhỏ;

- Sử dụng tỉ số lượng giác của một góc nhọn để tính góc.

- Ví dụ: Cho đường tròn (O,R). Vẽ dây AB = R $\large \sqrt{2}$ . Tính số đo của hai cung AB.

Lời giải:

Xét $\large \Delta$ AOB có: OA² + OB² = R² + R² = 2R² = AB² => $\large \Delta$ AOB vuông tại O

=> Số đo cung AB = 90^o.

Vậy số đo cung lớn là 360^o - 90^o = 270^o.

5.7 Chứng minh hai cung bằng nhau

- Để chứng minh hai cung của một đường tròn bằng nhau, ta chứng minh hai cung ấy có cùng một số đo. Chú ý trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

- Ví dụ: Cho hai đường tròn đồng tâm (O,R) và (O; R $\large \sqrt{3}$ /2) trên đường tròn nhỏ lấy một điểm M. Tiếp tuyến tại M của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại A và B. Tia OM cắt đường tròn lớn tại C. Chứng minh rằng cung CA = CB, tính số đo cung AB.

Lời giải:

- Ta có AM $\large \perp$ OB ( tính chất hai tiếp tuyến)

$\large \Delta$ AOB cân tại O $\large \Rightarrow \widehat{O_{1}}=\widehat{O_{2}}$

=> Cung CA bằng cung CB ( hai góc ở tâm bằng nhau thì hai cung bị chắn bằng nhau).

- Ta có MA = MB (đường kính vuông góc với dây)

$\large MA^{2}=OA^{2}-OM^{2}=R^{2}-\left ( \frac{R\sqrt{3}}{2} \right )^{2}=\frac{R^{2}}{4}$

$\large \Rightarrow MA=\frac{R}{2}\Rightarrow AB=R$

$\large \Delta$ AOB có ba cạnh bằng nhau => $\large \Delta$ AOB đều => $\large \widehat{AOB}=60^{o}$

=> Số đo cung AB nhỏ là 60^o, số đo cung AB lớn là 300^o.

HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN TOP 5 TRƯỜNG ĐIỂM QUỐC GIA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học cá nhân hóa, giúp con tăng 3 - 6 điểm chỉ sau 1 khóa học

⭐ Học chắc - ôn kỹ, tăng khả năng đỗ vào các trường chuyên cấp 2, cấp 3

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo mong muốn và thời gian biểu cá nhân

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô, hỗ trợ con 24/7

⭐ Học lý thuyết đi đôi với thực hành, kết hợp chơi và học giúp con học hiệu quả

⭐ Công nghệ AI cảnh báo học tập tân tiến, giúp con tập trung học tập

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập được biên soạn bởi các thầy cô TOP 5 trường điểm quốc gia

Trải nghiệm khóa học DUO hoàn toàn miễn phí ngay!!

Trên đây là bài học Tổng hợp kiến thức đường tròn toán 9 chương trình mới. Theo dõi các bài học mới nhất của VUIHOC trên trang web vuihoc.vn và đừng quên để lại thông tin để được tư vấn lộ trình học toán 9 THCS hiệu quả nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm: