Quy tắc tính đạo hàm và bài tập vận dụng

Tác giả Minh Châu 10:24 08/10/2024 120,658 Tag Lớp 11

Đạo hàm là phần kiến thức xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia, chính vì vậy các em cần nắm chắc quy tắc tính đạo hàm để vận dụng giải các dạng bài tập liên quan. Cùng VUIHOC tìm hiểu bài học này trong bài viết ngày hôm nay bạn nhé!

Quy tắc tính đạo hàm và bài tập vận dụng

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Quy tắc tính đạo hàm chung

- Cho hàm số u = u(x) và v = v(x) $\neq$ 0, $\forall$ x $\in$ J có đạo hàm trên J. Khi đó ta có:

$\large (u \pm v )'=u'\pm v'$

$\large (u.v )'=u'v+uv'$

$\large (\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$

Hệ quả: $\large (\frac{1}{u})'=-\frac{u'}{u^{2}}$

2. Quy tắc tính đạo hàm của một số hàm số

2.1 Quy tắc tính đạo hàm hàm số cơ bản

(c)' = 0

(x)' = 1

$\large (x^{a})'=a.x^{a-1}$

$\large (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\large (\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$

(sinx)' = cosx

(cosx)' = - sinx

$\large (tanx)'=\frac{1}{cos^{2}x}$

$\large (cotx)'=-\frac{1}{sin^{2}x}$

2.2 Quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp

$\large (u^{a})'=a.u^{a-1}.u'$

$\large (\sqrt{u})'=\frac{1}{2\sqrt{u}}$

$\large (\sqrt[n]{u})'=\frac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}$

(sinu)' = u'.cosu

(cosu)' = - u'. sinu

$\large (tanu)'=\frac{u'}{cos^{2}u}$

$\large (cotu)'=-\frac{u'}{sin^{2}u}$

Đăng ký ngay để nhận tài liệu nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập toán THPT với bộ sách cán đích 9+ độc quyền của VUIHOC nhé!

3. Các dạng bài tập đạo hàm

3.1 Dạng bài tính đạo hàm bằng định nghĩa

a. Phương pháp:

- Áp dụng phương pháp tính giới hạn của hàm số

- Ghi nhớ công thức sau:

$\large f'(x)=\lim_{x\rightarrow x_{o}}\frac{f(x)-f(x_{o})}{x-x_{o}}$

b. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hàm số $\large f(x)= 2x^{2} +x +1$ Hãy tính f'(2)?

Ta có:

$\large f'(2)=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x^{2}+x+1-11}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)(2x+5)}{x-2}$

$\large =\lim_{x\rightarrow 2}(2x+5)=9$

Bài 2: Cho hàn số $\large y=\sqrt{3-2x}$ . Hãy tính y'(-3)

Ta có:

$\large y'(-3)=\lim_{x\rightarrow -3}\frac{y(x)-y(-3)}{x+3}=\lim_{x\rightarrow -3}\frac{\sqrt{3-2x}-3}{x+3}$

$\large =\lim_{x\rightarrow -3}\frac{-6-2x}{(x+3)(\sqrt{3-2x}+3)}=\lim_{x\rightarrow -3}\frac{-2}{\sqrt{3-2x}+3}=\frac{-1}{3}$

3.2 Dạng bài áp dụng các quy tắc tính đạo hàm

a. Phương pháp: Áp dụng quy tắc tính đạo hàm để giải quyết bài tập toán

b. Bài tập vận dụng:

Bài 1: Tìm đạo hàm của hàm số y = 5x²(3x-1)

Ta có: y' = [5x²(3x - 1)]' = (5x²)'.(3x - 1)' + 5x².(3x - 1)'

= 10x(3x - 1) + 5x².3 = 45x² - 10x

Bài 2: Tìm đạo hàm của hàm số y = (x⁷ + x)²

Ta có: y' = [(x⁷ + x)²]' = 2(x⁷ + x).(7x⁶ + 1)

= 2(7x¹³ + 8x⁷ + x)

= 14x¹³ + 16x⁷ + 2x

Bài 3: Tính đạo hàm của hàm số $\large y=\frac{2x + 1}{x+1}$

Ta có:

$\large y'=\frac{(2x+1)'(x+1)-(x+1)'(2x+1)}{(x+1)^{2}}$

$\large =\frac{2(x+1)-(2x+1)}{(x+1)^{2}}=\frac{1}{(x+1)^{2}}$

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

Ta có:

Đăng ký khóa học DUO 11 để được các thầy cô lên lộ trình ôn tập thi tốt nghiệp ngay từ sớm nhé!

3.3 Dạng bài chứng minh, giải phương trình, bất phương trình

a. Phương pháp:

- Tính y'

- Áp dụng các kiến thức đã học để biến đổi về phương trình hoặc bất phương trình bậc 1, 2 hoặc 3

- Đối với bài toán chứng minh bất đẳng thức thì biến đổi vế phức tạp về đơn giản hoặc cả 2 vế bằng biểu thức trung gian.

- Một số bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước:

- Một số bài toán về bất phương trình bậc 2 thường gặp:

b. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hàm số: $\large y=\frac{x^{2}+5x-2}{x-1}$ . Giải bất phương trình y' < 0

Ta có:

$\large y'=\frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}$

Điều kiện $\large x\neq 1$ . Khi đó y'< 0 $\large \Leftrightarrow$ x² - 2x - 3 < 0 $\large \Leftrightarrow$ -1 < x < 3

Đối chiếu với điều kiện $\large x\neq 1$ , bất phương trình y' < 0 có tập nghiệm là S = (-1,3)\{1}

Bài 2: Cho hàm số $\large y=\sqrt{x+\sqrt{1+x^{2}}}$ . Chứng minh rằng $\large 2y'\sqrt{1+x^{2}}-y=0$

3.4 Dạng bài đạo hàm của hàm số lượng giác

a. Phương pháp: Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số lượng giác

b. Bài tập vận dụng:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

y = sin⁴x + cos⁴ x
$\large y=\sqrt{1+sin2x}$
y = 2sinx + cos2x
y = (2cosx + 1)(3sinx + 1)
y = cos²2x - sin2x
y = sin²3x + cosx

Lời giải:

Ta có y = (sin²x + cos²x)² - 2sin²x.cos²x = 1 - 1/2sin²2x = 3/4 +1/4cos4x => y' = - 4sinx
$\large y'=\frac{cos2x}{\sqrt{1+sin2x}}$
y' = 2cosx - 2sin2x
y' = 6cos2x - 2sinx + 3cosx
y' = (5-4x).sin(2x² - 5x + 14)
y' = 3sin6x - sinx

3.5 Dạng bài chứng minh đẳng thức, giải phương trình chứa đạo hàm

a. Phương pháp:

- Tính đạo hàm của hàm số đã cho

- Thay y và y' vào biểu thức để biến đổi chứng minh hoặc giải phương trình liên quan

b. Bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho hàm số y = tanx. Hãy chứng minh rằng y' - y² - 1 = 0

Điều kiện để hàm số xác định là $\large x\neq \frac{\pi }{2} + k\pi , k\in Z$

Ta có $\large y'=\frac{1}{cos^{2}x}= 1+ tan^{2}x$

Khi đó y' - y² - 1 = 1 + tan²x - tan²x - 1 = 0

Bài 2: Cho hàm số y = xsinx. Hãy chứng minh rằng xy + x(2cosx - y) = 2(y' - sinx)

Ta có: y' = sinx + xcosx

xy + x(2cosx - y) = 2(y' - sinx) $\large \Leftrightarrow$ xy + 2xcosx - xy = 2(sinx + xcosx - sinx)

$\large \Leftrightarrow$ 2xcosx = 2xcosx ( điều phải chứng minh)

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Quy tắc tính đạo hàm chính là những phép tính được đưa ra để tính toán các bài toán. Nếu các em nắm chắc kiến thức này sẽ dễ dàng giải các dạng bài tập toán về đạo hàm nhanh và chính xác nhất. Hy vọng qua những chia sẻ trên của VUIHOC, các em có thể vận dụng vào bài tập và cả bài thi toán tốt nghiệp THPT trong thời gian tới. Chúc các em học tập ngày càng hiệu quả cùng với ứng dụng học tập vuihoc.vn nhé!

Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết

>> Mời bạn tham khảo thêm: