1. Hai mặt phẳng song song là gì?

Hai mặt phẳng song song lý thuyết như sau: Nếu (α) và (β) không có điểm chúng thì chúng được gọi là song song 

Kí hiệu: (α) // (β) hay (β) // (α).

2. Định lý về hai mặt phẳng song song

• Hai đường thẳng cắt nhau a, b nằm trong mặt phẳng (α) cùng song song với mặt phẳng (β) thì (α) // (β) 

• Hệ quả: Hai đường thẳng cắt nhau a, b trong mặt phẳng (α) và trong mặt phẳng (β)  a, b lần lượt song song với hai đường thẳng a’, b’ thì mặt phẳng (α) // (β).

• Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau trong hai mặt phẳng song song. 

• Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kì trong mặt phẳng thì sẽ có những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

3. Tính chất của hai mặt phẳng song song

• Tính chất 1: 

Trong mặt phẳng (β) cho trước có điểm A, có duy nhất một (α) // (β) 

Hệ quả: Trong mặt phẳng (α) có điểm A, các đường thẳng đi qua A song song (α) cùng nằm trên (β) đi qua A // (α)

• Tính chất 2: 

Hai mặt phẳng (α) // (β). Một mặt phẳng bất kì cắt (α) và (β) lần lượt theo hai giao tuyến a và b thì a song song b 

4. Các phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song

Phương pháp 1

Đây chính là cơ sở của phương pháp chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) // nhau:

– Bước 1: Hai đường thẳng a, b cắt nhau trong mặt phẳng (P) lần lượt song song với hai đường thẳng a’, b’ cắt nhau trong mặt phẳng (Q)

– Bước 2: Theo điều kiện cần và đủ kết luận (P) // (Q).

Phương pháp 2

– Bước 1: Trong mặt phẳng (P), tìm hai đường thẳng a, b cắt nhau trong mặt phẳng (P)

– Bước 2: Chứng minh a // (Q) và b // (Q)

– Bước 3: Suy ra (P) // (Q)

5. Các dạng bài tập chứng minh hai mặt phẳng song song (có lời giải chi tiết)

Bài tập 1: 

Hình chóp S.ABCD, đáy hình bình hành có O là tâm. Trung điểm SA, SD lần lượt là M, N

a. Chứng minh rằng (OMN) song song (SBC)

b. AB, ON lần lượt có trung điểm là P, Q. Chứng minh rằng PQ song song (SBC)

Bài giải: 

a. Trong tam giác SAC, MO là đường trung bình, suy ra MO // AC

Thêm vào đó, SD và BD có N và O lần lượt là trung điểm nên có NO là đường trung bình trong $\Delta SBD \Rightarrow NO//SB$

b. AB và AC có P và O lần lượt là trung điểm nên OP // AD // BC

 Suy ra OP song song SBC

Thêm vào đó ON song song SB suy ra QC song song (SBC)

Suy ra (OPQ) // (SBC) $\Rightarrow$ PQ // (SBC)

Bài tập 2: 

Hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Trung điểm của SA và CD lần lượt là M và N

a. Chứng minh (OMN) song song (SBC)

b. SD có trung điểm là I, trên (ABCD) có điểm J cách đều AB và CD. Chứng minh IJ // (SAB)

Bài giải: 

a. CD và AC có N và O là trung điểm nên NO là đường trung bình trong BCDNO//BC

Trong tam giác SAC cũng có MO là đường trung bình nên MO // SC

b. BC và AD có P và Q là trung điểm thì PQ là đường thẳng cách đều AB và CD nên J thuộc PQ. IQ là đường trung bình $\Delta SAD$ nên IQ song song SA

Có: PQ // (SAB) và IQ // (SAB) nên (IQP) // (SAB)

Thêm vào đó : $IJ\subset (IQP) \Rightarrow IJ // (SAB)$

Bài tập 3: 

Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. Trung điểm của BC, AC, SB và AD lần lượt là M, N, P, Q

a. Chứng minh (MNP) // (SAC)

b. Chứng minh PQ // (SCD)

c. AM và BD có giao điểm I, J thuộc SA để AJ = 2JS

Suy ra IJ // (SBC)

a. Đường trung bình của $\Delta SAB$ là PN

Nên PN // SA

Lại có MP // SC nên (MNP) // (SAC) do hai mặt phẳng có cặp cạnh song song cắt nhau 

Theo định lý Talet có $\frac{MI}{IA}=\frac{BM}{AD}=\frac{1}{2}$

Lại có $\frac{SJ}{JA}=\frac{1}{2}$ suy ra $\frac{MI}{IA}=\frac{SJ}{JA}\Rightarrow IJ//SM$

Vì $SM \subset (SBC)$ nên IJ // (SBC)

Bài tập 4:

Đáy hình bình tâm O của hình bình hành ABCD. SA và CD có M và N là trung điểm.

a. Chứng minh (OMN) song song (SBC)

b. ON và (SBC) có giao điểm là I

c. $SI\cap BM$ tại G, trọng tâm $\Delta SCD$ là H. Chứng minh GH song song SAD

d. AD có J là trung điểm, E MJ. Chứng minh OE song song (SCD)

Bài giải: 

a. Tam giác SAC có OM là đường trung bình nên 

OM // SC

Lại có tam giác BCD, ON là đường trung bình nên ON // BC

Suy ra (OMN) // (SBC)

b. Mặt phẳng (ABCD), I là giao AN và AB, khi đó I là giao AN và (SAB)

c. Tam giác SAB và SCD có G và H lần lượt là trọng tâm suy ra $\frac{SG}{SI}=\frac{SH}{SN}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow GH//NI//AD \Rightarrow$GH// (SAD)$

d. Theo tính chất đường trung bình: Do O và J là trung điểm AC và AD nên OJ // CD

Và O, M lần lượt là trung điểm AC và SA nên OM // SC

Suy ra (OMJ) // (SCD) => OE // (SCD)

Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi sớm THPT môn Toán từ bây giờ

Bài tập 5:

Hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O. Trung điểm SB, SC có M, N là trung điểm. 

a. Giao tuyến (SAB) và (SCD) là gì

b. Tìm điểm giao SD và (MNP)

c. Thiết diện hình chóp (MNP) là hình gì

d. J thuộc MN. Chứng minh OJ // (SAD)

Bài giải: 

a) Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng d đi qua S và // với AB và CD do AB // CD

b) Kéo dài PM cắt AB tại Q trong mặt phẳng (SAB), kéo dài QN cắt SD tại R trong mặt phẳng (PMQR), R là giao điểm của SD và (MNP).

c) Tứ giác MPRN là thiết diện hình chóp và mặt phẳng (MNP).

Do 3 mặt phẳng (MNP); (ABC); (SAD) cắt nhau theo 3 giao tuyến là PR; MN; AD nên chúng // hoặc đồng quy.

Lại có MN // AD suy ra MN // AD // PR nên MPRN là hình thang

Lại có ON // SA suy ra (OMN) song song (SAD)

Và $OJ\subset SA$ suy ra (OMN) // (SAD)

Và $OJ\subset (OMN)$ nên OJ song song (SAD)

Bài tập 6: 

Hình chóp S.BCD đáy hình bình hành. DC, AB, SB, BG, BI có trung điểm

a. Chứng minh (IJG) song song (SAD)

b. Chứng minh PQ // (SAD)

c. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (IJG) là gì

d. Giao tuyến của hai mặt phẳng (ACG) và (SAD) là gì

a. Hình bình hành ABCD có IJ là đường trung bình nên IJ song song AD (1)

Tam giác SAB có JG là đường trung bình nên JG song song SA (2)

Từ 1 và 2 có (IJG) song song (SAD)

JB có E là trung điểm suy ra $\frac{BE}{BA}=\frac{BP}{BS}=\frac{1}{4}\Rightarrow EP//AS$

Lại có EQ là đường trung bình tam giác BIJ nên EQ // IJ suy ra EQ // AD

Ta có:

$\left\{\begin{matrix}
EP//SA & \\ 
 & \Rightarrow (EPQ)//(SAD) \\ 
 EQ//AD& 
\end{matrix}\right.$

c. (ABC) có O là giao của IJ và AC

Có SA // JG suy ra giao tuyến của (SAC) và (IJG) song song SA

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (IJG) là đường thẳng qua O song song SA

Có K là trung điểm SA thì GK song song AB theo tính chất đường trung bình

Nên GK song song SC suy ra G, K, C, D thẳng hàng

Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (ACG) và (SAD) là AM

Bài tập 7: 

Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O. Trung điểm của BC, CD và SC lần lượt là M, N, P

a. Chứng minh (MNP) song song (SBD)

b. Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD)

c. Tìm giao tuyến (MNP) và (SAD) và suy ra giao điểm SA và (MNP)

d. AP và SO là giao của I, AM và BD là giao của J. Chứng minh IJ song song MNP

a. MN là đường trung bình tam giác BCD suy ra MN // BD

    NP là đường trung bình tam giác SCD nên NP // SD

Nên (MNP) song song (SBD)

b. Giao tuyến của (SAB) và (SCD) đi qua S do AB // CD và song song với AB và CD

c. E là giao của MN và AD

Có NP // SD nên giao tuyến của (MNP) và (SAD) đi qua E song song SD

Mặt phẳng (SAD) gọi F là giao tuyến giao SA 

Suy ra F là giao của SA và (MNP)

d. J là giao AM và BO, J là giao SO và Ap nên I và J là trọng tâm tam giác SAC và ABC

Suy ra $\frac{AI}{Ap}=\frac{AJ}{AM}=\frac{2}{3}\Rightarrow IJ//MP\Rightarrow IJ //(MNP)$

Trên đây toàn bộ kiến thức về hai mặt phẳng song song mà VUIHOC chia sẻ với các bạn học sinh. Hy vọng rằng, sau bài viết này, các bạn sẽ nắm chắc được kiến thức này và đạt điểm cao trong bài kiểm tra. Để có thêm các kiến thức khác thuộc chương trình Toán 11 thú vị khác, các em hãy truy cập  Vuihoc.vn nhé!

Bài viết tham khảo thêm:

Đường thẳng và mặt phẳng song song

Phép chiếu song song