Lý Thuyết Và Bài Tập Về Tổng Và Hiệu Của Hai Vectơ

1. Tổng và hiệu của hai vectơ

1.1. Tổng của hai vectơ

1.1.1. Định nghĩa tổng và hiệu của hai vectơ

1.1.1.1. Định nghĩa tổng của hai vectơ 

Ví dụ minh họa sau đây: 

Hình trên đây là mô tả cách cộng hai vectơ:

• Để cộng hai vectơ, đầu tiên ta cần xác định ngọn của một vectơ, rồi từ đó ta dựng giá của vectơ thứ hai đi qua ngọn của vectơ đầu tiên. 
• Tiếp theo, ta sử dụng tính chất của hai vectơ bằng nhau để chập ngọn của vectơ thứ nhất với gốc của vectơ thứ hai. 

Định nghĩa tổng của hai vectơ: Cho hai vectơ $\vec{a},\vec{b}$. Lấy một điểm A, vẽ $\vec{AB}=\vec{a}$, $\vec{BC}=\vec{b}$, vectơ $\vec{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\vec{a},\vec{b}$ (hay $\vec{AB},\vec{BC}$) => $\vec{AC}=\vec{a}+\vec{b}$

Ví dụ : Cho hình vuông ABCD hãy tính:

a. $\vec{AB}+\vec{BC}$
b. $\vec{AB}+\vec{CD}$
c. $\vec{AB}+\vec{DC}$

Lời giải:

a. $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$
b. $\vec{AB}+\vec{CD}=\vec{AB}+\vec{BA}=\vec{AA}=\vec{0}$
c, Dựng $\vec{BE}=\vec{DC}$ thì B là trung điểm AE. Khi đó, $\vec{AB}+\vec{DC}=\vec{AB}+\vec{BE}=\vec{AE}$

1.1.1.2. Định nghĩa hiệu của hai vectơ 

Định nghĩa hiệu của hai vectơ: Cho 2 vectơ $\vec{a},\vec{b}$. Vectơ hiệu của hai vectơ, kí hiệu $\vec{a}-\vec{b}$ là vectơ $\vec{a}+(-\vec{b})$.

=> $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$

Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD, gọi O là tâm hình chữ nhật. Tính các hiệu:

a. $\vec{CB}-\vec{AB}$
b. $\vec{AD}-\vec{AB}$
c. $\vec{CO}-\vec{DO}$

Lời giải:

a, $\vec{CB}-\vec{AB}=\vec{CB}+(-\vec{AB})=\vec{CB}+\vec{BA}=\vec{CA}$

b, Áp dụng quy tắc ba điểm A,D,B có: $\vec{AD}-\vec{AB}=\vec{BD}$

c, $\vec{CO}-\vec{DO}=\vec{CO}+(-\vec{DO})=\vec{CO}+\vec{OD}=\vec{CD}$

1.1.2. Tính chất của tổng các vectơ 

Với các vectơ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ tùy chọn ta có:

• Tính chất giao hoán: $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$

• Tính chất kết hợp: $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$

• Tính chất của $\vec{0}$: $\vec{a}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{a}=\vec{a}$

1.1.3. Quy tắc hình bình hành

1.1.3.1. Quy tắc 

Với tứ giác ABCD là hình bình hành thì $\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}$

1.1.3.2. Ví dụ 

VD1: Chóp S.ABCD ( đáy ABCD là hình bình hành). Chứng minh: $\vec{SA}+\vec{SC}=\vec{SB}+\vec{SD}$

Lời giải: 

VD2: Cho hình bình hành ABCD tâm I. Khẳng định nào sau đây là sai?

Ví dụ về quy tắc hình bình hành - tổng và hiệu của hai vectơ

1. $\vec{IA}+\vec{IC}=0$
2. $\vec{AB}=\vec{DC}$
3. $\vec{AC}=\vec{BD}$
4. $\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}$

Lời giải:

VD3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH với I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H lên AB và AC. Khẳng định nào sau đây là sai?

1. $\vec{AH}=\vec{AI}+\vec{AK}$
2. $\vec{AH}=\vec{KH}+\vec{AK}$
3. $\vec{AH}=\vec{IH}+\vec{AI}$
4. $\vec{AH}=\vec{AB}+\vec{AK}$

Lời giải:

VD4: Cho hình bình hành ABCD (E là TĐ của AD, F là TĐ BC). Khẳng định sai là?

1. $\vec{BD}=\vec{BA}+\vec{BC}$
2. $\vec{BD}=\vec{BE}+\vec{BF}$
3. $\vec{BD}=\vec{AC}$
4. $\vec{BD}=\vec{CD}+\vec{AD}$ 

​​​

Lời giải:

1.2. Hiệu của hai vectơ

1.2.1. Vectơ đối

• Vectơ đối có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ được gọi là vectơ đối của vectơ $\vec{a}$, kí hiệu $-\vec{a}$.

• Vectơ đối của $\vec{0}$ là vectơ $\vec{0}$.

1.2.2. Hiệu của hai vectơ

Ví dụ minh họa sau đây:

Cũng giống với phương pháp cộng ở trên, ta tính hiệu hai vectơ bằng cách cộng với vectơ đối. 

Có quy tắc hiệu vectơ như sau: $\vec{AB}$ là một vectơ đã cho và 1 điểm O bất kỳ thì ta luôn có:

$\vec{AB}=\vec{OB}+\vec{OA}$

VD1: Cho 4 điểm A,B,C,D phân biệt. Chứng minh rằng: $\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{DC}-\vec{BC}$

Lời giải: 

Ta có: $\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{DB}$ (1) (áp dụng quy tắc về hiệu hai vectơ)

Lại có: $\vec{DC}-\vec{BC}=\vec{DC}+(\vec{-BC})$ (vectơ đối)

$\vec{DC}+\vec{CB}=\vec{DB}$ (2) (áp dụng quy tắc ba điểm về tổng hai vectơ)

Từ (1) và (2) => $\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{DC}-\vec{BC}$ (dpcm) 

VD2: Tính $\vec{MN}-\vec{QP}+\vec{RN}-\vec{PN}+\vec{QR}$ 

Lời giải:

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán vững vàng

2. Áp dụng vào tổng và hiệu của hai vectơ

- Trung điểm của đoạn thẳng: 

I là trung điểm của đoạn thẳng

$\Leftrightarrow \vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}$

- Trọng tâm của tam giác:

Với H là trọng tâm của tam giác MNP

$\Leftrightarrow \vec{HM}+\vec{HN}+\vec{HP}=\vec{0}$

- Tính chất của vectơ không: 

   AB+0=0+AB=AB

3. Các dạng bài tập về tổng và hiệu của hai vectơ

3.1. Xác định độ dài tổng và hiệu của 2 vectơ

3.1.1.  Phương pháp giải

Đưa tổng hoặc hiệu của các vectơ về một vectơ có độ dài là một cạnh của đa giác để tính độ dài của vectơ.

3.1.2. Ví dụ minh họa 

VD1: Cho hình chữ nhật ABCD. Biết AB = 4a, AD = 2a. Tính: $\left | \vec{AB}+\vec{AD}\right |$

Lời giải: 

$\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}$ (quy tắc hình bình hành) 

$\Rightarrow \left | \vec{AB}+\vec{AD}\right|=\left | \vec{AC} \right |=AC$

Vì ABCD là hình chữ nhật BC=AD=2a

Xét tam giác ABC vuông tại B 

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

$AC^{2}=\left ( 4a \right )^{2}+\left ( 2a \right )^{2}=20a^{2}$
$\Rightarrow AC=\sqrt{20a^{2}}=2\sqrt{5}a$

VD2: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính $\left | \vec{CA}-\vec{BA}\right |$

Lời giải:

Vì $\vec{BA}=\vec{AB}=AB$ và $\left | \vec{BA} \right |$ ngược hướng với $\left | \vec{AB} \right |$

$\Rightarrow \vec{AB}=-\vec{BA}$

Ta có: $\vec{CA}-\vec{BA}=\vec{CA}+\left ( -\vec{BA} \right )=\vec{CA}+\vec{AB}=\vec{CB}$
$\Rightarrow \left | \vec{CA}-\vec{BA}\right |=\left | \vec{CB} \right |=CB=a$

VD3: Cho hình vuông ABCD cạnh, M là một điểm bất kỳ. Tính $\left | \vec{MA}-\vec{MB}-\vec{MC}+\vec{MD}\right |$

Lời giải:

3.2. Chứng minh các đẳng thức các vectơ từ việc biến đổi

3.2.1. Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, trọng tâm, trung điểm để biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức hoặc biến đổi cả hai vế để được hai vế bằng nhau hoặc ta cũng có thể biến đổi đẳng thức vectơ cần chứng minh đó tương đương với một đẳng thức vectơ đã được công nhận là đúng.

3.2.2. Ví dụ minh họa

VD1: Cho sáu điểm tùy ý  A,B,C,D,E,F. Chứng minh đẳng thức sau:

$\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF}=\vec{AE}+\vec{BF}+\vec{CD}$

Lời giải: 

- Áp dụng quy tắc ba điểm ta có: $\vec{AD}=\vec{AC}+\vec{CD}$

Vế trái $=\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF}=\vec{AC}+\vec{CD}+\vec{BE}+\vec{CF}$

$=(\vec{AC}+\vec{CF})+\vec{CD}+\vec{BE}=\vec{AF}+\vec{CD}+\vec{BE}$

- Áp dụng quy tắc ba điểm ta có: $\vec{AF}=\vec{AE}+\vec{EF}$

Vế phải $=\vec{AE}+\vec{EF}+\vec{CD}+\vec{BE}=\vec{AE}+(\vec{BE}+\vec{EF})+\vec{CD}$

$=\vec{AE}+\vec{BF}+\vec{CD}$ =Vế trái (điều phải chứng minh). 

VD2: Cho tam giác ABC. Cho M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC và  BC. Điểm O bất kì. Chứng minh đẳng thức: $=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OM}+\vec{ON}+\vec{OP}$

Lời giải:

Giả sử $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OM}+\vec{ON}+\vec{OP}$ là đúng 

=> $\vec{OM}-\vec{OC}+\vec{ON}-\vec{OA}+\vec{OP}-\vec{OB}=\vec{0}$

=> $\vec{CM}+\vec{AN}+\vec{BP}=\vec{0}$ (1) 

VD3: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn: $\vec{AB}+\vec{AC}=\vec{AB}-\vec{AC}$ thì tam giác ABC là tam giác vuông

Lời giải:

Trên đây là toàn bộ kiến thức và các dạng bài tập về tổng và hiệu của hai vectơ Hy vọng sau bài viết này sẽ giúp các bạn học sinh xử gọn các dạng bài về tổng và hiệu của 2 vectơ một cách dễ dàng. Các em hãy truy cập nền tảng Vuihoc.vn để luyện thêm đề, bài tập và theo dõi bài giảng hấp dẫn nhất nhé!

     Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết