Đề cương ôn thi học kì 2 lớp 10 môn toán chi tiết

Tác giả Hoàng Uyên 15:55 05/04/2024 10,402 Tag Lớp 10

Thi học kì 2 là bài kiểm tra kiến thức đánh giá quá trình học tập trong học kì thứ hai của năm học. Để đạt kết quả tốt nhất, các em cần ôn thI học kì 2 đúng trọng tâm bài học. Chính vì vậy, VUIHOC đã tổng hợp kiến thức ôn thi học kì 2 lớp 10 môn toán giúp các em ôn thi dễ dàng hơn.

Đề cương ôn thi học kì 2 lớp 10 môn toán chi tiết

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Đề cương ôn thi học kì 2 lớp 10 môn toán: Đại số tổ hợp

1.1 Quy tắc đếm, cộng và nhân

a. Quy tắc đếm:

- Với các số cách đều nhau ta có:

Số các số = ( số lớn nhất - số nhỏ nhất): khoảng cách giữa 2 số liền kề + 1

- Dấu hiệu chia hết:

Chia hết cho 2: Số có chữ số tận cùng là 0,2,4,6,8.
Chia hết cho 3: Tổng các chữ số chia hết cho 3.
Chia hết cho 4: Hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 4.
Chia hết cho 5: Số có chữ số tận cùng là 0,5.
Chia hết cho 6: Số chi hết cho 2 và 3.
Chia hết cho 8: Số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 8.
Chia hết cho 9: Số có tổng các chữ số chia hết cho 9.

b. Quy tắc cộng:

- Nếu một quá trình (bài toán) có thể thực hiện được một trong hai cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ nhất cho m kết quả và cách thứ hai cho n kết quả. Khi đó việc thực hiện quá trình trên cho m + n kết quả.
- Nếu một quá trình (bài toán) có thể thực hiện được k cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ nhất cho m1 kết quả, cách thứ hai cho m2 kết quả, …, cách thứ k cho mk kết quả. Khi đó việc thực hiện quá trình trên cho m1 + m2 + … + mk kết quả.

c. Quy tắc nhân:

- Nếu một quá trình (bài toán) ñược thực hiện theo hai giai đoạn (bước) liên tiếp nhau sao cho có m cách thực hiện giai đoạn thứ nhất, đồng thời ứng với mỗi cách đó có n cách để thực hiện giai đoạn thứ hai. Khi đó có m.n cách thực hiện quá trình trên.
- Nếu một quá trình (bài toán) được thực hiện theo k giai đoạn (bước) liên tiếp nhau sao cho có m1 cách thực hiện giai đoạn thứ nhất, với mỗi cách đó có m2 cách để thực hiện giai đoạn thứ hai, …, có mk cách thực hiện giai đoạn thứ k. Khi đó, toàn bộ quá trình có m1.m2…mk cách thực hiện.

1.2 Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

a. Hoán vị: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n $\geq$ 0). Mỗi cách sắp xếp n phần tử của X theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử được ký hiệu là P_n.
P_n = n! = 1.2...n (Quy ước: 0! = 1)

b. Chỉnh hợp: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n $\geq$ 0 ). Mỗi cách chọn ra k (0 $\leq$ k $\leq$ n) phần tử của X và sắp xếp theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là $\large A_{n}^{k}$
$\large A_{n}^{k}=\frac{n!}{(n-k)!}$

Nhận xét: $\large A_{n}^{n}=n!=P_{n}$

c. Tổ hợp: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n $\geq$ 0 ). Mỗi cách chọn ra k (0 $\leq$ k $\leq$ n) phần tử của X được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Số các tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là $\large C_{n}^{k}$

$\large C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

1.3 Nhị thức Newton

a. Định nghĩa: Nhị thức newton là khai triển tổng lũy thừa có dạng:

$\large (a+b)^{n}=C_{n}^{0}a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+C_{n}^{2}a^{n-2}b^{2}+...+C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}+...+C_{n}^{n}b^{n}$

$\large =\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k} (n = 0;1;2;...)$

+ Số hạng thứ k + 1 là $\large T_{k+1}=C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$ thường được gọi là số hạng tổng quát.

+ Các hệ số $\large C_{n}^{k}$ được tính theo công thức tổ hợp hoặc dựa vào tam giác pascal.

b. Tính chất:

$\large C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}(0\leq k\leq n)$

$\large C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}(0\leq k\leq n)=C_{n+1}^{k}(1\leq k\leq n)$

c. Khai triển nhị thức newton:

- Dạng khai triển: ( a + b)ⁿ hoặc (a - b)ⁿ

- Dạng đạo hàm:

$\large (1+x)^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}x^{2}+...+C_{n}^{k}x^{k}+...+C_{n}^{n}x^{n}$

$\large (1-x)^{n}=C_{n}^{0}-C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}x^{2}-...+(-1)^{k}C_{n}^{k}x^{k}+...+(-1)^{n}C_{n}^{n}x^{n}$

- Dạng tích phân:

>> Hướng dẫn chi tiết cách bấm máy tính nhị thức newton

Sổ tay hack điểm thi toán, tổng hợp các công thức, tips học toán được tiết lộ bởi các thầy cô trường chuyên. Đăng ký ngay để nhận ưu đãi 50% từ VUIHOC nhé!

2. Đề cương ôn thi học kì 2 lớp 10 môn toán: Một số yếu tố thống kê và xác suất

2.1 Số gần đúng và sai số

- Trong nhiều trường hợp ta không tìm được số đúng mà chỉ tìm được giá trị xấp xỉ của nó. Giá trị này được gọi là số gần đúng và được kí hiệu là a.

- Số gần đúng và số đúng có sự sai lệch một đại lượng nhất định. Để đánh giá sai lệch đó ta sử dụng khái niệm sai số tuyệt đối của số gần đúng a, được kí hiệu là $\large \Delta _{a}$ , khi đó $\large \Delta _{a} =|a-\overline{a}|$ . Trong thực tế, đôi khi ta không biết giá trị của số đúng nên không thể tính được sai số tuyệt đối. Ta chỉ có thể đánh giá $\large \Delta _{a}$ không vượt quá một số d nào đó. Nếu $\large \Delta _{a}$ $\large \leq$ d thì a - d $\large \leq$ $\large \overline{a}$ $\large \leq$ a +d, khi đó ta viết $\large \overline{a}$ = a $\large \pm$ d.

- Sai số tương đối của số gần đúng a được kí hiệu là $\large \delta _{a}$ là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và |a|

$\large \delta _{a}=\frac{\Delta _{a}}{|a|}$

- Nếu $\large \overline{a}$ = a $\large \pm$ d thì $\large \Delta _{a}$ $\large \leq$ d => $\large \delta a\leq \frac{d}{|a|}$ vì vậy $\large \frac{d}{|a|}$ càng nhỏ thì chất lượng của phép đo càng cao.

2.2 Số quy tròn

- Số quy tròn là số thu được sau khi thực hiện làm tròn số, số quy tròn gần đúng số ban đầu.

- Quy tắc:

+ Số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì chỉ cần thay chữ số đó và các chữ số bên phải bởi số 0.

+ Số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn 5 thì ta thay chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi 0 và cộng thêm 1 đơn vị và số hàng làm tròn.

>> Xem thêm: Lý thuyết số gần đúng sai số

Đăng ký ngay để sở hữu bí kíp nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài môn Toán nhé!

3. Đề cương ôn thi học kì 2 lớp 10 môn toán: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

3.1 Phương trình đường thẳng

a. Véc tơ chỉ phương của đường thẳng:

- Véc tơ $\large \overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{0}$ được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng $\large \Delta$ nếu giá của nó song song hoặc trùng với $\large \Delta$

- Nếu $\large \overrightarrow{u}$ là một véc tơ chỉ phương của $\large \Delta$ thì k $\large \overrightarrow{u}$ (k $\large \neq$ 0) cũng là véc tơ chỉ phương của $\large \Delta$ .

- Một đường thẳng có thể xác định nếu biết một điểm và một véc tơ chỉ phương.

b. Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng

- Véc tơ $\large \overrightarrow{n}\neq \overrightarrow{0}$ được gọi là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng $\large \Delta$ nếu giá của nó vuông góc với $\large \Delta$ .

- Nếu $\large \overrightarrow{n}$ là một véc tơ pháp tuyến của $\large \Delta$ thì k $\large \overrightarrow{n}$ (k $\large \neq$ 0) cũng là véc tơ pháp tuyến của $\large \Delta$ .

- Một đường thẳng có thể xác định nếu biết một điểm và véc tơ pháp tuyến.

- Véc tơ pháp tuyến vuông góc với véc tơ chỉ phương.

c. Phương trình đường thẳng

- Cho đường thẳng $\large \Delta$ đi qua M_o(x_o;y_o) và có véc tơ chỉ phương $\large \overrightarrow{u}$ = (u₁;u₂)

+ Phương trình tham số của $\large \Delta$ :

$\large \left\{\begin{matrix} x=x_{o}+tu_{1} & \\ y=y_{o}+tu_{2} & \end{matrix}\right.$

+ Phương trình chính tắc của $\large \Delta$ :

$\large \frac{x-x_{o}}{u_{1}}=\frac{y-y_{o}}{u_{2}}$

+ Phương trình tổng quát của đường thẳng: $\large \Delta$ : ax + by + c = 0 , trong đó:

$\large a^{2}+b^{2}\neq 0$
$\large \overrightarrow{n}=(a;b)$
$\large \overrightarrow{u}=(-b;a)$ hoặc $\large \overrightarrow{u}=(b,-a)$

+ Một số trường hợp đặc biệt:

Các hệ số	Phương tình đường thẳng $\large \Delta$	Tính chất đường thẳng $\large \Delta$
a = 0	by + c = 0	$\large \Delta$ // Ox hoặc $\large \Delta$ trùng Ox
b = 0	ax + c = 0	$\large \Delta$ // Oy hoặc $\large \Delta$ trùng Oy
c = 0	ax + by = 0	$\large \Delta$ đi qua gốc tọa độ O

d. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

- Cho hai đường thẳng $\large \Delta$ ₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 và $\large \Delta$ ₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0

- Tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng trên là nghiệm của hệ phương trình:

$\large \left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 & \\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0& \end{matrix}\right.$ (1)

+ Nếu $\large \Delta$ ₁ cắt $\large \Delta$ ₂ thì hệ (1) có 1 nghiệm

$\large \Leftrightarrow \frac{a_{1}}{a_{2}}\neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ ( nếu a₂ , b₂, c₂)

+ Nếu $\large \Delta$ ₁ // $\large \Delta$ ₂ thì hệ (1) vô nghiệm

$\large \Leftrightarrow \frac{a_{1}}{a_{2}}= \frac{b_{1}}{b_{2}}\neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ( nếu a₂ , b₂, c₂)

+ Nếu $\large \Delta$ ₁ trùng $\large \Delta$ ₂ thì hệ (1) có vô số nghiệm

$\large \Leftrightarrow \frac{a_{1}}{a_{2}}= \frac{b_{1}}{b_{2}}= \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ( nếu a₂ , b₂, c₂)

e. Góc giữa hai đường thẳng:

- Cho hai đường thẳng $\large \Delta$ ₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 có $\large \overrightarrow{n_{1}}=(a_{1};b_{1})$ và $\large \Delta$ ₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 có $\large \overrightarrow{n_{2}}=(a_{2};b_{2})$

$\large \widehat{(\Delta _{1};\Delta _{2})}=\left\{\begin{matrix} (\overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}}) khi (\overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}})\leq 90^{o}& \\ 180^{o}-(\overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}})khi (\overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}})> 90^{o} & \end{matrix}\right.$

$\large cos\widehat{(\Delta _{1};\Delta _{2})}=cos(\widehat{\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}})=\frac{|\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}}|}{|\overrightarrow{n_{1}}|.|\overrightarrow{n_{2}}|}=\frac{|a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}.\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$

- Chú ý:

$\large \Delta _{1}\perp \Delta _{2}\Leftrightarrow a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0$

Cho $\large \Delta$ ₁: y = k₁x + m₁ ; $\large \Delta$ ₂ = k₂x + m₂ = 0:

+ Nếu $\large \Delta$ ₁ // $\large \Delta$ ₂ $\large \Leftrightarrow$ k₁ = k₂

+ Nếu $\large \Delta$ ₁ $\large \perp$ $\large \Delta$ ₂ $\large \Leftrightarrow$ k₁.k₂= -1

f. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

- Cho đường thẳng $\large \Delta$ : ax + by + c = 0 và điểm M_o(x_o;y_o)

$\large d(M_{o},\Delta )=\frac{|ax_{o}+by_{o}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

- Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng:

+ Cho đường thẳng $\large \Delta$ : ax + by + c = 0 và điểm M(x_M;y_M) ; điểm N(x_N; y_N) không thuộc $\large \Delta$ .

Điểm M và N nằm cùng phía với đường thẳng $\large \Delta$ $\large \Leftrightarrow$ (ax_M + by_M + c).(ax_N + by_N + c) > 0.
Điểm M và N nằm khác phía với đường thẳng $\large \Delta$ $\large \Leftrightarrow$ (ax_M + by_M + c).(ax_N + by_N + c) < 0.

- Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng:

+ Cho hai đường thẳng $\large \Delta$ ₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 và $\large \Delta$ ₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 cắt nhau. Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng $\large \Delta$ ₁ và $\large \Delta$ ₂là:

$\large \frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$

3.2 Phương trình đường tròn

a. Phương trình đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính R:

(x - a)² + (y - b)² = R²

b. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:

Cho đường tròn (C) có tâm I và bán kính R và đường thẳng $\large \Delta$ . Đường thẳng $\large \Delta$ tiếp xúc với (C) khi: d(I, $\large \Delta$ ) = R.

3.3 Phương trình đường hypebol:

a. Định nghĩa:

- Cho F₁, F₂ cố định với F₁F₂ = 2c (c > 0)

M $\large \in$ (H) $\large \Leftrightarrow$ |MF₁ - MF₂| = 2a (a > c)

b. Phương trình chính tắc:

$\large \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0; ^{2}=a^{2}-c^{2})$

- Tọa độ các tiêu điểm: F₁(-c;0) ; F₂(c;0)

3.4 Phương trình đường elip:

a. Định nghĩa:

Cho F₁, F₂ cố định với F₁F₂ = 2c (c > 0)

M $\large \in$ (E) $\large \Leftrightarrow$ MF₁ + MF₂ = 2a (a > c)

b. Phương trình chính tắc:

$\large \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0; ^{2}=a^{2}-c^{2})$

- Tọa độ các tiêu điểm: F₁(-c;0) ; F₂(c;0)

>> Lý thuyết phương trình đường elip lớp 10 chi tiết

Đăng ký ngay để được thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT sớm ngay từ bây giờ bạn nhé!

4. Đề cương ôn thi học kì 2 lớp 10 môn toán: Luyện tập

Bài 1:

a) Khai triển biểu thức (3x + 1)⁵. Tìm hệ số của x⁴ trong khai triển (3x+1)⁵

b) Biết rằng trong khai triển (ax + 1/4)⁴ số hạng không chứa x là 24. Hãy của tham số a.

Lời giải:

a. $(3x + 1)^{5}=C_{5}^{0}(3x)^{5}+C_{5}^{1}(3x)^{4}.1^{1}+C_{5}^{2}(3x)^{3}.1^{2}+C_{5}^{3}(3x)^{2}.1^{3}+C_{5}^{4}(3x)^{1}.1^{4}+C$

= 1.243x⁵ + 5.81x⁴.1 + 10.27x³.1+10.9.x².1 + 5.3x.1 + 1.1

= 243x⁵ + 405x⁴ + 270x³ + 90x² + 15x + 1

Vậy hệ số x⁴ trong khai triển trên là 405.

b. Cho (ax + 1/4)⁴

Số hạng tổng quát:

$\large C_{4}^{k}.(ax)^{4-k}.\left ( \frac{1}{4} \right )=C_{4}^{k}.a^{4-k}.x^{4-k}.(x^{-1})^{k}=C_{4}^{k}.a^{4-k}.x^{4-2k}$

Theo đề bài số hạng không chứa x có hệ số là 24 vậy số hạng đó tương ứng với:

4 - 2k = 0 $\Leftrightarrow k=2$

Vậy $\large C_{4}^{2}.a^{4-2}=24\Leftrightarrow 6.a^{2}=24\Leftrightarrow a^{2}= 2\Leftrightarrow a=\pm 2$

Bài 2:

Một hộp chứa 6 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng, lấy ra ngẫu nhiên cùng một lúc 4 quả. Tính xác suất của các biến cố sau.

a) A: “Bốn quả lấy ra cùng màu”

b) B: “ Có ít nhất một quả đỏ ”

Lời giải: Ta có $\large n(\Omega )=C_{10}^{4}=210$

a. Lấy ra 4 quả màu đỏ: $\large C_{4}^{6}=15$

Lấy ra 4 quả màu vàng: $\large C_{4}^{4}=1$

$\large \Rightarrow P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{15+1}{210}=\frac{8}{105}$

b. Có ít nhất 1 quả đỏ:

Vậy $\large \overline{B}$ :"Bốn quả không đỏ(tức bốn quả vàng): $\large C_{4}^{4}=1$

$\large \Rightarrow P(B)=1-P(\overline{B})=1-\frac{1}{210}=\frac{209}{210}$

Bài 3:

Cho $\large \Delta$ ABC với A(1;4), B(3;-1) và C(6;7). Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A của $\large \Delta$ ABC.

Lời giải:

$\large \overrightarrow{BC} =(6-3;7-(-1))=(3;8)$

Đường thẳng BC đi qua B(-3;-1) nhận $\large \overrightarrow{BC}$ là VTCP

$\large \Rightarrow \frac{x-3}{3}=\frac{y+1}{8}\Leftrightarrow 8(x-3)=3(y+1)\Leftrightarrow 8x-3y-27=0$

$\large \Rightarrow n_{\overrightarrow{BC}}=(8;-3)$

Đường cao kẻ từ A đi qua A(1;4) nhận $\large \Rightarrow n_{\overrightarrow{BC}}$ là VTCP

$\large \Rightarrow \frac{x-1}{8}=\frac{y-4}{-3}\Leftrightarrow -3(x-1)=8(y-4)\Leftrightarrow 3x+8y-35=0$

Vậy phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A của $\large \Delta$ ABC là $\large 3x+8y-35=0$

Bài 4:

a. Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh của elip sau:

$\large \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$

b. Viết phương trình chính tắc của elip biết độ dài trục lớn là 20, tiêu cự là 12.

Lời giải:

a. $\large (E): \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\Rightarrow a^{2}= 9; b^{2}=4\Rightarrow c^{2}=a^{2}-b^{2}=5$

Vậy elip có 2 tiêu điểm $\large F_{1}(-\sqrt{5;0}) ; F_{2}(\sqrt{5};0)$

Elip có 4 đỉnh A₁(-3;0) ; A₂(3;0) ; B₁(-2;0) ; B₂(2;0)

b. Gọi $\large (E):\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a,b > 0)$

Độ dài trục lớn là 20 => 2a = 20 => a = 10.

Tiêu cự là 12 => 2c = 12 => c = 6

=> b² = a² - c² = 100 - 36 = 64

$\large \Rightarrow (E):\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{64}=1$

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là những kiến thức trọng tâm ôn thi học kì 2 lớp 10 môn toán mà VUIHOC đã tổng hợp dựa trên các bài học trong chương trình toán 10. Để làm tốt bài thi học kỳ, các em cần ghi nhớ và nắm chắc được các kiến thức và cách giải dạng dạng bài tập liên quan đến kiến thức đó. Chúc các em làm tốt và đạt điểm cao môn Toán trong bài thi học kì 2 nhé!

>> Xem thêm: