Dấu của nhị thức bậc nhất: Lý thuyết và Ứng dụng

Tác giả Cô Hiền Trần 16:02 24/05/2023 12,492 Tag Lớp 12

Dấu của nhị thức bậc nhất là phần kiến thức cơ bản được học từ lớp 10 và có nhiều ứng dụng trong các bài tập của đề thi đại học. Để thành thạo kiến thức căn bản này, các em học sinh cần nắm vững lý thuyết và các định lý xét dấu nhị thức bậc nhất, từ đó áp dụng vào các bài tập ứng dụng có liên quan. Cùng VUIHOC ôn lại toàn bộ về dấu của nhị thức bậc nhất nhé!

Dấu của nhị thức bậc nhất: Lý thuyết và Ứng dụng

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Lý thuyết dấu của nhị thức bậc nhất

1.1. Nhị thức bậc nhất là gì?

Theo khái niệm đã được học ở chương trình THPT, nhị thức bậc nhất được định nghĩa là các biểu thức có dạng tổng quát là ax+b, trong đó giá trị a luôn khác 0. Khi một nhị thức bậc nhất f(x)=ax+b thì giá trị $x_{0} = - \frac{b}{a}$ làm cho f(x)=0 là nghiệm của nhị thức bậc nhất.

1.2. Định lý dấu của nhị thức bậc nhất

Xét nhị thức f(x)=ax+b, ta viết lại thành $f(x) = a(x- x_{0})$ . Khi đó, nhị thức có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x nhận các giá trị trong khoảng $(\frac{-b}{a}; +\infty)$ ; trái dấu với hệ số a khi x nhận các giá trị trong khoảng $(- \infty ; \frac{-b}{a})$ .

Bảng xét dấu chung của nhị thức bậc nhất

Cụ thể, với a>0 thì ta có bảng xét dấu f(x):

Bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất khi a>0

Khi a<0 thì ta được bảng xét dấu như sau:

Ta có thể dễ dàng rút ra được định lý về dấu của nhị thức bậc nhất như sau:

Xét nhị thức f(x)=ax+b với $a \neq 0$ thì:

f(x) cùng dấu hệ số a $\forall x > \frac{-b}{a}$
f(x) ngược dấu hệ số a $\forall x < \frac{-b}{a}$

Đồ thị minh họa như sau:

Đồ thị minh họa dấu của nhị thức bậc nhất

1.3. Các ví dụ về dấu của nhị thức bậc nhất

Để dễ hiểu hơn cách giải các bài tập áp dụng định nghĩa và định lý dấu của nhị thức bậc nhất, các em học sinh cùng VUIHOC xét các ví dụ minh họa sau đây nhé!

Ví dụ 1: Cho biểu thức f(x)=3x+6. Xét dấu của biểu thức đã cho.

Một số ví dụ về dấu của nhị thức bậc nhất

Ví dụ 2: Xét dấu của biểu thức sau: $f(x) = \frac{(4x-1) (x+2)}{-3x+5}$

Ví dụ 3: Xét dấu của biểu thức sau đây: f(x)=(2x-1)(-x+3)

Giải:

2. Ứng dụng dấu của nhị thức bậc nhất lớp 10

Dấu của nhị thức bậc nhất được áp dụng để xử lý các bài tập xét dấu của các biểu thức có dạng tích và thương, lập bảng phá dấu giá trị tuyệt đối, từ đó sử dụng để giải bất phương trình hoặc khảo sát hàm số.

2.1. Xét dấu tích, thương các nhị thức bậc nhất và một số lưu ý

Các bước tiến hành xét dấu của nhị thức bậc nhất biểu thức P(x) gồm tích hoặc thương như sau:

Bước 1: Tìm nghiệm của từng nhị thức bậc nhất tạo thành F(x) hoặc những điểm làm cho F(x) không xác định (tức là nghiệm của mẫu thức nếu có): x₁,x₂...,x_n.
Bước 2: Tiến hành lập bảng xét dấu cho P(x) gồm:
- Dòng 1 là các giá trị x₁,x₂...,x_n theo thứ tự từ bé đến lớn.
- Các dòng tiếp theo là các nhị thức kèm với dấu của chúng.
- Dòng cuối sử dụng quy tắc nhân dấu đã học ở cấp II để suy ra dấu của P(x).

Xét ví dụ minh họa sau đây:

Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức sau:P(x) = (x - 1)(x + 2)

Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức sau: $f(x) = (x+2) (x^{2}+5x-6)$

Ví dụ 3: Xét dấu biểu thức sau: $g(x) = \frac{x+1}{x-7}$

2.2. Dấu của nhị thức bậc nhất vào giải bất phương trình tích, thương

Cách giải chung để xử lý các bất phương trình tích, thương sử dụng dấu của nhị thức bậc nhất là:

Tính điều kiện xác định và quy đồng không bỏ mẫu các phân thức đề bài cho.
Biến đổi các bất phương trình thành tích và thương của các nhị thức bậc nhất.
Lập bảng xét dấu và kết luận nghiệm.

Để hiểu hơn về dạng toán này, học sinh xét ví dụ minh họa sau đây:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: (2x - 3)(4 - 5x) + (2x - 3)>0

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: $\frac{4x+3}{(x+2)^{2}} < 0$

2.3. Dấu của nhị thức bậc nhất vào giải bất phương trình chứa trong giá trị tuyệt đối

2.3.1. Bất phương trình chứa ẩn trong giá trị tuyệt đối

Để giải các bài tập dạng bất phương trình chứa ẩn trong giá trị tuyệt đối, ta cần sử dụng các tính chất dấu của nhị thức bậc nhất kèm với tính chất của bất phương trình và giá trị tuyệt đối. Cụ thể, phương pháp giải như sau:

Cách giải bài tập dấu của nhị thức bậc nhất - dạng bất phương trình chứa trong giá trị tuyệt đối

Xét ví dụ sau đây:

Ví dụ: Giải bất phương trình sau: $\left | x- 2 \right | \geqslant 3$

Giải:

Giải bài tập dấu của nhị thức bậc nhất - dạng bất phương trình chứa trị tuyệt đối

2.3.2. Bất phương trình nhiều dấu giá trị tuyệt đối

Đối với dạng bài này, ta cần sử dụng các thủ thuật để khử dấu giá trị tuyệt đối khi giải bất phương trình sử dụng dấu của nhị thức bậc nhất. Cụ thể, ta cùng xét ví dụ sau đây:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: $\left | 2x - 9 \right | > \left | 7 - 8x \right |$

Giải:

Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: $\left | 2x +6 \right | + \left | 5 - 5x \right | < 2x+1$

Giải:

Bài viết trên đây đã tổng hợp toàn bộ lý thuyết và các dạng bài tập dấu của nhị thức bậc nhất. Hy vọng rằng VUIHOC đã cung cấp cho các bạn học sinh nguồn thông tin tham khảo bổ ích giúp các em sẵn sàng hơn trên con đường đến với cánh cổng đại học. Để học được nhiều kiến thức hay và ôn tập được nhiều dạng toán, truy cập vuihoc.vn để đăng ký các khóa học ôn thi cấp tốc THPT QG nhé!