Cấp Số Nhân Là Gì? Tổng Hợp Các Công Thức Cấp Số Nhân Và Bài Tập

Tác giả Cô Hiền Trần 11:52 30/09/2024 507,578 Tag Lớp 11

Cấp số nhân là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán THPT. Trong đó, các công thức cấp số nhân khá phức tạp. Vì vậy, để làm bài tập thì các em cần ghi nhớ và biết cách vận dụng công thức. Cùng VUIHOC điểm lại các công thức và bài tập cấp số nhân qua bài viết sau đây.

Cấp Số Nhân Là Gì? Tổng Hợp Các Công Thức Cấp Số Nhân Và Bài Tập

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn điều kiện kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi (hằng số này được gọi là công bội q của cấp số nhân). Có nghĩa là:

$u_{n}$ là cấp số nhân với $\Leftrightarrow \forall n \geq 2, u_{n-1}$ với $n \in N^{\ast }$

Ví dụ: Dãy số $(u_{n})$ , với $u_{n}=3^{n}$ là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3$ và công bội q = 3.

2. Công bội q

q là công bội của cấp số nhân u_n có

Công bội $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân $u_{1}=3,u_{2}=9$ . Tính công bội q

Ta có:

$q=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{9}{3}=3$

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân $u_{3}=8,u_{4}=16$ . Tính công bội q

Ta có:

$q=\frac{u_{4}}{u_{3}}=\frac{16}{8}=2$

3. Tính chất cấp số nhân

$(u_{n})$ là một cấp số nhân thì từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) sẽ bằng tích của số đứng trước và số đứng sau nó.

$\Leftrightarrow (u_{k})^{2}=u_{k-1}.u_{k+1}$

Nếu một cấp số nhân u_n có số hạng đầu u₁ và công bội q thì số hạng tổng quát u_n sẽ được tính bởi công thức:

$u_{n}=u_{1}.q^{n-1}$

Ví dụ : Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với công bội q > 0.

Biết u₁ = 1; u₃ =3. Hãy tìm u₄

Lời giải:

Ta có: u₂²= u₁. u₃= 3

u₃²= u₂. u₄

Từ (1) do u₂ > 0 ( vì u₁=1 > 0 và q > 0)

$\Rightarrow u_{4}=\frac{{u_{3}}^{2}}{u_{2}}$

Khi q = 0 thì dãy có dạng u₁; 0;0…;0;… và S_n=u₁
Khi q = 1 thì dãy có dạng u₁;u₁;u₁;...;u₁;... và S_n=nu₁.
Khi u₁= 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0;…; 0;… và S_n=u₁.

Đăng ký ngay để được nhận trọn bộ kiến thức về cấp số nhân

4. Tổng hợp các công thức tính cấp số nhân cơ bản

4.1. Dạng 1: Nhận biết CSN

Phương pháp:

Tính $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \forall n \geq 1$
Kết luận:

Nếu q là không đổi thì dãy u_n là cấp số nhân
Nếu q thay đổi thì dãy u_n không là cấp số nhân

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một cấp số nhân có số hạng thứ nhất là 2 và công bội là 2. Viết 6 số hạng đầu tiên.

Lời giải:

Ta có 6 số hạng đầu tiên là: 2, 4, 8, 16, 32, 64

Ví dụ 2 : Cấp số nhân U_n có số hạng thứ hai là 10 và số hạng thứ năm là 1250.

Tìm số hạng thứ nhất
Viết 5 số hạng đầu tiên

Lời giải:

Đặt r là công bội của cấp số nhân.

Ta có: r^(5-2)= r³ hay r³ = 1250 : 10 = 125 = 5³. Từ đó r = 5.

$\Rightarrow$ u1=10=5=2.

Số hạng thứ nhất là 2

2, 10, 50, 1250, 6250

Ví dụ 3: Bài cho cấp số nhân U_n thỏa mãn: $u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}$ . Dãy số U_n trên là cấp số nhân đúng hay sai?

Lời giải:

Ta có: $\frac{u_{n}+1}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt3=const$ không phụ thuộc vào n. Vậy dãy số (U_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3\sqrt{3}$ và công bội là $q=\sqrt3$

4.2. Dạng 2: Tìm công bội của cấp số nhân

Phương pháp: Sử dụng các tính chất của CSN, biến đổi để tính công bội của CSN.

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân U_n có U₁ = 2, U₂ = 4. Tính công bội q.

Từ công thức ta có: $q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{4}{2}=2$

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân U_n có U₁ = 3, U₂ = -6. Tính công bội q.

Lời giải:

Từ công thức ta có:

$q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{-6}{3}=-2$

Ví dụ 3: Đề cho ba số x,y,z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội q.

Lời giải:

Đặt q là công bội của cấp số nhân trên

Các số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng $\Rightarrow x+3z=4y$

Giải bài toán công thức cấp số nhân

4.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân

Phương pháp:

Để tìm số hạng của cấp số nhân ta sử dụng công thức tính số hạng tổng quát U_n = U₁.q_n-1 , n ≥ 2.

Ví dụ 1: Tìm u₁và q của cấp số nhân biết:

$\left\{\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 72\\ u_{5} - u_{3} = 144 \end{matrix}\right.$

Lời giải:

Ta biến đổi:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 72\\ u_{1}q^{4} - u_{1}q^{2} = 144 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2} - 1) = 72\\ u_{1}q^{2}(q^{2} - 1) = 144 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow q = \frac{144}{72} = 2 \Rightarrow u_{1} = 12$

Vậy cấp số nhân (u_n) có u₁ = 12 và q = 2

Ví dụ 2: Bài cho cấp số nhân (u_n) với u₃= 8 , u₅= 32. Số hạng thứ 10 của cấp số nhân đó là?

Lời giải:

Gọi q là công bội của cấp số nhân (u_n), ta có $q^{2}=\frac{u_{5}}{u_{3}}=4 \Rightarrow q = \pm 2$

Với q = 2, ta có u₁₀= u₃. q^₇= 8 . 2^₇= 1024

Với q = -2, ta có u₁₀= u₃. q⁷= 8 . (-2)⁷= -1024

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (u_n), biết rằng số hạng đầu tiên u₁= 3, công bội là 2. Hãy tìm số hạng thứ 5

Lời giải:

Áp dụng công thức ta có : u_n= u₁. q^n–1

$\Leftrightarrow$ u₅= u₁. q⁴=3 . 2⁴= 48

4.4. Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân của n số hạng đầu tiên trong dãy

Ta sử dụng công thức:

Công thức tính tổng CSN của n số hạng đầu tiên trong dãy - công thức cấp số nhân

Ví dụ 1: Tính tổng cấp số nhân:

S = 2 + 6 + 18 + 13122

Lời giải:

(u_n) có u₁=2 và q = 3.

$13122 = u_{n} = u_{n}q^{n-1} = 2.3^{n-1} \Leftrightarrow n=9 \Rightarrow S=S_{9}=u_{1}\frac{q_{0}-1}{q-1}$

Ví dụ 2: Bài cho cấp số nhân (u_n) với

$(un): \left\{\begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\\ u_{4} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right.$

5 số hạng đầu của cấp số nhân trên là gì?
10 số hạng đầu của cấp số nhân (u_n) trên có tổng là bao nhiêu?

Lời giải:

Giải bài tập áp dụng công thức cấp số nhân

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân U_n thỏa mãn: $u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}$

Dãy số là cấp số nhân là đúng hay sai?
Tính S = u₂+ u₄+ u₆... + u₂₀

Lời giải:

Ta có: $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt{3}=const$ không phụ thuộc vào n. Vậy dãy số (U_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3\sqrt{3}$ và công bội là $q=\sqrt{3}$
Dãy số: u₂, u₄, u₆,..., u₂₀ lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là u₂= 9, q = 3

$\Rightarrow S=u_{2}+u_{4}+u_{6}...+u_{20}=u_{2}\frac{1-3^{10}}{1-3}=\frac{9}{2}(3^{10}-1)$

4.5. Dạng 5: Tìm CSN

Phương pháp:

Xác định các thành phần cấu tạo nên một cấp số nhân như: số hạng đầu U₁, công bội q sau đó suy ra được công thức cho số hạng tổng quát .

Ví dụ 1: CSN (u_n) như sau, tìm u₁ khi:

$u_{n} = \frac{2}{3^{n - 1}}$

Mà $u_{n} = \frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n - 1} = 6561 \Rightarrow n = 9$

Lời giải:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}(1 + q^{4}) = \frac{82}{11}\\ u_{1}(1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4}) = 11 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(1 + q + q^{2}) = \frac{32}{11}\\ u_{1}(1 + q^{4}) = \frac{82}{11} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{1 + q^{4}}{q(1 + q + q^{2})} = \frac{82}{39}$

$\Leftrightarrow$ Ta có q = 3 hoặc $q = \frac{1}{3}$

Khi đó lần lượt $u_{1} = \frac{81}{11}$ hoặc $u_{1} = \frac{1}{11}$

Ví dụ 2: Dãy số nào là cấp số nhân:

1;0,2;0,04;0,008;...
1,22,222,2222,...
X,2x,3x,4x,...
2,3,5,7,...

Lời giải:

Xét đáp án A ta có:

u₁= 1, u₂= u₁. 0,2, u₃= u₁. (0,2)², u₄= u₁. (0,2)³

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được u_n= (0,2)ⁿ

Khi đó $\frac{u_{n+1}}{u{n}}=\frac{(0,2)^{n+1}}{0,2}=0,2$ không đổi

Vậy dãy số là cấp số nhân có công bội q = 0,2

Ví dụ 3: Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

Lời giải:

Gọi cấp số nhân (u_n) cần tìm có công bội q, số hạng đầu tiên u_n.

Ta có: $s_{5} = \frac{u_{1} . (1-q)}{1-q}$

s₅' = u₂+ u₃ + u₄ + u₅ + u₆

= u₁q + u₂q + u₃q + u₄q + u₅q

= q . (u₁+ u₂+ u₃+ u₄+ u₅)

= q . S₅

Mà S₅= 31; S₅' = 62

$\Rightarrow q=2$

$u_{1}=\frac{s_{5}.(1-q)}{1-q^{5}}=1$

Vậy cấp số nhân (u_n) là 1;2;4;8;16;32

Nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán THPT với bộ bí kíp độc quyền của VUIHOC ngay!!!

5. Cấp số nhân lùi vô hạn

5.1. Định nghĩa

Nếu cấp số nhân (u_n) có công bội q thỏa mãn -1 < q <1 thì cấp số nhân được gọi là lùi vô hạn.

S_n= u₁(1 - qⁿ)(1 - q) = u₁(qⁿ- 1)(q - 1)

Trong đó s_n là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u_n)

Ví dụ: $\frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\frac{1}{81},\frac{1}{243}$ là một cấp số nhân lùi vô hạn $q=\frac{1}{3}$

5.2. Bài toán tổng của cấp số nhân lùi hạn

Đề bài cho cấp số nhân lùi vô hạn (công bội q), vậy ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S bằng: $S=\frac{u_{1}}{1-q}$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính tổng

$S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...$

Lời giải:

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=1, q=\frac{-1}{3}$ nên

$S=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$

Ví dụ 2: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777… dưới dạng số

Lời giải:

Ta có:

$0,777...= 0,7+0,07+0,007+...=\frac{7}{10}+\frac{7}{10^{2}}+\frac{7}{10^{3}}+...=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{7}{10}}=\frac{7}{9}$

Vậy $0,777...=\frac{7}{9}$

Ví dụ 3: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là $\frac{5}{3}$ tổng ba số hạng đầu tiên của dãy số là $\frac{39}{25}$ . Xác định (u₁), q của cấp số đó?

Lời giải:

Giải bài toán áp dụng công thức cấp số nhân

6. Một số bài tập cấp số nhân và phương pháp giải chi tiết

Câu 1: Cho cấp số nhân un có công bội q

a) Biết u₁= 2, u₆ = 486. Tìm q

b) Biết $q= \frac{2}{3}$ , $u_{4} = \frac{8}{21}$ . Tính u₁

c) Biết u₁ = 3, q = -2. Xác định số 192 là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân?

Lời giải:

Áp dụng công thức u_n = u₁.q^n-1

a) Theo công thức trên ta có: u₆ = u₁.q⁵ $\Rightarrow$ $q^{5} = \frac{u_{6}}{u_{1}} = \frac{486}{2} = 243 \Rightarrow q = 3$

b) Theo công thức ta có: u₄ = u₁.q³ $\Rightarrow u_{1} = \frac{u_{4}}{q^{3}} = \frac{8}{21} . (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{7}$

c) Theo công thức ta có: $12 = 3.(-2)^{n - 1} \Rightarrow (-2)^{n - 1} = 64 \Rightarrow n - 1 = 6 \Rightarrow n = 7$

Vậy số 192 là số hạng thứ 7

Câu 2: Tìm các số hạng của cấp số nhân (u_n) biết cấp số nhân gồm có 5 số hạng và:

a) TH1: u₃= 3 , u₅= 27

b) TH2: u₄– u₂ = 25 , u₃ – u₁ = 50

Lời giải:

a) Theo công thức u_n = u₁.q^{n - 1} ta có lần lượt các số hạng u₃ và u₅ được tính như sau:

u₃ = u₁.q² $\Rightarrow$ 3 = u₁.q² (1)

u₅ = u₁.q⁴ $\Rightarrow$ 27 = u₁.q⁴ (2)

Từ (1) và (2) ta có thể suy ra được

$q^{2} = \frac{u_{1}.q^{4}}{u_{1}.q^{2}} = 9 \Rightarrow q = \pm 3$

Xét trường hợp:

Với q = 3 ta có $u_{1} = \frac{1}{3}$ ta có cấp số nhân lần lượt là: $\frac{1}{3}; 1; 3; 9; 27$

Với q = -3 ta có $u_{1} = -\frac{1}{3}$ ta có cấp số nhân lần lượt là: $\frac{1}{3}; -1; 3; -9; 27$

b) Theo đề bài ra ta có:

$\left\{\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 25\\ u_{3} - u_{1} = 50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 25\\ u_{1}q^{2} - u_{1} = 50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2} - 1) = 25 (1)\\ u_{1}(q^{2} - 1) = 50 (2) \end{matrix}\right.$

Thay (2) vào phương trình (1) ta có 50.q = 25 $\Leftrightarrow q = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow u_{1} = -\frac{200}{3}$

Vậy ta có cấp số nhân như sau:

$-\frac{200}{3}; -\frac{100}{3}; -\frac{50}{3}; -\frac{25}{3}; -\frac{25}{6}$

Ví dụ 3: Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62

Lời giải:

Tổng của 5 số hạng đầu bằng 31, từ đó ta suy ra:

u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = 31

$\Rightarrow$ u₁q + u₂q + u₃q + u₄q + u₅q = 31q

$\Rightarrow$ u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆ = 31q (1)

mà tổng của 5 số hạng sau bằng 62 từ đố suy ra

u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆ = 31q = 62

vậy q = 2

Vì S₅ = 31 = $\frac{u_{1}(1 - 2^{5})}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 1$

Vậy ta có cấp số nhân theo đề bài là: 1, 2, 4, 8, 16, 32

Ví dụ 4: Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh x là 1,4%. Biết rằng tại thời điểm khảo sát số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người, hỏi với mức tăng lương như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số nữa dân số của tỉnh đó là?

Lời giải:

Gọi số dân của tỉnh đó hiện tại là N

Sau một năm dân số tăng là 1,4%N

Vậy năm sau, số dân của tỉnh đó là n + 1,4%N = 101,4%N

Số dân tỉnh đó sau mỗi năm lập thành một cấp số nhân như sau N ; (101,4/100)N ; (101,4/100)2N ; …

Giả sử N=1,8 triệu người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là: (101,4/100)5. 1,8 = 1,9 (triệu dân)

Và sau 10 năm sẽ là (101,4/100)10. 1,8 = 2,1 (triệu dân)

Ví dụ 5: Đề bài cho u_n có các số hạng 0, tìm u₁ biết:

$u_{n}=\frac{2}{3^{n-1}}$ . Mà $u_{n}=\frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n-1} = 6561 \Rightarrow n=9$

Lời giải:

Giải bài toán áp dụng công thức cấp số nhân

Tham khảo ngay một số dạng bài tập thương gặp về cấp số nhân được các thầy cô VUIHOC tổng hợp

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và các dạng công thức cấp số nhân. Mong rằng với bài viết này, các em học sinh có thể giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao thật thành thục. Các em truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học để học và ôn tập kiến thức Toán 11 phục vụ ôn thi THPT QG ngay từ hôm nay nhé!

Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết

>> Xem thêm: