5 cách giải phương trình mũ có hướng dẫn siêu chi tiết

Trước khi đi vào chi tiết bài viết cách giải phương trình mũ trong chương trình Toán 12, các em cùng VUIHOC đọc bảng sau đây để nhận định về độ khó và vùng kiến thức cần ôn tập về phương trình mũ nhé!

Dưới đây là link tổng hợp toàn bộ kiến thức phương trình mũ - cách giải phương trình mũ trong bài viết này để giúp các em dễ theo dõi cũng như tiện trong ôn tập phương pháp giải phương trình mũ. Đừng quên tải về nhé!

>>>Tải xuống file lý thuyết tổng hợp phục vụ giải phương trình mũ<<<

1. Tổng hợp lý thuyết về phương trình mũ áp dụng trong cách giải phương trình mũ

1.1. Định nghĩa và công thức chung

Hiểu đơn giản, phương trình mũ là dạng phương trình 2 vế trong đó có chứa biểu thức mũ.

Theo định nghĩa đã được học trong chương trình THPT, ta có định nghĩa và dạng tổng quát chung của phương trình mũ như sau:

Phương trình mũ có dạng $a^x=b$ với $a,b$ cho trước và $0<a\neq 1$

Phương trình mũ có nghiệm khi:

• Với $b>0$: $a^x=b\Rightarrow x=log_ab$

• Với $b\leq 0$: phương trình mũ vô nghiệm

1.2. Tổng hợp các công thức vận dụng giải phương trình mũ

Để tìm được cách giải phương trình mũ, các em cần ghi nhớ các công thức cơ bản của số mũ phục vụ áp dụng trong các bước biến đổi. Công thức mũ cơ bản được tổng hợp từ các phương pháp giải phương trình mũ trong bảng sau:

Ngoài ra, các tính chất của số mũ cũng là một phần kiến thức cần nhớ để giải phương trình mũ. Tổng hợp tính chất của số mũ được VUIHOC liệt kê theo bảng dưới đây:

Các em cần lưu ý khi biến đổi giải phương trình mũ, các tính chất trên áp dụng khi số mũ đó đã xác định nhé!

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

2. 5 cách giải phương trình mũ có ví dụ minh hoạ chi tiết

2.1. Dạng toán phương trình mũ đưa về cùng cơ số

Ở phương pháp sử dụng cách giải phương trình mũ này, ta cần biến đổi theo công thức sau để đưa về cùng cơ số:

  Với a > 0 và a ≠ 1 ta có $a^{f(x)}=a^{g(x)}\Rightarrow f(x)=g(x)$.

Ta cùng xét ví dụ sau đây để hiểu rõ cách giải pt mũ đưa về cùng cơ số này:

2.2. Dạng toán đặt ẩn phụ

Đây là cách giải phương trình mũ thường gặp trong các đề thi. Chúng ta thường sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình mũ ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ. Khi sử dụng cách giải phương trình mũ này, ta cần thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Đưa phương trình mũ về dạng ẩn phụ quen thuộc
• Bước 2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ
• Bước 3: Giải phương trình mũ với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa điều kiện
• Bước 4: Thay giá trị t tìm được vào giải phương trình mũ cơ bản
• Bước 5: Kết luận

Các phép ẩn phụ thường gặp như sau:

Dạng 1: Các số hạng trong phương trình mũ có thể biểu diễn qua $a^{f(x)}$ nên ta đặt $t=a^{f(x)}$

Lưu ý trong cách giải phương trình mũ này ta còn gặp một số bài mà sau khi đặt ẩn phụ ta thu được 1 phương trình vẫn chứa x. Khi đó, ta gọi đó là các bài toán đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

Dạng 2: Phương trình mũ đẳng cấp bậc $n$ đối với $a^{nf(x)}$ và  $b^{nf(x)}$

Với cách giải phương trình mũ này, ta sẽ chia cả 2 vế của phương trình mũ cho $a^{nf(x)}$ hoặc $b^{nf(x)}$ với $n$ là số tự nhiên lớn nhất có trong phương trình mũ. Sau khi chia ta sẽ đưa được phương trình mũ về dạng 1.

Dạng 3: Trong phương trình có chứa 2 cơ số nghịch đảo

• Loại 1: $A.a^{f(x)}+B.b^{f(x)}+C=0$ với $a.b=1$

=> Đặt ẩn phụ $t=a^{f(x)}b^{f(x)}=\frac{1}{t}$

• Loại 2: $A.a^{f(x)}+B.b^{f(x)}+C=0$ với $a.b=c^2$

=> Chia 2 vế của phương trình mũ cho $c^{f(x)}$ và đưa về dạng 1.

Ta cùng xét các ví dụ sau để hiểu rõ hơn về cách giải phương trình mũ đặt ẩn phụ nhé!

Nắm trọn kiến thức Logarit và phương pháp giải mọi dạng bài Toán 12 ngay

2.3. Giải phương trình mũ bằng cách logarit hoá

Trong một số trường hợp, chúng ta không thể sử dụng cách giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc dùng ẩn phụ được. Khi đó, các em cần lấy logarit 2 vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đó để đưa về dạng phương trình mũ cơ bản. Phương pháp giải pt mũ này được gọi là logarit hoá.

Dấu hiệu nhận biết bài toán giải phương trình mũ áp dụng phương pháp logarit hóa: Phương trình loại này thường có dạng $a^{f(x)}.b^{g(x)}.c^{h(x)}=d$ (tức là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau). Khi đó, các em có thể áp dụng cách giải phương trình mũ lấy logarit 2 vế theo cơ số $a$ (hoặc $b$, hoặc $c$).

Các công thức logarit hoá giải pt mũ như sau:

Sau đây, các em cùng theo dõi ví dụ minh hoạ cách giải phương trình mũ:

2.4. Sử dụng tính đơn điệu làm phương pháp giải phương trình mũ

Để sử dụng tính đơn điệu vào trong cách giải phương trình mũ, ta cần nắm vững cách khảo sát hàm số mũ như sau:

• Tập xác định của hàm số mũ $y=a^x (0<a\neq 1)$ là $\mathbb{R}$

• Chiều biến thiên:

  • $a>1$: Hàm số luôn đồng biến

  • $0<a<1$: Hàm số luôn nghịch biến

• Tiệm cận: Trục hoành $Ox$ là đường tiệm cận ngang

• Đồ thị: Đi qua điểm $(0;1), (1;a)$ và nằm phía trên trục hoành.

Để giải theo phương pháp giải phương trình mũ này, ta cần làm theo các bước sau đây:

Hướng 1:

• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x)=k.

• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D. Khẳng định hàm số đơn điệu

• Bước 3. Nhận xét:

+ Với $x=x_0$ ⇔ $f(x)=f(x_0)=k$ do đó $x=x_0$ là nghiệm.

+ Với $x>x_0$ ⇔ $f(x)>f(x_0)=k$ do đó phương trình vô nghiệm.

+ Với $x<x_0$ ⇔ $f(x)<f(x_0)=k$ do đó phương trình vô nghiệm.

• Bước 4. Kết luận vậy $x = x_0$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 2:

• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x) = g(x).

• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) và y = g(x). Khẳng định hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến còn y = g(x) là hàm số nghịch biến hoặc là hàm hằng.

• Bước 3. Xác định x0 sao cho f(x0) = g(x0) .

• Bước 4. Kết luận vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 3:

• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng $f(u)=f(v)$.

• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=f(x)$. Khẳng định hàm số đơn điệu.

• Bước 3. Khi đó $f(u)=f(v)$ ⇔ $u=v$.

Ta xét các ví dụ sau giải pt mũ sử dụng tính đơn điệu:

2.5. Dạng bài tập giải phương trình mũ có chứa tham số

3. Bài tập luyện tập các cách giải phương trình mũ

Để nắm vững 5 cách giải phương trình mũ nêu trên mà không nhầm lẫn hoặc nhận diện dạng toán nhanh, VUIHOC gửi tặng các em bộ tài liệu luyện tập các phương pháp giải phương trình mũ với tuyển tập các bài tập có đáp án chi tiết. Các em nhớ tải về nhé!

>>>Tải xuống file bài tập luyện tập cách giải phương trình mũ có đáp án<<<

Nhằm giúp các em hiểu kỹ hơn về cách áp dụng cách giải phương trình mũ vào các bài tập thực tế, thầy Thành Đức Trung đã có buổi livestream chữa đề ôn giải pt mũ cực hay. Các em cùng theo dõi dưới video dưới đây để học thêm những mẹo giải nhanh từ thầy nhé!

     Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết

Trên đây là tổng hợp lý thuyết và cách giải phương trình mũ. Hy vọng bài viết trên sẽ giúp các kem có những kiến thức cần thiết phục vụ cho quá trình ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán trong thời gian sắp tới.

>>>Bài viết tham khảo thêm:

Cách giải bất phương trình mũ

Cách giải bất phương trình Logarit