Chương trình toán 10: Lý thuyết về 3 đường conic

1. 3 đường conic: Đường elip

1.1 Định nghĩa phương trình đường elip

Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định F1 và F2. Elip là tập hợp các điểm M sao cho tổng $F_{1}M+F_{2}M=2a$ không đổi.

Trong đó các điểm $F_{1},F_{2}$ gọi là tiêu điểm của elip.

Khoảng cách $F_{1}F_{2}=2c$ gọi là tiêu cự của elip.

1.2 Phương trình chính tắc của đường elip

Cho elip có tiêu điểm $F_{1},F_{2}$ chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $F_{1}(-c;0)$ và $F_{2}(c;0)$. Khi đó người ta chứng minh được: 

$M\left ( x;y \right )\epsilon$ elip $\Rightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (1)

Trong đó: $b^{2}=a^{2}-c^{2}$

Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của đường elip.

2. 3 đường conic: Đường hypebol

2.1 Định nghĩa đường hypebol

- Diễn giải bằng lời: Trong toán học, đường hypebol hay hypebol là một kiểu đường cô-nic, được định nghĩa là đường giao của một mặt nón với một mặt phẳng cắt cả hai nửa của hình nón.

- Đường hyperbol được định nghĩa là quỹ tích của tập hợp các điểm trong mặt phẳng có giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách tới hai điểm cố định là một hằng số giá trị bằng 2a (a bằng độ dài bán trục lớn của đường hypebol). Hai điểm cố định trên gọi là hai tiêu điểm của đường hypebol. Đường thẳng đi qua hai tiêu điểm này chính là đường trục thực của đường hypebol; trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm này được gọi là tâm của hình hypebol.

- Diễn giải bằng kí hiệu: Cho hai điểm cố định F₁ , F₂ với F₁F₂ = 2c (c>0) và hằng số a<c .

Đường hypebol là tập hợp các điểm M thỏa mãn , Kí hiệu là (H)

Gọi: F₁ và F₂ là tiêu điểm của đường (H)

Khoảng cách F₁F₂ = 2c là tiêu cự của (H) .

2.2 Phương trình chính tắc đường hypebol

Với F₁(-c ;0), F₂(c;0)

M(x ; y) ∈ (H) ⇔ x² a² - y² b² = 1 với b² = c² - a² (2)

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán vững vàng

3. 3 đường conic: Đường parabol

3.1 Phương trình tổng quát đường parabol

Phương trình đường Parabol được biểu diễn như sau: $y = ax^2 + bx + c $

• Hoành độ của đỉnh chính là $-\frac{b}{2a}$

• Thay tọa độ trục hoành vào phương trình trên, ta tìm được hoành độ Parabol có công thức dưới dạng: $\frac{b^2-4ac}{4a}$

• Tọa độ đỉnh của đường parabol cũng như hình dạng của nó phụ thuộc vào dấu của hệ số a

3.2 Phương trình chính tắc đường parabol

Phương trình chính tắc của một parabol được biết dưới dạng: $y^2 = 2px (p > 0) $

Chứng minh như sau: Cho đường parabol có tiêu điểm E và một đường chuẩn d. 

Kẻ PE ⊥ d (P ∈ d) và ta đặt PE = p. 

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy với điểm O là trung điểm của PE và điểm E thuộc tia Ox.

Suy ra ta có: $E=(\frac{p}{2};0) , P=(-\frac{p}{2};0) $

Từ đó ta có phương trình của đường thẳng d là: $x + \frac{p}{2} = 0$  

Điểm M(x;y)  nằm trên parabol biết trước khi và chỉ khi khoảng cách ME chính bằng khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d, hay là: $(x - \frac{p}{2})2+ y^2 = x+\frac{p}{2}$

Bình phương cả 2 vế của đẳng thức sau đó rút gọn thì ta được phương trình chính tắc của parabol có dạng:  $y^2 = 2px (p > 0)$

Qua bài viết, bạn đã hiểu rõ hơn về 3 đường conic trong chương trình toán 10. Hy vọng đây sẽ là những kiến thức hữu ích để bạn củng cố kiến thức và ứng dụng chúng hiệu quả hơn. Để tham khảo thêm các dạng kiến thức Toán THPT, trong đó có Toán lớp 10, các em truy cập đường link online vuihoc.vn hoặc đăng ký khoá học với các thầy cô ngay tại đây nhé!