Giải nhanh so sánh luỹ thừa

Trước khi vào chi tiết bài viết, các em cùng đọc bảng dưới đây để hiểu tổng quan hơn về độ khó của dạng bài tập so sánh luỹ thừa trong đề thi THPTQG:

Để tiện hơn trong việc ôn tập luỹ thừa và giải các bài toán so sánh luỹ thừa, các em tải file tổng hợp lý thuyết về luỹ thừa - so sánh luỹ thừa lớp 12 tại link dưới đây nhé!

Tải xuống file tổng hợp lỹ thuyết luỹ thừa - so sánh luỹ thừa lớp 12

1. Ôn tập lý thuyết cơ bản về luỹ thừa

1.1. Định nghĩa và phân loại luỹ thừa

Về định nghĩa luỹ thừa, các em có thể hiểu đơn giản rằng, lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhân có $n$ thừa số $a$ nhân với nhau.

Để giải các bài tập so sánh luỹ thừa lớp 12, các em đừng bỏ qua phân loại luỹ thừa gồm 3 dạng sau:

Dạng 1: Luỹ thừa với số mũ nguyên

Cho $n$ là một số nguyên dương. Với $a$ là một số thực tuỳ ý, luỹ thừa bậc $n$ của $a$ là tích của $n$ thừa số $a$. Định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên cũng giống định nghĩa chung về luỹ thừa. Ta có công thức tổng quát như sau:

$a^n=a.a.a.a…..a$ (n thừa số a)

Với $a^0$ thì $a^0=1$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Lưu ý:

• $0^n$ và $0^{-n}$ không có nghĩa

• Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của luỹ thừa với số mũ nguyên dương.

Dạng 2: Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực $a$ dương và số hữu tỉ $r=m^n$, trong đó $m\in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{N}, n\geq 2$

Luỹ thừa của số $a$ với số mũ $r$ là số $a^r$ xác định bởi: $a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

Đặc biệt: Khi $m=1: a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

Ví dụ:

Dạng 3: Luỹ thừa với số mũ thực

Cho $a>0,a\in \mathbb{R}$, là một số vô tỉ, khi đó $a^\alpha =\lim_{n\rightarrow +\infty }a(r^n)$ với $r^n$ là dãy số hữu tỉ thoả mãn $\lim_{n\rightarrow +\infty }r^n=\alpha $

Tính chất của luỹ thừa với số mũ thực:

1.2. Tính chất áp dụng trong bài tập so sánh luỹ thừa

Các tính chất của luỹ thừa góp phần không nhỏ trong việc hình thành cách so sánh luỹ thừa trong các bài tập cụ thể. Chúng ta cùng xét các tính chất lũy thừa áp dụng để biến đổi và so sánh luỹ thừa sau:

• Tính chất về đẳng thức: Cho a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ R, ta có:

Tính chất về bất đẳng thức: 

• So sánh cùng cơ số: Cho m, n ∈ R. Khi đó:
  • Với $a>1$ thì $a^m>a^n\Rightarrow m>n$
  • Với $0<a<1$ thì $a^m>a^n\Rightarrow m<n$
• So sánh cùng số mũ:
  • Với số mũ dương $n>0: a>b>0\Rightarrow a^n>b^n$
  • Với số mũ âm $n<0: a>b>0\Rightarrow a^n<b^n$

1.3. Công thức cần nhớ để giải bài tập so sánh luỹ thừa

Để làm được bài tập so sánh luỹ thừa lớp 12, ta không thể bỏ qua các công thức để giúp biến đổi các phương trình, bất phương trình, hàm số luỹ thừa. 

Về cơ bản, các em cần nắm vững những công thức luỹ thừa lớp 12 căn bản trong bảng sau:

Ngoài ra, khi so sánh luỹ thừa ta còn gặp những công thức luỹ thừa khác trong các trường hợp đặc biệt, cụ thể như sau:

• Luỹ thừa của số e:

Số $e$ là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số $e$ được định nghĩa qua giới hạn sau:

Hàm $e$ mũ, được định nghĩa bởi $e=\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{n})^n$ ở đây $x$ được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa $e^{x+y}=e^x.e^y$ 

Hàm $e$ mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của $x$.

Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm $e$ mũ với $x$ là số nguyên dương k chính là $e^k$ như sau:

Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng $e^{x+y}$ thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi x và y là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.

• Hàm luỹ thừa với số mũ thực:

Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của các số hữu tỷ.

Logarit tự nhiên $ln(x)$ là hàm ngược của hàm $e^x$. Theo đó $lnx$ là số $b$ sao cho $x=e^b$

Nếu $a$ là số thực dương, $x$ là số thực bất kỳ ta có $a=elna$ nên nếu ax được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có:

$a^x=(e^{lna})^x=e^{x.lna}$

Điều này dẫn tới định nghĩa $a^x=e^{x.lna}$ với mọi số thực $x$ và số thực dương $a$

2. Cách so sánh luỹ thừa lớp 12

2.1. Chi tiết phương pháp giải bài tập so sánh luỹ thừa

Trước khi tìm hiểu cách so sánh luỹ thừa, các em cần nhớ 2 tính chất sau đây để áp dụng vào bài toán so sánh luỹ thừa lớp 12:

+ Tính chất 1

+ Tính chất 2. So sánh lũy thừa khác cơ số, cùng số mũ:

Với a > b > 0 thì

+ Chú ý:

Để so sánh lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số rồi so sánh số mũ hoặc đưa về cùng số mũ rồi so sánh cơ số. Ngoài ra có thể dùng lũy thừa trung gian làm cách so sánh luỹ thừa.

2.2. Ví dụ so sánh luỹ thừa minh hoạ

Giúp các em hình dung hơn về cách giải các bài tập so sánh luỹ thừa lớp 12, VUIHOC có sưu tầm một số ví dụ từ cơ bản đến nâng cao sau đây. Các em nhớ đọc kỹ để rút kinh nghiệm cho các bài tập thực tế nhé!

3. Bài tập áp dụng so sánh luỹ thừa

Mục tiêu của các học sinh, đặc biệt là các bạn đang ôn thi THPTQG là có thể giải các bài toán mức độ nhận biết - thông hiểu nhanh nhất có thể. Vì thế, cách duy nhất để đạt được trình độ như vậy đó là dành thời gian luyện tập thật nhiều các dạng bài tập. Dưới đây là tổng hợp tất cả các dạng bài tập so sánh luỹ thừa lớp 12 đã được biên soạn và chọn lọc từ các đề thi, đề luyện thi sát với đề THPTQG  nhất. Các em nhớ tải về nhé!

Tải xuống file bài tập so sánh luỹ thừa lớp 12

Bài viết trên tổng hợp toàn bộ kiến thức về luỹ thừa và hướng dẫn các em giải các bài tập dạng so sánh luỹ thừa lớp 12. Chúc các em luôn ôn tập tốt nhé!