Lý thuyết và các dạng bài tập hàm số bậc nhất lớp 10

1. Lý thuyết chung về hàm số bậc nhất lớp 10

>>> Bài viết liên quan: Tổng ôn hàm số lớp 10 - Tổng hợp lý thuyết và các dạng bài tập 

1.1. Định nghĩa

Hàm số bậc nhất lớp 10 là một dạng hàm số có công thức tổng quát là: y = ax + b (a ≠ 0).

• Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

• Chiều biến thiên:

  • Với $a>0$ hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$

  • Với $a<0$ hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$

1.2. Đồ thị và bảng biến thiên hàm số bậc nhất lớp 10

Bảng biến thiên của hàm số bậc nhất lớp 10 có dạng như sau:

Đồ thị của hàm số là một đường thẳng không song song và cũng không trùng với các trục tọa độ. Đường thẳng này luôn song song với đường thẳng $y=ax$ (nếu b ≠ 0) (nếu b ≠ 0) và đi qua hai điểm.

Chú ý:

• Nếu $a=0$ => $y=b$ là hàm số hằng, đồ thị là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành.

• Phương trình $x=a$ cũng là một đường thẳng (nhưng không phải là một hàm số) vuông góc với trục tọa độ và cắt tại điểm có hoành độ bằng a.

• Cho đường thẳng d có hệ số góc k, d đi qua điểm $M(x_{0} ; y_{0})$, khi đó phương trình của đường thẳng d là: $y – y_{0}= a(x – x_{0})$.

Đăng ký ngay khóa học DUO để được thầy cô lên lộ trình ôn thi tốt nghiệp ngay từ bây giờ nhé!

2. hàm số bậc nhất lớp 10 - hàm hằng y=b

Hàm hằng là một dạng hàm số mà với mọi giá trị đầu vào thì giá trị đầu ra của hàm số không thay đổi. Hàm hằng có dạng $y=b$.

Ví dụ về hàm hằng: $f(x)=2$, $f(x)=-5$, $f(x)=\frac{1}{4}$,...

Đồ thị hàm số $y=b$ là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành, cắt trục tung tại (0;b).

3. Hàm số bậc nhất lớp 10 - hàm trị tuyệt đối y = |x|

Như đã được học trong chương trình THPT, hàm số trị tuyệt đối có mối liên hệ chặt chẽ với hàm số bậc nhất lớp 10. Hàm số trị tuyệt đối có dạng là y = |x|

• Tập xác định: Hàm số  y = |x| xác định với mọi giá trị $x\in \mathbb{R}$, nghĩa là $\mathbb{R}$ là tập xác định của hàm số  y = |x|.

• Chiều biến thiên được xác định theo định nghĩa của giá trị tuyệt đối:

=> Hàm số y = |x| nghịch biến trên khoảng ( –∞ ; 0) và đồng biến trên khoảng (0 ; +∞).

• Bảng biến thiên:

Diễn giải bảng biến thiên: Khi $x>0$ và dần tới +∞ thì y = x dần tới +∞, khi $x<0$ dần tới –∞ thì $y=–x$ cũng dần tới +∞.

• Đồ thị hàm số trị tuyệt đối - hàm số bậc nhất lớp 10:

Diễn giải đồ thị:

• Trong nửa khoảng [0; +∞) đồ thị của hàm số y = |x| trùng với đồ thị của hàm số $y=x$.
• Trong khoảng (–∞; 0) đồ thị của hàm số y = |x| trùng với đồ thị của hàm số $y=–x$.

Lưu ý: Hàm số y = |x| là hàm số chẵn và đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

4. Các dạng bài tập hàm số bậc nhất lớp 10 điểm hình

Để củng cố nền tảng lý thuyết hàm số bậc nhất lớp 10 đã nêu trên, các em học sinh cùng VUIHOC điểm qua 4 dạng bài tập hàm số bậc nhất lớp 10 điển hình kèm theo các ví dụ có giải chi tiết nhé!

4.1. Dạng 1: Xác định hàm số $y=ax+b$ và sự tương giao của đồ thị hàm số

Để xác định hàm số bậc nhất lớp 10, ta làm như sau:

Gọi hàm số cần tìm là $y=ax+b$ (a≠ 0). Dựa theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn a và b, từ đó suy ra hàm số cần tìm.

Bài toán tổng quan về sự tương giao của đồ thị hàm số bậc nhất lớp 10:

Cho 2 đường thẳng $d_1: y=a_1x+b_1$ và $d_2:y=a_2x+b_2$. khi đó:

1. $d_1$ và $d_2$ trùng nhau

2. $d_1$ và $d_2$ song song với nhau

3. $d_1$ và $d_2$ cắt nhau ⇔ $a_1$ ≠ $a_2$. Toạ độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là nghiệm của hệ phương trình:

4. $d_1$ và $d_2$ vuông góc với nhau ⇔ $a_1.a_2=-1$

Ví dụ 1: Cho hàm số bậc nhất lớp 10 có đồ thị là đường thẳng d. Tìm hàm số đó trong các trường hợp sau:

a) d đi qua A(1; 3), B(2; -1).

b) d đi qua C(3; -2) và song song với Δ: 3x - 2y + 1 = 0.

c) d đi qua M (1; 2) và cắt hai tia Ox, Oy tại P, Q sao cho SΔOPQ nhỏ nhất.

d) d đi qua N (2; -1) và d ⊥d' với d': y = 4x + 3.

Hướng dẫn giải:

Gọi dạng tổng quát của hàm số cần tìm là y=ax+b (a ≠ 0).

1.  Vì A ∈ d; B ∈ d nên ta có hệ phương trình:

Kết luận hàm số cần tìm là $y=-4x+7$

2. Ta có Δ:y = $\frac{3x}{2}+\frac{1}{2}$. Vì d // Δ nên:

Mặt khác: C ∈ d ⇒ $-2=3a+b$ (2). Từ (1) và (2) suy ra:

Kết luận hàm số cần tìm là $y=\frac{3x}{2}+\frac{1}{2}$.

3. Đường thẳng d cắt tia Ox tại $P((-b)/a; 0)$ và cắt tia Oy tại $Q(0; b)$ với $b>0$; $a<0$.

(Do cắt tia Ox, Oy nên hoành độ và tung độ giao điểm đều dương).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

⇒ $S_{OPQ}$ ≥ 2 + 2 = 4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Kết luận hàm số cần tìm là $y=-2x+4$

4. Đường thẳng d đi qua $N(2; -1)$ nên $-1=2a+b$

Và d ⊥ d' ⇒ $4.a=-1$ ⇒ $a=(-1)/4$

⇒ $b=-1-2a=(-1)/2$

Kết luận hàm số bậc nhất cần tìm là $y=(-1)x/4-½$.

Ví dụ 2: Cho 2 đường thẳng $d: y = x + 2m$; $d': y=3x+2$ (m là tham số)

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d, d’ cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng

b) Tìm m để ba đường thẳng d, d’ và $d’’: y=-mx+2$ phân biệt đồng quy.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có $a_d$=1 ≠ $a_{d'}$=3 suy ra hai đường thẳng d, d’ cắt nhau.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d, d’ là nghiệm của hệ phương trình

Kết luận d, d’ cắt nhau tại $M(m-1; 3m-1)$.

b) Vì ba đường thẳng d, d’, d’’ đồng quy nên M ∈ d" ta có:

$3m-1=-m(m-1)+2$ ⇔ $m^2 + 2m - 3 = 0$

Trường hợp $m=1$ ta có 3 đường thẳng là d: $y=x+2$, $d':y=3x+2$; $d'':y=-x+2$ phân biệt đồng quy tại M(0; 2).

Trường hợp $m=-3$ ta có d' ≡ d'' suy ra m = -3 không thỏa mãn.

Kết luận m=1 là giá trị cần tìm.

4.2. Dạng 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất lớp 10

Ở dạng xét biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, các em áp dụng kiến thức đã nêu ở phần Lý thuyết chung về hàm số bậc nhất lớp 10.

Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:

a) $y=3x+6$

b) $y=-1\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$

Hướng dẫn giải:

1. Tập xác định: $\mathbb{R}$, $a=3>0$ => hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Lập bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số $y=3x+6$ đi qua 2 điểm A(-2;0), B(0;6).

2. Tập xác định: $D=\mathbb{R}$, $a=(-1)/2<0$ => Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Lập bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số y = $-1\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$ đi qua 2 điểm A(3; 0), B(0; 3/2)

Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số có đồ thị (C) (hình vẽ)

a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên [-3; 3]

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên [-4; 2]

Hướng dẫn giải:

1. Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [-3;3]

2. Dựa vào đồ thị hàm số đề bài, ta có:

4.3. Dạng 3: Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Đây là dạng bài tập ở mức độ trung bình khó trong phần kiến thức hàm số bậc nhất lớp 10. Để vẽ đồ thị © của hàm số y = |ax + b|, các em có thể lựa chọn thực hiện theo 2 cách sau:

Cách 1: Vẽ ($C_1$) là đường thẳng $y=ax+b$ với phần đồ thị sao cho hoành độ x thỏa mãn x ≥ (-b)/a , Vẽ (C2 ) là đường thẳng $y=-ax-b$ lấy phần đồ thị sao cho $x<(-b)/a$. Khi đó (C) là hợp của hai đồ thị ($C_1$) và ($C_2$).

Cách 2: Vẽ đường thẳng $y=ax+b$ và $y=-ax-b$ rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trục hoành. Phần đường thẳng nằm trên trục hoành chính là (C).

Lưu ý:

+ Cho đồ thị (C): $y=f(x)$ khi đó đồ thị ($C_1$): $y=f(|x|)$ là gồm phần :

    - Giữ nguyên đồ thị (C) ở bên phải trục tung.

    - Lấy đối xứng đồ thị (C) ở bên phải trục tung qua trục tung.

+ Cho đồ thị (C): $y=f(x)$ khi đó đồ thị $(C_2): y=|f(x)|$ là gồm phần:

    - Giữ nguyên đồ thị (C) ở phía trên trục hoành.

    - Lấy đối xứng đồ thị (C) ở trên dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành.

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:

Hướng dẫn giải:

1. Ta thấy: 

• Với x ≥ 0: đồ thị hàm số y = 2x là phần đường thẳng đi qua 2 điểm A (1; 2) và O(0; 0) nằm bên phải của trục tung.

• Với x<0: đồ thị hàm số y = - x là phần đường thẳng đi qua 2 điểm B(-1; 1), C(-2; 2) nằm bên trái của trục tung.

2. Vẽ 2 đường thẳng $y=-3x+3$ và $y=3x-3$ và lấy phần đường thẳng nằm trên trục hoành.

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị của những hàm số trị tuyệt đối sau đây:

a) y = |x| - 2

b) y = ||x| - 2|

Hướng dẫn giải:

1. Ta có 2 cách giải sau:

Cách 1:
Ta có:

Vẽ đường thẳng $y=x–2$ đi qua hai điểm A (0; -2), B (2; 0) và lấy phần đường thẳng bên phải của trục tung

Vẽ đường thẳng $y=-x–2$ đi qua hai điểm A (0; -2), B (- 2; 0) và lấy phần đường thẳng bên trái của trục tung.

Cách 2: Đường thẳng $d:y=x–2$ đi qua A (0; -2), B (2; 0).

Khi đó đồ thị của hàm số $y=|x|-2$ là phần đường thẳng d nằm bên phải của trục tung và phần đối xứng của nó qua trục tung.

2. Đồ thị $y=||x| - 2|$ là gồm phần:

- Giữ nguyên đồ thị hàm số $y=|x|-2$ ở phía trên trục hoành

- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số $y=|x|-2$ ở phía dưới trục hoành.

4.4. Dạng 4: Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất 

Cho hàm số $f(x)=ax+b$ và đoạn [α; β] ⊂ R.Khi đó, đồ thị của hàm số $y=f(x)$ trên [α; β] là một đoạn thẳng nên ta có một số tính chất:

Ví dụ 1: Cho hàm số $f(x) = |2x - m|$. Tìm m để giá trị lớn nhất của f(x) trên [1; 2] đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải:

Xét thấy giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn [1;2] chỉ có thể đạt được tại 2 điểm $x=1$ hoặc $x=2$.

Ta có:

Kết luận giá trị nhỏ nhất của M là 1 khi m=3.

Ví dụ 2: Cho hàm số:

Tìm m để giá trị lớn nhất của y đạt nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải:

Gọi A=max_{y}. Ta có:

Kết luận giá trị cần tìm là $m=\frac{3}{2}$.

Trên đây là toàn bộ kiến thức bao gồm lý thuyết và bốn dạng bài tập hàm số bậc nhất lớp 10 điển hình nhất trong chương Hàm số - tập hợp. Để theo dõi và học thêm nhiều kiến thức Toán THPT, Toán lớp 10,... các em học sinh theo dõi trang web vuihoc.vn hoặc đăng ký khoá học của VUIHOC ngay tại đây nhé!