Đại cương về mặt phẳng và đường thẳng

Tác giả Nhã Lân 10:52 06/12/2023 20,546 Tag Lớp 11

Đại cương về mặt phẳng và đường thẳng là phần kiến thức cơ bản nhất trong hình học không gian lớp 11. Chắc chắn đây là

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Khái niệm về mặt phẳng

Trang giấy, mặt bảng, mặt nước trong hồ, mặt đường… sẽ cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng.

Mặt phẳng không có giới hạn và không có độ dày

Cho một điểm A thuộc mặt phẳng (P), từ đó ta có thể phát biểu mặt phẳng P chứa điểm A, hay mặt phẳng (P) đi qua điểm A, kí hiệu A ∈ (P);

Một điểm B không thuộc mặt phẳng (P). Ta có thể phát biểu mặt phẳng (P) không chứa điểm B, kí hiệu B ∉ (P).

2. Hình biểu diễn của một hình không gian

Một số hình biểu diễn hình không gian

Các quy tắc vẽ hình không gian

Hình biểu diễn của đoạn thẳng là đoạn thẳng, của đường thẳng là đường thẳng.

Hình biểu diễn của hai đường thẳng cắt nhau (hoặc song song) được biểu diễn thông qua hai đường thẳng cắt nhau (hoặc song song).

Hình biểu diễn phải được giữ nguyên mối quan hệ giữa đường thẳng và điểm.

Sử dụng nét liền "_" để biểu diễn cho những đường nhìn thấy, sử dụng nét đứt "-----" biểu diễn cho những đường bị khuất mà mắt không nhìn thấy được.

Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Toán sớm ngay từ bây giờ

3. Một số tính chất thừa nhận

Tính chất số 1

Qua 2 điểm phân biệt không trùng nhau, chỉ có một và chỉ một đường thẳng đi qua 2 điểm đó.

Tính chất số 2

Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt không thẳng hàng

Tính chất số 3

Nếu trên một đường thẳng có 2 điểm chung phân biệt với một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó

Tính chất số 4

Tồn tại 4 điểm phân biệt không cùng một mặt phẳng

Tính chất số 5

Nếu hai mặt phẳng phân biệt khi có một điểm chung thì 2 mặt phẳng này sẽ có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của chúng.

Tính chất số 6

Trên một mặt phẳng, mọi kết quả trong hình học phẳng đều đúng

4. Cách xác định một mặt phẳng

Có 3 cách để xác định một mặt phẳng:

Chỉ có một mặt phẳng duy nhất đi qua ba điểm không thẳng hàng. Giả sử mặt phẳng đó đi qua ba điểm không thẳng hàng là A, B, C thì mặt phẳng đó có kí hiệu là mp(ABC) hay (ABC)

Chỉ có một mặt phẳng duy nhất đi qua một đường thẳng và 1 điểm không thuộc đường thẳng đó. Kí hiệu của mặt phẳng đi qua điểm A và đường thẳng d không chứa điểm A được kí hiệu là mp(A;d) hoặc (A; d)

Chỉ có một mặt phẳng duy nhất đi qua hai đường thẳng cắt nhau. Kí hiệu của mặt phẳng qua hai đường thẳng cắt nhau a,b là mp(a;b)

Tham khảo ngay tài liệu ôn tập kiến thức và tổng hợp phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi THPT

5. Hình chóp và hình tứ diện

a. Khái niệm hình chóp

Hình chóp là một hình học không gian được cấu tạo bao gồm có một đa giác được gọi là mặt đáy, các tam giác có chung đỉnh được gọi là mặt bên và đỉnh chung của các mặt bên có tên gọi là đỉnh của hình chóp .

Một số dạng hình chóp:

Hình chóp tam giác

Hình chóp tứ giác

Hình chóp ngũ giác

….

b. Khái niệm hình tứ diện

Hình tứ diện được tạo thành từ 4 điểm không đồng phẳng và các mắt đều là tam giác

c. Thiết diện của hình chóp

Thiết diện cả hình chóp là một hình đa giác được tạo bởi mặt phẳng cắt qua hình chóp với mỗi cạnh là giao tuyến của mặt phẳng đó với một mặt của tứ giác.

Ví dụ: Ta có MQPN là thiết diện của hình chóp với các cạnh được tạo bởi giao tuyến của (MQPN) giao với các mặt bên

6. Các dạng bài tập cơ bản

Dạng bài tập 1: Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng

Phương pháp giải: Để tìm được giao tuyến của 2 mặt phẳng, ta cần xác định 2 điểm chung của 2 mặt phẳng. Đường thẳng đi qua 2 điểm đó chính là giao tuyến của 2 mặt phẳng

Lưu ý: Điểm chung của 2 của 2 mặt phẳng ( $\alpha$ ) và ( $\beta$ ) thường được xác định như sau:

Ta tìm 2 đường thẳng a và b bất kì thuộc 2 mặt phẳng đã cho và đồng thời chúng thuộc 1 mặt phẳng nào đó. Điểm M = a $\cap$ b là giao điểm của 2 đường thẳng a và b chính là điểm chung của 2 mặt phẳng ( $\alpha$ ) và ( $\beta$ )

Bài tập vận dụng: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là một tứ giác với các cạnh đối nhau không song song với nhau. Ta có điểm M thuộc cạnh SA.

Hãy tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau:

a. (SAC) và (SBD)

b. (SAC) và (MBD)

c. (MBC) và (SAD)

d. (SAB) và (SCD)

Hướng dẫn giải

Dạng bài tập 2: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

Phương pháp giải: Để có thể chứng minh được 3 điểm (hoặc nhiều điểm hơn) thuộc một đường thẳng, ta chứng minh các điểm này là điểm chung của 2 mặt phẳng phân biệt. Khi đó chúng sẽ cùng nằm trên đường thẳng giao tuyến của 2 mặt phẳng nên thẳng hàng.

Ví dụ: Cho tứ diện S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB và SC lấy các điểm D, E và F sao cho đoạn thẳng DE cắt đoạn AB tại I, EF giao với đoạn BC tại điểm J, đoạn thẳng FD cắt CA tại K. Chứng minh rằng 3 điểm I, J và K thẳng hàng

Hướng dẫn giải

Dạng bài tập 3: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp giải: Để giải bài tập dạng này, ta sử dụng định nghĩa, các tính chất hay các biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Để có thể tìm được giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (P) ta cần lưu ý một số trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu trong (P) có sẵn đường thẳng d’ cắt d tại điểm M

$\left\{\begin{matrix} M \in d\\ M \in d' \subset (P) \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} M \in d\\ M \in (P) \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow M = d \cap (P)$

Trường hợp 2: Nếu trong mặt phẳng (P) chưa có sẵn đường thẳng d’ cắt d thì ta cần thực hiện theo các bước sau

Bước 1: Chọn một mặt phẳng (Q) chứa d

Bước 2: Tìm giao tuyến $\Delta = (P) \cap (Q)$

Bước 3: Trong mặt phẳng (Q) gọi M là giao điểm của d và giao tuyến. Vậy điểm M cũng chính là giao điểm của đường thẳng d và (P)

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là kiến thức đại cương về mặt phẳng và đường thẳng trong chương trình Toán 11. Hy vọng với bài viết này sẽ giúp các em nắm được kiến thức cũng như phương pháp giải các dạng bài tập liên quan tới phần này. Để tham khảo thêm kiến thức của các môn học khác, các em học sinh có thể truy cập vào vuihoc.vn. Chúc các em đạt được điểm cao trong các kì thi sắp tới.

Bài viết tham khảo thêm:

Phép đồng dạng

Hai đường thẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau