Bất phương trình Logarit cơ bản - đầy đủ và dễ hiểu nhất
Bất phương trình Logarit cơ bản là dạng bài tập không thể thiếu trong các đề thi THPT Quốc gia. Tuy nhiên, không phải bạn nào cũng thành thạo dạng toán này, đặc biệt là các công thức bất phương trình logarit.
![Bất phương trình Logarit cơ bản - đầy đủ và dễ hiểu nhất](https://xcdn-cf.vuihoc.vn/upload/5c209fe6176b0/2021/10/14/9c/95/bat-phuong-trinh-logarit-co-ban-1.png)
Tổng quan về Bất phương trình Logarit cơ bản
1. Ôn tập định nghĩa bất phương trình Logarit cơ bản
Nếu phương trình Logarit có dạng $log_a{x}= b (a> 0; a\neq1)$ thì bất phương trình logarit sẽ có dạng $log_a{x}> b, log_a{x}\geqslant b, log_a{x}< b, log_a{x}\leqslant b$
Hướng dẫn một số cách tìm nghiệm cho bất phương trình Logarit cơ bản $log_a{x}> b$
- Xét bất phương trình $log_a{x}> b$
+ Trường hợp a > 1: $log_a{x}> b \Leftrightarrow x> a^{b}$
+ Trường hợp 0< 0<1 : $log_a{x}> b \Leftrightarrow 0< x< a^{b}$
- Vẽ đồ thị minh họa bất phương trình $log_a{x}> b$ với đồ thị hàm số $y = log_a{x}$ và đường thẳng y=b trên cùng một hệ trục tọa độ:
Từ đồ thị ta thấy:
+ Trường hợp a>1: $log_a{x}> b \Leftrightarrow x> a^{b}$
+ Trường hợp 0<a<1: $log_a{x}> b \Leftrightarrow 0< x< a^{b}$
- Kết luận: Nghiệm của bất phương trình được thể hiện như sau:
Trường hợp | Tập nghiệm | |
a>1 | 0<a<1 | |
$log_a{x}> b$ | $(a^{b};+\infty)$ | $[0,a^{b}]$ |
$log_a{x}\geqslant b$ | $[a^{b};+\infty )$ | $(0,a^{b}]$ |
Hướng dẫn một số cách tìm nghiệm cho bất phương trình log_a{x}< b$:
- Xét bất phương trình $log_a{x}< b$
+ Trường hợp $a> 0:log_a{x}< b \Leftrightarrow 0< x< a^{b}$
+ Trường hợp $0< a< 1: log_a{x}> b \Leftrightarrow x> a^{b}$
Vẽ đồ thị minh họa bất phương trình $log_a{x}< b$ với đồ thị hàm số $y= log_a{x}$ và đường thẳng y=b trên cùng một hệ trục tọa độ:
Từ đồ thị ta thấy:
+ Trường hợp a>1: $log_a{x}> b \Leftrightarrow x> a^{b}$
+ Trường hợp 0<a<1: $log_a{x}> b \Leftrightarrow 0< x< a^{b}$
- Kết luận: Nghiệm của bất phương trình được thể hiện như sau:
Trường hợp | Tập nghiệm | |
a>1 | 0<a<1 | |
$log_a{x}< b$ | $(0;a^{b})$ | $(a^{b};+\infty)$ |
$log_a{x}\geqslant b$ | $(0;a^{b}]$ | $[a^{b};+\infty )$ |
2. Các công thức bất phương trình Logarit cơ bản và hướng dẫn cách giải chi tiết
2.1 Dạng bất phương trình $log_{a}f(x)\leqslant log_{a}g(x)$
Phương pháp giải bất phương trình Logarit
Để bất phương trình dạng $log_{a}f(x)\leqslant log_{a}g(x)$ ta thực hiện phép biến đồi sau
Hoặc $log_{a}f(x)\leqslant log_{a}g(x)\left\{\begin{matrix}
a> 0& & \\
0< f(x)< g(x)& &
\end{matrix}\right.$
Hoặc $\left\{\begin{matrix}
0< a< 1& & \\
f(x)> g(x)< 0& &
\end{matrix}\right.$
Ví dụ 1:
Giải bất phương trình $log_{\frac{1}{5}}(3x-5)> log_{\frac{1}{5}}(x+1)$
Điều kiện $(3x-5)> 0, x+1> 0\Rightarrow x> \frac{5}{3}$
Vì bất phương trình có cơ số <1 nên:
$log_{\frac{1}{5}}(3x-5)> log_{\frac{1}{5}}(x+1)\Leftrightarrow 3x-5< x+1\Leftrightarrow 2x< 6\Leftrightarrow x< 3$
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm $(\frac{5}{3};3)$
Ví dụ 2:
Giải bất phương trinh $log_{3}(x^{2}-1)< 1-log_{\frac{1}{3}}(x-1)$
- Cách 1
Điều kiện $x^{2}-1> 0, x-1> 0\Leftrightarrow x> 1$
$log_{3}(x^{2}-1)<1+log_{3}(x-1) \Leftrightarrow log_{3}(x^{2}-1)< log_{3}(x-1))$
$\Leftrightarrow x^{2}-1< 3(x-1)\Leftrightarrow x_{2}-3x+2< 0\Leftrightarrow (x-1)(x-2)< 0\Leftrightarrow 1< x< 2$
Kết hợp với điều kiện bất phương trình có nghiệm (1;2)
- Cách 2
$log_{3}(x^{2}-1)<1+log_{3}(x-1)) \Leftrightarrow log_{3}(x^{2}-1)<1+ log_{3}(x-1)$
$log_{3}(x^{2}-1)<1+log_{3}(x-1)) \Leftrightarrow 0< x^{2}-1< 3(x-1)$
$\left\{\begin{matrix}x^{2}-1>0&&\\x^{2}-3x+2<0&&\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\left | x \right | > 1& & \\ 1< x< 2& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 1< x< 2$
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là (1;2)
2.2 Dạng bất phương trình $log_{a}f(x)< b$
Phương pháp giải bất phương trình Logarit
Để giải bất phương trình dạng $log_{a}f(x)< b$ ta thực hiện phép biến đổi sau
$log_{a}f(x)< b$ khi và chỉ khi hoặc:
+ $\left\{\begin{matrix}a> 1 & & \\ 0< f(x) < a^{b}& & \end{matrix}\right.$
+ $\left\{\begin{matrix}0< a< 1 & & \\ 0< f(x)> g(x) < a& & \end{matrix}\right.$
Ví dụ
Giải phương trình: $log_{\frac{1}{3}}(x^{2}-6x+18)+2log_{3}(x-4)< 0$
Điều kiện $\left\{\begin{matrix}x^{2}-6x+10> 0& & \\ x-4& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x-3)^{2}+ 9> 0& & \\ x> 4& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x> 4$
Ta có:
$log_{\frac{1}{3}}(x^{2}-6x+18)+2log_{3}(x-4)< 0$
$\Leftrightarrow -log_{3}(x^{2}-6x+18)+2log_{3}(x-4)< 0$
$\Leftrightarrow (x-4)^{2}< (x^{2}-6x+18)$
$\Leftrightarrow x^{2}-8x+16< x^{2}-6x+18$
$\Leftrightarrow 2x> -2\Leftrightarrow x> -1$
Kết hợp với điều kiện BPT có tập nghiệm: $x> 4$
2.3 Dạng bất phương trình $log_{a}f(x) > b$
Phương pháp giải:
Để giải bất phương trình dạng $log_{a}f(x)> b$ ta thực hiện các phép đổi sau
$log_{a}f(x)> b$ khi và chỉ khi hoặc:
+ $\left\{\begin{matrix}a> 1 & & \\ f(x)>a^{b} & & \end{matrix}\right.$
+ $\left\{\begin{matrix}0< a< 1& & \\ 0< f(x)< a^{b}& & \end{matrix}\right.$
Ví dụ
Giải phương trình: $log_{8}(4-2x)\geqslant 2$
Điều kiện: $4-2x> 2\Rightarrow x< 2$
Ta có: $log_{8}(4-2x)\geqslant 2\Leftrightarrow log_{8}(4-2x)\geqslant log_{8}8^{2}$
$\Leftrightarrow 4-2x\geqslant 8^{2}\Leftrightarrow 2x\leqslant 60\Leftrightarrow x\leqslant -30$
Kết hợp với điều kiện BPT có tập nghiệm $(-\infty;30]$
Xem thêm: Cách giải bất phương trình Logarit
PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA
Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:
⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+
⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích
⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô
⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi
⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề
⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập
Đăng ký học thử miễn phí ngay!!
3. Bài tập bất phương trình Logarit cơ bản - có đáp án
Các em tải bộ đề tại: Bài tập bất phương trình Logarit cơ bản
Các em cũng có thể xem thêm Livestream về Bất phương trình Logarit của thầy Thành Đức Trung tại:
Trên đây là toàn bộ công thức bất phương trình logarit cơ bản cũng như những dạng bài điển hình mà các em thường gặp nhất trong các đề thi THPTQG. Các em nhớ theo dõi các bài viết trên trang để có thêm nhiều kiến thức mới nhé!
![Banner afterpost tag lớp 12](https://xcdn-cf.vuihoc.vn/upload/5c209fe6176b0/2024/07/30/11eb_banner-2-min.png)