Tích Vectơ Với Một Số: Lý Thuyết Và Bài Tập - Toán 10

1. Lý thuyết cơ bản về tích vectơ với một số

1.1. Định nghĩa tích vectơ với một số

Tích của vectơ với một số được định nghĩa như sau:

Cho một số thực $k\neq 0$, vectơ $\vec{a}\neq 0$. 

Tích của vectơ $\vec{a}$ với một số thực $k\neq 0$ là một vectơ, kí hiệu k$\vec{a}$, cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu k>0, ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu k<0, vecto k$\vec{a}$ có độ dài bằng $\left | k \right |\left | \vec{a} \right |$.

Quy ước: $0\vec{a}$=0; k$\vec{0}$=$\vec{0}$

1.2. Tính chất tích của vectơ với 1 số 

Tích của vectơ với một số có các tính chất:

a, Tính phân phối với phép cộng vectơ:

$k(\vec{m}+\vec{n})=k\vec{m}+k\vec{n}$

b, Tính phân phối với phép cộng các số:

$(a+b)\vec{x}=a\vec{x}+b\vec{x}$

c, Tính kết hợp:

$a(\vec{bc})=(ab)\vec{c}$

d, $1\vec{a}=\vec{a}, (-1)\vec{a}=-\vec{a}$

e, $k\vec{a}=0 \Leftrightarrow k=0$ hoặc $\vec{a}=0$

Áp dụng: 

• Nếu E là trung điểm của đoạn thẳng MN thì với mọi điểm I, ta có: 

               $\vec{IM}+\vec{IN}=2\vec{IE}$

• Nếu U là trọng tâm tam giác NCT thì mọi điểm I ta có:

               $\vec{IN}+\vec{IC}+\vec{IT}=3\vec{IU}$

1.3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

• Điều kiện cần và đủ để vectơ $\vec{a}$ và vectơ $\vec{b} (\vec{b}\neq 0)$ cùng phương là tồn tại một số k sao cho $\vec{a}=k\vec{b}$.

• Ba điểm phân biệt M, N, O thẳng hàng khi và chỉ khi có số $k\neq 0$ để $\vec{MN}=k\vec{MO}$.

1.4. Cách phân tích một vectơ thành hai vectơ không cùng phương

Cho vectơ $\vec{a}$ và vectơ $\vec{b}$ là hai vectơ không cùng phương. Khi đó mọi vectơ kđều được biểu diễn một cách duy nhất theo hai vecto $\vec{a},\vec{b}$: $\vec{k}=m\vec{a}+n\vec{b}$, trong đó m, n là các số thực duy nhất.

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán vững vàng

2. Một số bài tập tích của vectơ với một số

2.1. Tính độ dài vectơ

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa và các quy tắc cộng, trừ các vectơ để dựng vectơ chứa tích của vectơ với một số, kết hợp với các định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài vectơ.

Ví dụ 1: Tam giác ABC đều, cạnh a, lấy M là trung điểm cạnh BC. Dựng các vectơ dưới đây và tính độ dài của chúng:

a, $\vec{MA}+\frac{1}{2} \vec{CB}$

b, $\vec{BA}-\frac{1}{2} \vec{BC}$

c, $2\vec{AC}+\frac{11}{2} \vec{AB}$

d, $\frac{5}{2}\vec{MB}+\frac{3}{4}\vec{MA}$

Lời giải: 

a, Ta có: $\frac{1}{2}\vec{CB}=\vec{CM}$

Theo quy tắc 3 điểm ta được: 

$\frac{1}{2}\vec{CB}+\vec{MA}=\vec{CM}+\vec{MA}=\vec{CA}$

Vậy: $\left | \frac{1}{2} \vec{CB+\vec{MA}}\right |=\left | \vec{CA} \right |=a$

b, Vì $\vec{BM}=\frac{1}{2}\vec{BC}$ nên theo quy tắc trừ ta có:

$\vec{BA}-\frac{1}{2}\vec{BC}=\vec{BA}-\vec{BM}=\vec{MA}$

Theo định lý Pytago ta có: $MA=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{a^{2}-\left ( \frac{a}{2} \right )^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy, $\left | \vec{BA}-\frac{1}{2}BC \right |=\vec{MA}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

c, Lấy điểm N là trung điểm của đoạn AB, Q đối xứng C qua A, P là đỉnh của hình bình hành APQN

d, Lấy điểm K thuộc đoạn AM sao cho $MK=\frac{3}{4}MA$, điểm H thuộc tia $\vec{BM}$ sao cho $\vec{MH}=\frac{5}{2}\vec{MB}$.

Ví dụ 2: Hình vuông ABCD có cạnh a

a, Chứng tỏ rằng $\vec{u}=a\vec{MA}-3\vec{MB}+\vec{MC}-2\vec{MD}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

b, Tính $\left | \vec{u} \right |$.

