Toán 11 Bài 4: Phép Thử Và Biến Cố - Lý Thuyết, Bài Tập Vận Dụng

1. Phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu

Toán 11 phép thử và biến cố là phép thử mà chúng ta không đoán trước được kết quả. Hãy cùng tìm hiểu sâu hơn về các định nghĩa này.

1.1. Phép thử ngẫu nhiên là gì?

Phép thử ngẫu nhiên hay còn được gọi là phép thử, chính là một hành động hay thí nghiệm có thể lặp đi lặp lại trong các điều kiện giống nhau. 

Mặc dù biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó nhưng kết quả của nó vẫn không dự đoán được trước.

Bài toán “Xác suất” được học ở trường THPT, ta chỉ xét những phép thử ngẫu nhiên có hữu hạn các kết quả đó có thể có được.

Ví dụ: Khi ta gieo quân súc sắc, kết quả thu được là 1 - 6 mặt súc sắc

1.2. Không gian mẫu

Không gian mẫu là tập hợp tất cả kết quả có thể có của phép thử T được gọi là không gian mẫu của phép thử T. Kí hiệu là Ω.

Ví dụ: Khi gieo đồng tiền là phép thử với không gian mẫu là Ω = {S, N} 

(S - sấp, N - ngửa)

Tham khảo ngay bộ tài liệu ôn tập kiến thức và tổng hợp phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi Toán THPT Quốc gia

2. Biến cố

2.1. Khái niệm và ví dụ

Ta có Ω là không gian mẫu của một phép thử T

Nếu A là tập con của Ω thì A là biến cố (liên quan đến phép thử T)

Ta nói “biến cố A xảy ra” trong kết quả khi thực hiện phép thử T, nếu có một phần tử của biến cố xảy ra.

Ví dụ: Ví dụ: Khi gieo đồng tiền hai lần với không gian mẫu là Ω = {SS, SN, NS, NN}

- Ta gọi biến cố A là "Kết quả khi gieo đồng tiền hai lần giống nhau". Khi đó biến cố A được mô tả bởi tập con của không gian mẫu $\omega_{A} = {SS, NN}$

- Biến cố B là “Ít nhất một lần xuất hiện ngửa = {SN, NS, NN}

2.2. Biến cố không thể và biến cố chắc chắn

Ta có Ω là không gian mẫu của phép thử T, ta có định nghĩa như sau:

• Biến cố A gọi là biến cố ngẫu nhiên nếu như A ≠ Φ và A là tập con thực sự của Ω.

• Tập Φ gọi là biến cố không thể (biến cố không).

• Ω gọi là biến cố chắc chắn.

2.3. Chú ý

• Biến cố ngẫu nhiên có liên quan đến phép thử T được đồng nhất với sự kiện có thể sẽ xảy ra, nhưng cũng có thể không xảy ra.

• Mỗi khi phép thử T được thực hiện, biến cố chắc chắn liên quan với phép thử T được đồng nhất với sự kiện nhất định phải xảy ra.

• Biến cố không thể liên quan đến phép thử T được đồng nhất với sự kiện nhất định không xảy ra.

• Trong mọi trường hợp ta đều có biến cố A là một kết quả có thể có thuận lợi cho A.

3. Quan hệ và phép toán trên các biến cố

3.1. Hai biến cố đồng nhất

Hai biến cố A và B được gọi là đồng nhất với nhau khi và chỉ khi “Tập A bằng tập B”

Chú ý: Từ định nghĩa trên ta suy ra hai biến cố A và B đồng nhất với nhau khi và chỉ khi đồng thời xảy ra hoặc đồng thời không xảy ra mỗi khi phép thử T thực hiện.

Kí hiệu: A = B

3.2. Hợp, giao của các biến cố

A, B là các biến cố liên quan đến phép thử T thì tập A ∪ B cũng là biến cố liên quan đến phép thử T. 

Biến cố A ∪ B gọi là hai biến cố A và B

Chú ý: C = A ∩ B

A . B là kí hiệu của biến cố A ∩ B

3.3. Hai biến cố xung khắc

Biến cố B và biến cố A được gọi là xung khắc với nhau $\Leftrightarrow$ A ∩ B = Φ

Chú ý:

Từ định nghĩa suy ra hai biến cố A và B xung khắc với nhau khi và chỉ khi chúng không thể đồng thời cùng xảy ra mỗi khi phép thử T được thực hiện.

3.4. Biến cố đối

Nếu A là biến cố có liên quan đến phép thử T thì tập Ω \ A cũng là biến cố liên quan đến phép thử T và gọi là biến cố đối của A, có kí hiệu là $\overline{A}$

Chú ý:

Từ định nghĩa:  $\overline{A}$ = “Không xảy ra biến cố A”. Ta có:

• $\overline{A}$ xảy ra $\Rightarrow$ A không xảy ra

• $\overline{A}$ là phần bù của A trong Ω

• B được gọi là biến cố đối của biến cố A thì A là biến cố đối của biến cố B. Đồng thời ta có:

4. Những bài tập về phép thử và biến cố (có cách giải)

Dưới đây là các ví dụ giải bài tập phép thử và biến cố:

Bài 1: Khi gieo một quân súc sắc, hãy liệt kê các kết quả có thể có được của phép thử.

Giải:

Kết quả có thể của phép thử khi gieo súc sắc: 1 chấm, 2 chấm, 3 chấm, 4 chấm, 5 chấm, 6 chấm

Bài 2: Một hòm có chứa 4 thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4, lấy ngẫu nhiên 2 thẻ. Hãy xác định không gian mẫu.

Giải:

Bởi vì hai thẻ cần chọn không phân biệt thứ tự nên (i; j) với (j; i) đều như nhau. (i, j) được gọi là kết quả của "lần một lấy trúng thẻ i và lần 2 lấy trúng thẻ j". Do đó không gian mẫu là:

Ω = {(1, 3), (1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

Bài 3: Hãy xác định các biến cố:

A: "Tổng số trên 2 thẻ là số chẵn".

B: "Tích số trên 2 thẻ là một số chẵn."

Biết một hòm đó có chứa 4 thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4, ta sẽ lấy ngẫu nhiên 2 thẻ trong hòm

Giải:

Ta có:

A: "Các số trên thẻ có tổng là số chẵn".

⇒ A = {(1, 3), (2, 4)}

B: "Tích số trên 2 thẻ là số chẵn".

⇒ B = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

Bài 4: Một tấm bia được 2 xạ thủ bắn cung cùng bắn vào tâm. Ak chính là một biến cố: "Người thứ K bắn trúng tấm bia", k = 1, 2. Hãy biểu diễn biến cố sau đây qua các biến cố A1, A2:

A: "Không ai bắn trúng"

B: "Cả hai đều bắn trúng"

C: "Có đúng một người bắn trúng"

D: "Ít nhất một người bắn trúng"

Giải:

Ak được gọi là biến cố: "Người thứ K bắn trúng tâm"

- A1: "Người 1 bắn trúng"

⇒ $\overline{A_{1}}$: “Người thứ nhất sẽ không bắn trúng”.

- A2: "Người 2 bắn trúng"

⇒ $\overline{A_{2}}$: “Người thứ hai không bắn trúng tấm bia”.

Bài 5: Hãy miêu tả không gian mẫu khi gieo đồng tiền liên tiếp cho đến khi xuất hiện cả 4 lần ngửa hoặc mặt sấp thì dừng lại. 

Giải:

Không gian mẫu của phép thử khi gieo đồng tiền liên tiếp đã cho là: Ω = {S, NS, NNS, NNNS, NNNN}

Bài 6: Xác định các biến cố.

A: “Số lần gieo không vượt quá 3”

B: "Số lần gieo là 4"

Biết ta gieo liên tiếp đến khi xuất hiện mặt sấp hoặc cả 4 lần ngửa thì dừng.

Giải:

Xác định biến cố

A: "Không vượt qua 3 số lần gieo tiền"

A = {S, NS, NNS}

B: “Số lần gieo là bốn”.

B = {NNNS, NNNN}

Đăng ký ngay để được thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi tốt nghiệp THPT sớm ngay từ bây giờ

Hy vọng rằng sau bài viết này các em học sinh sẽ nắm chắc toàn bộ kiến thức và bài tập áp dụng về phép thử và biến cố thuộc chương trình Toán 11. Để có thêm thật nhiều kiến thức hay và hữu ích, các em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản nhé!

Bài viết tham khảo thêm:

Nhị thức Niu tơn

Hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp

Xác suất của biến cố