Chi tiết lý thuyết và bài tập đường hypebol Toán lớp 10

Tác giả Minh Châu 11:57 30/09/2024 301,449 Tag Lớp 10

Lý thuyết và bộ bài tập về đường hypebol - lớp 10 là một phần kiến thức vô cùng quan trọng đối với chương trình Toán THPT. Trong bài viết này, VUIHOC sẽ tổng hợp chi tiết cho các em học sinh cả lý thuyết và bộ bài tập trắc nghiệm chọn lọc có hướng dẫn giải chi tiết về đường cong hypebol.

Chi tiết lý thuyết và bài tập đường hypebol Toán lớp 10

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Định nghĩa đường hypebol

- Diễn giải bằng lời: Trong toán học, đường hypebol hay hypebol là một kiểu đường cô-nic, được định nghĩa là đường giao của một mặt nón với một mặt phẳng cắt cả hai nửa của hình nón.

Đường hyperbol được định nghĩa là quỹ tích của tập hợp các điểm trong mặt phẳng có giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách tới hai điểm cố định là một hằng số giá trị bằng 2a (a bằng độ dài bán trục lớn của đường hypebol). Hai điểm cố định trên gọi là hai tiêu điểm của đường hypebol. Đường thẳng đi qua hai tiêu điểm này chính là đường trục thực của đường hypebol; trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm này được gọi là tâm của hình hypebol.

- Diễn giải bằng kí hiệu: Cho hai điểm cố định F₁ , F₂ với F₁F₂ = 2c (c>0) và hằng số a<c .

Đường hypebol là tập hợp các điểm M thỏa mãn $|MF_1 - MF_2| = 2a$ , Kí hiệu là (H)

Gọi: F₁ và F₂ là tiêu điểm của đường (H)

Khoảng cách F₁F₂ = 2c là tiêu cự của (H) .

Hình minh họa khái niệm của đường hypebol

2. Phương trình chính tắc đường hypebol

2.1. Phương trình đường cong hypebol

Với F₁(-c ;0), F₂(c;0)

M(x ; y) ∈ (H) ⇔ x² a² - y² b² = 1 với b² = c² - a² (2)

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol

Minh họa phương trình chính tắc đường cong hypebol

2.2. Ví dụ phương trình đường hypebol

Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc của Hypebol (H) biết (H) có trục thực và trục ảo lần lượt là 10 và 6.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Độ dài trục thực bằng 2a và bằng 10, suy ra a bằng 5

Tương tự:

Độ dài trục ảo bằng 2b và bằng 8 nên b bằng 3

Phương trình chính tắc của hypebol là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$

Vậy hypebol (H) có dạng: $\frac{x^2}{5^2} - \frac{y^2}{3^2}=1$

Ví dụ 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là $A_2(5; 0)$ và một đường tiệm cận là y =–3x.

Hướng dẫn giải:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0)

+) Hypebol có một đỉnh là A₂ (5; 0) => a = 5

+) Hypebol có một đường tiệm cận là y= – 3x => b a=3 => b = 3a = 15

Vậy phương trình chính tắc của đường hypebol đã cho là $\frac{x^2}{5^2}-\frac{y^2}{{15}^2}=1$ hay $\frac{x^2}{{25}^2}-\frac{y^2}{{225}^2}=1$

Tham khảo ngay bộ tài liệu tổng hợp kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập độ quyền của VUIHOC ngay

3. Hình dạng và tính chất đường hypebol

Đường hypebol có những đặc điểm sau đây:

+ 2 tiêu điểm: Tiêu điểm trái F₁ (−c;0), tiêu điểm phải F₂ (c;0)

+ Các đỉnh của đường hypebol: A₁(- a;0), A₂ (a;0)

+ Trục Ox là trục thực, trục Oy là trục ảo. Khoảng cách 2a giữa 2 đỉnh đường hypebol gọi là độ dài trục thực, 2b gọi là độ dài trục ảo.

+ Đường cong hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là nhánh của hypebol

+ Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x = ± a , y = ± b gọi là hình chữ

nhật cơ sở. Hai đường thẳng chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở gọi là hai đường tiệm cận của hypebol và có phương trình là y = ± ba

+ Tâm sai đường hypebol: $e=\frac{c}{a} > 1$

+ $M(x_m ; y_m)$ thuộc (H) thì:

$MF_1=|a+ex_M|=|a+\frac{c}{a}x_M |, MF_2=|a-ex_M|=|a-\frac{c}{a}x_M|$

Ví dụ 1: Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh; độ dài trục thực, trục ảo và phương trình các đường tiệm cận của mỗi hypebol có phương trình sau.

a) $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$

b) $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$

c) $x^2-9y^2=1$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: a = 3 , b = 2 , $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{13}$

Tiêu điểm $F_1(-\sqrt{13};0) , F_2(\sqrt{13} ; 0)$

Các đỉnh đường hypebol $A_1(-3;0) , A_2(3;0)$

Độ dài đường trục thực: 2a = 6; độ dài đường trục ảo: 2b = 4

Phương trình tiệm cận của hypebol: $y=\pm \frac{2}{3}x$

b) Ta có: a=3, b=4 , $c = \sqrt{a^2 + b^2} = 5$

Tiêu điểm $F_1(-5;0), F_2(5;0)$

Các đỉnh $A_1(-3;0), A_2(3;0)$

Độ dài trục thực: 2a=6, độ dài trục ảo: 2b = 8

Phương trình tiệm cận của đường hypebol: $y=\pm \frac{4}{3}x$

c) Ta có: x² - 9y² = 9 ⇔ $\frac{x^2}{9}-y^2=1$

a=3, b=1 , $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{10}$

Tiêu điểm $F_1(-\sqrt{10} ; 0) , F_2(\sqrt{10} ; 0)$

Các đỉnh $A_1(-3 ; 0) , A_2(3 ; 0)$

Độ dài trục thực: 2a = 6, độ dài trục ảo: 2b = 2Phương trình tiệm cận của hypebol: $y=\pm \frac{1}{3}x$

Ví dụ 2: Cho hypebol (H) như hình dưới đây:

Minh họa cho bài tập vẽ hình đường hypebol

a) Chứng minh rằng: Nếu M(x, y) nằm trên hypebol (H) thì $x \leq -a$ hoặc $x\geq a$

b) Phương trình hai đường thẳng PR và QS có dạng như thế nào?

Hướng dẫn giải:

a) Nếu M(x, y) thuộc hypebol (H) thì $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Mà $\frac{y^2}{b^2}\geq 0$ suy ra $\frac{x^2}{a^2}\geq 1$

Do đó $x^2\geq a^2\Rightarrow x\leq -a$

hoặc $x\geq a$

b) Có P(-a, b), R(a; -b) => $\vec{PR}=(a-(-a);-b-b)=(2a;-2b)$

Do đó ta chon $n(b;a)$ là một vector pháp tuyến của PR

Phương trình đường thẳng PR có dạng:

$b(x +a)+a(y-b) =0$

Hay, bx + ay = 0 hay $y=-\frac{b}{a}x$

Tương tự, ta có:

Q (a; b), S (-a; -b) => $\vec{QS}=(-a -a;-b-b) =(-2a;-2b)$

Do đó ta chon n (b;a) là một vector pháp tuyến của QS

Phương trình đường thẳng QS có dạng:

-b(x -a) + a(y-b) = 0

Hay, -bx + ay = 0 hay $y=\frac{b}{a}x$

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình học tập THPT vững vàng

4. Bài tập áp dụng đường hypebol

Câu 1: Khái niệm nào sau đây là định nghĩa về đường hypebol?

A. Cho điểm F và đường thẳng Δ cố định không đi qua F. Đường hypebol (H) là tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện khoảng cách từ M đến Δ bằng khoảng cách từ M đến F.

B. Cho F1, F2 cố định với F1F2 = 2c, (c>0). Hypebol (H) là tập hợp điểm M sao cho |MF1 – MF2|=2a với a là một số không đổi và a<c .

C. Cho F1, F2 cố định với F1F2 = 2c, (c>0) và một độ dài 2a không đổi (a>c) . Hypebol (H) là tập hợp các điểm M sao cho M ∊ (P)=MF1+MF2=2a .

D. Cả ba định nghĩa trên đều không đúng định nghĩa của Hypebol .

Câu 2: Cho Hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ , với a, b > 0 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Nếu c² = a² + b² thì (H) có các tiêu điểm là F₁( c ; 0), F₂(-c ; 0)

B. Nếu c² = a² + b² thì (H) có các tiêu điểm là F₁(0 ; c), F₂(0 ; −c).

C. Nếu c² = a² - b² thì (H) có các tiêu điểm là F₁(c ; 0), F₂(- c ; 0).

D. Nếu c² = a² - b² thì (H) có các tiêu điểm là F₁(0 ; c), F₂ (0 ; −c).

Câu 3: Cho Hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ , với a,b > 0. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Với c² = a² + b² (c > 0), tâm sai của hypebol là $e=\frac{c}{a}$

B. Với c² = a² + b² (c > 0), tâm sai của hypebol là $e=\frac{c}{a}$

C. Với c² = a² + b² (c > 0), tâm sai của hypebol là $e=-\frac{c}{a}$

D. Với c² = a² + b² (c > 0), tâm sai của hypebol là $e=-\frac{c}{a}$

Câu 4: Cho đường hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ , với $a, b>0$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục thực là (a;0) và (-a;0).

B. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục ảo là B₁(0;b), A₁(0;−b).

C. Với c² = a² + b² (c > 0) , độ dài tiêu cự là 2c.

D. Với c² = a² + b² (c > 0) , tâm sai của hypebol là $e = e = \frac{c}{a}$ .

Câu 5: Hypebol $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ có hai tiêu điểm là:

A. $F_1(-5;0) , F_2(5;0)$

B. $F_1(-2;0) , F_2(2;0)$

C. $F_1(-3;0) , F_2(3;0)$

D. $F_1(-4;0) , F_2(4;0)$

Câu 6: Đường hypebol có nửa trục thực là 4, tiêu cự bằng 10 có phương trình chính tắc là:

A. $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

B. $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$

C. $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1$

D. $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{25}=1$

Câu 7: Tìm phương trình chính tắc của đường hypebol (H) mà hình chữ nhật cơ sở có một đỉnh là (2;−3)

A. $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{-3}=1$

B. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$

C. $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{3}=1$

D. $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{3}=1$

Câu 8: Đường hypebol $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ có:

A. Hai đỉnh $A_1(-2;0) , A_2(2;0)$ và tâm sai $e=\frac{2}{\sqrt{13}}$

B. Hai đường tiệm cận $y=\pm \frac{3}{2}x$ và tâm sai $e=\frac{2}{\sqrt{13}}$

C. Hai đường tiệm cận $y=\pm \frac{3}{2}x$ và tâm sai $e=\frac{2}{\sqrt{13}}$

D. Hai tiêu điểm $F_1(-2;0) , F_2(2;0)$ và tâm sai $e=\frac{2}{\sqrt{13}}$

Câu 9: Phương trình hai đường tiệm cận $y=\pm \frac{3}{2}x$ là của đường hypebol có phương trình chính tắc nào sau đây?

A. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$

B. $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=1$

C. $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{3}=1$

D. $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$

Câu 10: Tim phương trình chính tắc của Hypebol H biết nó đi qua điểm là (5;4) và một đường tiệm cận có phương trình là $x + y = 0$

A. $x^2-\frac{y^2}{9}=1$

B. x² - y² = 9

C. x² - y² = 1

D. $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$

Câu 11: Tìm phương trình chính tắc của đường hypebol (H) biết nó tiêu điểm là (3;0) và một đường tiệm cận có phương trình là : $\sqrt{2}x + y = 0$

A. $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1$

B. $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1$

C. $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{2}=1$

D. $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{8}=1$

Câu 12: Tìm phương trình chính tắc của đường hypebol nếu một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của đường hyperbol đó là M (4 ; 3) .

A. $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

B. $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

C. $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$

D. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$

Câu 13: Cho điểm M nằm trên đường hypebol (H): $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ . Nếu hoành độ điểm M bằng 8 thì khoảng cách từ M đến các tiêu điểm của H là bao nhiêu ?

A. $8\pm 4\sqrt{2}$

B. $8\pm 4\sqrt{5}$

C. 5 và 13

D. 6 và 14

Câu 14: Viết phương trình chính tắc của đường hypebol, biết giá trị tuyệt đối hiệu các bán kính qua tiêu điểm của điểm M bất kỳ trên hypebol là 8, tiêu cự bằng 10 .

A. $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ hoặc $-\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

B. $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

C. $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

D. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$

Câu 15: Đường hypebol có hai đường tiệm cận vuông góc với nhau, độ dài trục thực bằng 6, có phương trình chính tắc là:

A. $\frac{x^2}{46}-\frac{y^2}{6}=1$

B. $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{9}=1$

C. $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{9}=1$

D. $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

Câu 16: Điểm nào trong 4 điểm M (5 ; 0) , N (10 ; 33 ) , P (52 ; 32 ) , Q (5 ; 4) nằm trên một đường tiệm cận của đường hypebol x² 25 - y² 9 = 1?

A. N B. M C. Q D. P

Câu 17. Tìm phương trình chính tắc của đường hypebol H biết nó có một đường tiệm cận là x − 2y = 0 và hình chữ nhật cơ sở của nó có diện tích bằng 24 .

A. $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{48}=1$

B. $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{12}=1$

C. $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{3}=1$

D. $\frac{x^2}{48}-\frac{y^2}{12}=1$

Câu 18: Lập phương trình chính tắc của đường hypebol ( H ) với Ox là trục thực , tổng hai bán trục a + b = 7, phương trình hai tiệm cận : y = ±.3 4x

A. (H): $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}=1$

B. (H): $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$

C. (H): $\frac{x^2}{28}-\frac{y^2}{21}=1$

D. (H): $\frac{x^2}{21}-\frac{y^2}{28}=1$

Câu 19: Cho đường hypebol (H): $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1$ có 2 tiêu điểm $F_1, F_2$. Với M là một điểm tùy ý thuộc (H). Hãy tính $S=(MF_1 + MF_2)^2 - 4OM_2$

A. 8 B. 1 C. $\frac{1}{64}$ D. 64

Câu 20: Cho đường hypebol (H): $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$ . Lập phương trình tiếp tuyến của (H) song song với đường thẳng d : 5x - 4y + 10 = 0

A. 5x - 4y + 4 = 0 , 5x - 5y - 4 = 0

B. 5x - 4y - 16 = 0 và 5x - 4y + 16 = 0

C. 5x - 4y - 16 = 0

D. 5x - 4y + 16 = 0

Bảng đáp án:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
B	A	A	D	A	A	B	C	D	C
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
A	A	D	A	B	D	C	B	D	B

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

VUIHOC đã tổng hợp đề cương ôn tập về phần lý thuyết cũng như bài tập tự luận về đường hypebol. Hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp các em dễ hiểu và giải được nhiều bài toán về phần kiến thức này. Để tham khảo thêm các dạng kiến thức ôn thi Toán THPT Quốc gia, trong đó có Toán lớp 10, các em truy cập đường link online vuihoc.vn hoặc đăng ký khoá học với các thầy cô ngay tại đây nhé!

Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết