Cung và góc lượng giác: Lý thuyết và các dạng toán lớp 10

Tác giả Cô Hiền Trần 15:06 08/10/2024 150,395

Cung và góc lượng giác là dạng bài có nhiều công thức khó, dễ gây nhầm lẫn trong quá trình làm bài tập. Để có thể giúp các bạn nắm chắc kiến thức, Vuihoc.vn mang đến bài viết tổng hợp đầy đủ về cung và góc lượng giác .

Cung và góc lượng giác: Lý thuyết và các dạng toán lớp 10

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Khái niệm chung về cung và góc lượng giác

1.1. Cung lượng giác là gì?

Ta cho một đường tròn có bán kính R, tâm O, ta sẽ lấy hai điểm phân biệt A và B trên đường tròn (O) đó.

Lúc này ta nói: $\widehat{AmB}$ là cung nhỏ, $\widehat{AnB}$ sẽ là cung lớn. Khi viết $\widehat{AB}$ ta sẽ hiểu đây là cung nhỏ. AB là dây cung chắn $\widehat{AB}$.

1.2. Góc lượng giác là gì?

Khi ta có hai góc có cùng tia đầu và tia cuối thì ta có các số đo khác nhau một bội nguyên $360^{\circ}$ (hay $2\pi$).

Cung và góc lượng giác

1.3. Đường tròn lượng giác

Đường tròn lượng giác được định nghĩa là trong cùng mặt phẳng toạ độ, ta vẽ đường tròn tâm O, bán kính R, đồng thời chúng ta chọn điểm A làm gốc và chọn chiều quay ngược với chiều kim đồng hồ là chiều dương.

Điểm M(x;y) trên đường tròn lượng giác, (OA;OM) = α được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung lượng giác có số đo α.

Trục Ox gọi là trục giá trị của cos.
Trục Oy gọi là trục giá trị của sin.
Trục At gốc A cùng hướng với trục Oy gọi là trục giá trị của tan.
Trục Bs gốc B cùng hướng với trục Ox gọi là trục giá trị của cot.

Cung và góc lượng giác và đường tròn lượng giác

Giá trị lượng giác của sin, cosin, tang và cotang:

$sin\alpha = \overline{OH} = y$

$cos\alpha = \overline{OK} = x$

$tan\alpha = \frac{sin\alpha }{cos\alpha } (\alpha \neq \frac{\pi }{2} + k\pi )$

$cot\alpha = \overline{BS} = \frac{cos\alpha }{sin\alpha } (a \neq k\pi )$

Dấu của các giá trị lượng giác

Bảng dấu của các giá trị lượng giác - góc và cung lượng giác

2. Đơn vị đo cung và góc lượng giác

2.1. Đơn vị Radian

Khi cung có độ dài chính bằng bán kính đường tròn có chứa cung ấy và số đo là

1 radian, kí hiệu 1$rad$ hay đơn giản là bỏ $rad$ và kí hiệu là 1.

2.2. Đơn vị độ

Độ chính là số đo của góc bằng $\frac{1}{180}$ góc bẹt.

Số đo của góc ở tâm chắn cung đo bằng số đo của một cung tròn.

Do đó số đo của cung bằng $\frac{1}{180}$ nửa đường tròn là một độ.

Kí hiệu 1ođọc là một độ

$1^{\circ} = 60';1' = 60''$

2.3. Đổi độ ra Radian

$180^{\circ} = \pi rad \Rightarrow 1^{\circ} = \frac{\pi}{180}rad, 1rad = (\frac{180}{\pi})^{\circ}$

2.4. Độ dài của một cung tròn

Một cung của đường tròn bán kính R có số đo rad thì độ dài l=rad

Trên một đường tròn có bán kính R, tâm O, độ dài l của cung n được tính theo công thức: $l=\frac{\pi R n}{180}$

Cung lượng giác và độ dài cung tròn

Tham khảo ngay bộ tài liệu tổng ôn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập độc quyền của VUIHOC ngay!

3. Bảng giá trị lượng giác

3.1. Cách tìm giá trị lượng giác của cung

Cho một số thực $\alpha$ . Gọi M là điểm ngọn của cung có số đo $\alpha$ trên đường tròn lượng giác. Xét điểm M có tọa độ là M(x;y). Chúng ta có định nghĩa sau:

$x = cos\alpha ; y=sin\alpha ; yx=tan\alpha; xy=cot\alpha$

Giá trị cung và góc lượng giác và bảng giá trị lượng giác

Ta có công thức:

$tan\alpha = \frac{sin\alpha }{cos\alpha} ; cot\alpha = \frac{cos\alpha }{sin\alpha}$

Ta có một số công thức sau:

$sina=1 \Leftrightarrow \alpha = \frac{\pi}{\alpha} + k2\pi$
$sina= -1 \Leftrightarrow \alpha = \frac{-\pi}{2} + k2\pi$
$sina=0 \Leftrightarrow \alpha = k\pi$
$cosa=1 \Leftrightarrow \alpha = k2\pi$
$cosa= -1 \Leftrightarrow \alpha = k2\pi$
$cosa=0 \Leftrightarrow \alpha = k\pi$

3.2. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Cung và góc lượng giác và góc đặc biệt

3.3. Tìm giá trị lượng giác của các góc liên quan

Góc đối nhau	Góc bù nhau	Góc phụ nhau
$cos(-\alpha ) = cos\alpha$	$sin(\pi - \alpha ) = sin\alpha$	$sin(\frac{\pi }{2} - \alpha ) = cos\alpha$
$sin(-\alpha ) = -sin\alpha$	$cos(\pi - \alpha ) = -cos\alpha$	$cos(\frac{\pi }{2} - \alpha ) = sin\alpha$
$tan(-\alpha ) = -tan\alpha$	$tan(\pi - \alpha ) = -tan\alpha$	$tan(\frac{\pi }{2} - \alpha ) = cot\alpha$
$cot(-\alpha ) = -cot\alpha$	$cot(\pi - \alpha ) = -cot\alpha$	$cot(\frac{\pi }{2} - \alpha ) = tan\alpha$

Góc hơn kém $\pi$ ( $\alpha$ và $\pi + \alpha$ )	Góc hơn kém $\frac{\pi }{2}$ ( $\alpha$ và $\frac{\pi }{2} + \alpha$ )
$sin(\pi + \alpha ) = -sin\alpha$	$sin(\frac{\pi }{2} + \alpha ) = cos\alpha$
$cos(\pi + \alpha ) = -cos\alpha$	$cos(\frac{\pi }{2} + \alpha ) = -sin\alpha$
$tan(\pi + \alpha ) = tan\alpha$	$tan(\frac{\pi }{2} + \alpha ) = -cot\alpha$
$cot(\pi + \alpha ) = cot\alpha$	$cot(\frac{\pi }{2} + \alpha ) = -tan\alpha$

Công thức nghiệm cơ bản:

Công thức nghiệm cơ bản của lượng giác

3.4. Các công thức lượng giác

Chi tiết các em học sinh có thể tham khảo bài viết: Tổng hợp công thức lượng giác

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

4 .Một số bài tập về các dạng toán cung và góc lượng giác lớp 10

4.1. Cung lượng giác trên đường tròn được biểu diễn thế nào?

Phương pháp giải:

Ta thường sử dụng kết quả dưới đây để biểu diễn được các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác:

Góc $\alpha$ và góc $\alpha+k2\pi, k\in Z$ sẽ có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn bởi số đo có dạng $\alpha + \frac{k2\pi}{m}$ (với $k$ là số nguyên và m là số nguyên dương) là m. Từ đó để biểu diễn các góc lượng giác đó ta lần lượt cho từ k tới (m-1) rồi biểu diễn các góc đó.

Ví dụ: Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:

$\frac{\pi}{4}$
$\frac{-11\pi}{2}$
$120^{\circ}$
$-765^{\circ}$

Cách giải:

1. Ta có: $\frac{\frac{\pi}{4}}{2\pi} = \frac{1}{8}$ . Ta chia đường tròn ra các phần bằng nhau thành tám phần.

Khi đó điểm $M_{1}$ là điểm biểu diễn bởi góc có số đo $\frac{\pi}{4}$

2. Ta có $\frac{-13\pi}{2} = -2\pi+(-3).2\pi$ do đó điểm biểu diễn bởi góc $\frac{-11\pi}{2}$ trùng với góc $\frac{-\pi }{2}$ và là điểm B'.

3. Ta có $\frac{120}{360} = \frac{1}{3}$ . Khi đó, chia đường tròn thành ba phần bằng nhau thì được điểm M₂là điểm biểu diễn bởi góc có số đo $120^{\circ}$

4. Ta có $-765^{\circ} = -45^{\circ} + (-2). 360^{\circ}$ do đó điểm biểu diễn bởi góc $-765^{\circ}$ trùng với góc $-45^{\circ}. \frac{45}{360} = \frac{1}{8}$ . Khi đó, ta chia đường tròn thành 8 phần bằng nhau (chú ý góc âm).

Khi đó điểm M₃ (điểm chính giữa cung nhỏ $\widehat{AB}$ ) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo $-765^{\circ}$ .

4.2. Cách xác định giá trị của biểu thức chứa góc đặc biệt

Bài toán này với mục đích xác định giá trị của biểu thức có chứa góc đặc biệt và dấu của giá trị lượng giác của góc lượng giác.

Phương pháp giải:

Sử dụng các định nghĩa giá trị lượng giác vào bài.
Sử dụng bảng giá trị lượng giác đặc biệt và tính chất.
Sử dụng giá trị lượng giác của góc liên quan đặc biệt và hệ thức lượng giác cơ bản.
Để xác định được dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc), chúng ta áp dụng bảng xét dấu các giá trị lượng giác. Đồng thời xác định điểm ngọn của cung (tia cuối của góc) thuộc phần tư nào.

Ví dụ:

Bài 1: Tính giá trị biểu thức lượng giác:

1. $A = sin \frac{7\pi}{6} +cos 9\pi + tan (\frac{-5\pi}{4}) + cot \frac{7\pi}{2}$

2. $B = \frac{1}{368^{\circ}} + \frac{2sin2550^{\circ}.cos(-188^{\circ})}{2cos638^{\circ} + cos 9 8^{\circ}}$

Cách giải:

1. Ta có:

$A = sin (\pi + \frac{\pi}{6}) + cos (\pi + 4.2\pi) - tan(\pi + \frac{\pi}{4})+cot (\frac{\pi}{2} + 3\pi)$

$A = -sin \frac{\pi}{6} + cos \pi -tan \frac{\pi}{4} + cot \frac{\pi}{2} = \frac{-1}{2} - 1 - 1 + 0 = \frac{-5}{2}$

2. Ta có:

$B = \frac{1}{tan8^{\circ}} + \frac{2(sin(30^{\circ}+7.360^{\circ})}.cos{8^{\circ}+180^{\circ}}{2cos(-90^{\circ}) + 8^{\circ} + 2 . 360^{\circ} + cos (90^{\circ} + 8^{\circ})}$

$B= \frac{1}{tan8^{\circ}} + \frac{2sin30^{\circ}.(-cos8^{\circ})}{2cos(8^{\circ}-90^{\circ})-sin8^{\circ}} = \frac{1}{tan8^{\circ}} + \frac{2sin30^{\circ}.(-cos8^{\circ})}{2cos(8^{\circ}-90^{\circ})-sin8^{\circ}}$

$= \frac{1}{tan8^{\circ}} + \frac{2.\frac{1}{2}.(-cos8^{\circ})}{2cos(90^{\circ}-8^{\circ}) - sin8^{\circ}} = \frac{1}{tan8^{\circ}} - \frac{cos8^{\circ}}{2sin8^{\circ}-sin8^{\circ}}$

$= \frac{1}{tan8^{\circ}} - \frac{cos8^{\circ}}{sin8^{\circ}} = 0$

Bài 2: Cho $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ . Xác định dấu của các giá trị lượng giác:

$sin (\frac{3\pi}{2} - \alpha)$
$cos (\alpha + \frac{\pi}{2})$
$tan (\frac{3\pi}{2} + \alpha)$

Cách giải:

1. Ta có: $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \pi < \alpha + \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{2} \Rightarrow -1 < cos (\alpha + \frac{\pi}{2}) < 0$

Vậy $sin (\frac{3\pi}{2} - \alpha) > 0$

2. Ta có: $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \pi < \alpha + \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{2} \Rightarrow -1 < cos (\alpha + \frac{\pi}{2}) < 0.$

Vậy $cos (\alpha + \frac{\pi}{2})<0$

3. $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \Rightarrow 2\pi < \frac{3\pi}{2} + \alpha < \frac{5\pi}{2}$

Do đó $cos (\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ thuộc cung phần tư thứ I.

Vậy $cos (\frac{3\pi}{2} + \alpha) > 0$

4.3. Chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc X, đơn giản biểu thức

Đây là dạng chứng minh đẳng thức lượng giác, chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào góc x, đơn giản biểu thức.

Phương pháp giải:

Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các hằng đẳng thức đáng nhớ và sử dụng tính chất của giá trị lượng giác để biến đổi.
Khi chứng minh một đẳng thức ta có thể biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lượng khác.
Chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc x.
Hay đơn giản biểu thức ta cố gắng làm xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu để rút gọn hoặc làm xuất hiện các hạng tử trái dấu để rút gọn cho nhau.

Ví dụ: Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa):

$cos^{4}x + 2sin^{2} x = 1 + sin^{4}x$
$\sqrt{sin^{4}x + 4cos^{2}x} + \sqrt{cos^{4} x+ 4sin^{2}x} = 3tan(x + \frac{\pi}{3}) tan(\frac{\pi}{6} - x)$

Cách giải:

1. Đẳng thức tương đương với $cos^{4}x = 1 - 2sin^{2}x + (sin^{2}x)^{2} \Leftrightarrow cos^{4}x = (1 - sin^{2}x)^{2}$ (*)

Mà $sin^{2}x + cos^{2}x = 1 \Rightarrow cos^{2}x = 1 - sin^{2}x$

Kết hợp với (*) ta có thể chứng minh được $cos^{4}x= (cos^{2}x)^{2}$ (đúng) ĐPCM.

2. $VT = \sqrt{sin^{4}x + 4(1-sin^{2}x)} + \sqrt{cos^{4}x + 4(1-cos^{2}x)}$

$= \sqrt{(sin^{2})^{2} - 4sin^{2}x + 4} + \sqrt{(cos^{2})^{2} - 4cos^{2}x + 4}$

$= \sqrt{(sin^{2}x - 2)^{2}} + \sqrt{(cos^{2}x - 2)^{2}} = (2 - sin^{2}x) + (2 - cos^{2}x)$

$= 4 - (sin^{2}x + cos^{2}x)$

Mặt khác vì $(x + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} - x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow tan(\frac{\pi}{6} - x) = cot(x + \frac{\pi}{3})$ nên:

$VP = 3 tan(x + \frac{\pi}{3}) cot(x + \frac{\pi}{3}) = 3 \Rightarrow VT=VP$ ĐPCM

Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi sớm hiệu quả, phù hợp với bản thân

Hy vọng qua bài viết trên, các bạn học sinh sẽ bổ sung thêm nhiều kiến thức bổ ích cùng các bài tập về cung và góc lượng giác. Hãy truy cập ngay nền tảng Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản và ôn tập nhiều hơn về các dạng bài về lượng giác nhé!

Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết

Đá Vôi Là Gì? Công Thức Hóa Học Của Đá Vôi, Tính Chất, Ứng Dụng

Suất Điện Động Cảm Ứng – Lý Thuyết Và Trắc Nghiệm Vật Lý Lớp 11

Lý thuyết và các dạng bài tập hàm số lượng giác 11

Sóng dọc và sóng ngang - Vật lý 11