Lời giải:  

a, Giả sử O là tâm hình vuông ABCD. Áp dụng quy tắc 3 điểm ta có: 

$\vec{u}=4\vec{MO}+\vec{OA}-3\vec{MO}+\vec{OB}+\vec{MO}+\vec{OC}-2\vec{MO}+\vec{OD}=4\vec{OA}-3\vec{OB}+\vec{OC}-2\vec{OD}$

Mà: $\vec{OD}=-\vec{OB}, \vec{OC}=-\vec{OA}$ nên $\vec{u}=3\vec{OA}-\vec{OB}$

=> Vecto $\vec{u}$ không phụ thuộc vị trí của điểm M.

b, Lấy A' trên $\vec{OA}$ sao cho OA'=3OA

Khi đó: $\vec{OA'}=3\vec{OA}\Rightarrow \vec{u}=\vec{OA'}-\vec{OB}=\vec{BA'}$

Mặt khác:

$\vec{BA'}=\sqrt{OB^{2}+(OA')^{2}}=\sqrt{OB^{2}+9OA^{2}}=a\sqrt{5}\Rightarrow \vec{u}=a\sqrt{5}$

2.2. Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước

Phương pháp giải: 

• Biến đổi đẳng thức vectơ thành dạng $\vec{AN}=\vec{a}$, điểm A và $\vec{a}$ đã biết. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm N sao cho $\vec{AN}=\vec{a}$. Để dựng điểm N, ta lấy điểm A làm gốc, dựng một vectơ bằng vectơ $\vec{a}$, từ đó suy ra được điểm ngọn là điểm N.

• Biến đổi về đẳng thức vectơ đã biết của trọng tâm tam giác và trung điểm đoạn thẳng.

Ví du 1: Cho tứ giác ABCD. Tìm các điểm M,N,P sao cho:

a, $2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=\vec{0}$
b, $\vec{NA}+\vec{NB}+\vec{NC}+\vec{ND}=\vec{0}$
c, $3\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=\vec{0}$

Lời giải:

a, Giả sử điểm I là trung điểm đoạn BC

=> $\vec{MB}+\vec{MC}=2\vec{MI}$

Do đó: $2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=\vec{0}$

$2\vec{MA}+2\vec{MI}=\vec{0}\Leftrightarrow \vec{MA}+\vec{MI}=\vec{0}$

=> Điểm M là trung điểm đoạn thẳng AI

b, Giả sử K,H là trung điểm của AB, CD ta có:

$\vec{NA}+\vec{NB}+\vec{NC}+\vec{ND}=\vec{0}\Leftrightarrow 2\vec{NK}+2\vec{NH}=\vec{0}$

=> Điểm N là trung điểm đoạn thẳng KH

c, Giả sử G là trọng tâm của tam giác BCD ta có:

$\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=3\vec{PG}$

=> $3\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=\vec{0}$

Điểm P là trung điểm đoạn thẳng AG.

Ví dụ 2: A, B là hai điểm cho trước, hai số thực $\alpha ,\beta $ thỏa mãn $\alpha+\beta\neq 0$. Chứng tỏ rằng: tồn tại duy nhất một điểm I sao cho $\alpha\vec{IA}+\beta \vec{IB}=\vec{0}$. Từ đó suy ra được $\alpha\vec{MA}+\beta \vec{MB}=(\alpha +\beta )\vec{MI}$ (M là điểm bất kì).

Lời giải: 

2.3. Chứng minh đẳng thức vectơ

Phương pháp giải: Áp dụng các kiến thức: tính chất vectơ, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc phép trừ, tính chất trung điểm, tính chất trọng tâm tam giác để biến đổi.

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Hai điểm I,J là trung điểm của AB, CD. Điểm O là trung điểm của IJ. Chứng minh:

1. $\vec{BD}+\vec{AC}=2\vec{IJ}$

2. $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD}=\vec{0}$

3. Với điểm M bất kì: $\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}=4\vec{MO}$

Lời giải: 

Ví dụ 2: Tam giác ABC có AB=c, CA=b, BC=a, G là trọng tâm. Giả sử D,E,F lần lượt là hình chiếu của trọng tâm G lên các cạnh AB, AC,BC. Chứng minh:

$a^{2}\vec{GD}+b^{2}\vec{GE}+c^{2}\vec{GF}=\vec{0}$

Lời giải: 

Hy vọng bài viết trên đây đã giúp các em nắm được kiến thức về tích của vectơ với một số. Bên cạnh việc học lý thuyết các em cần luyện tập thêm những dạng bài tập hay gặp để có được bài kiểm tra môn Toán đạt kết quả cao. Ngoài ra các em hãy truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học ngay từ hôm nay để học tập tốt hơn nhé!