Công thức tính góc trong không gian toán 12

1. Công thức tính góc trong không gian: Góc giữa hai đường thẳng 

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng  $\large \Delta $ và  $\large \Delta' $ tương ứng có vectơ chỉ phương  $\large \overrightarrow{u}=(a;b;c) $ và  $\large \overrightarrow{u'}=(a';b';c') $. Khi đó: 

 $\large cos(\Delta ,\Delta ')=|cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'})|=\frac{|aa'+bb'+cc'|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.\sqrt{a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}}} $

2. Công thức tính góc trong không gian: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng  $\large \Delta $ có vectơ chỉ phương $\large \overrightarrow{u}=(a;b;c) $ và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\large \overrightarrow{n}=(A;B;C) $. Khi đó: 

 $\large sin(\Delta ,(P))=|cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n})=\frac{|aA+bB+cC|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} $

3. Công thức tính góc trong không gian: Góc giữa hai mặt phẳng 

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến $\large \overrightarrow{n}=(A;B;C)$ và $\large \overrightarrow{n'}=(A';B';C')$. Khi đó góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P),(Q)) được tính theo công thức: 

 $\large cos((P),(Q))=cos(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n'})=\frac{|AA'+BB'+CC'|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}.\sqrt{A'^{2}+B'^{2}+C'^{2}}} $

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Quốc gia sớm với khóa học PAS THPT! 

4. Bài tập áp dụng công thức tính góc trong không gian

4.1 Bài 5.20 trang 53 sgk toán 12/2 kết nối tri thức

Đường thẳng ∆₁ có vectơ chỉ phương là:  $\large \overrightarrow{u_{1}}=(2;-1;3)$

Đường thẳng ∆₂ có vectơ chỉ phương là:  $\large \overrightarrow{u_{2}}=(-1;1;2)$

 $\large cos(\Delta _{1},\Delta _{2})=\frac{|2.(-1)+(-1).1+3.2|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+3^{2}}.\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+2^{2}}}=\frac{3}{\sqrt{14}.\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{21}}{14}$

=> (∆₁, ∆₂) ≈ 70,9°.

4.2 Bài 5.21 trang 53 sgk toán 12/2 kết nối tri thức

Trục Oz có vectơ chỉ phương là: $\large \overrightarrow{k}=(0;0;1)$

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là: $\large \overrightarrow{n}=(1;2;-1)$

$\large sin(Oz,(P))=\frac{|0.1+0.2+1.(-1)|}{\sqrt{1}.\sqrt{1+2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$

=>  (Oz, (P)) ≈ 24,1°.

4.3 Bài 5.22 trang 53 sgk toán 12/2 kết nối tri thức

Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là $\large \overrightarrow{u}=(-1;2;3)$

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\large \overrightarrow{n}=(1;1;1)$

$\large sin(\Delta ,(P))=\frac{|-1.1+2.1+3.1|}{\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}+3^{2}}.\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{42}}$

=>  (∆, (P)) ≈ 38,1°.

Đăng ký ngay combo sổ tay kiến thức các môn học để nhận ưu đãi cực hấp dẫn từ vuihoc nhé!

4.4 Bài 5.23 trang 53 sgk toán 12/2 kết nối tri thức

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra O là trung điểm của AC, BD.

Vì các tam giác SAC, SBD đều cân tại S, SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao.

Suy ra SO ⊥ AC, SO ⊥ BD nên SO ⊥ (ABCD).

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.

Vì ABCD là hình vuông cạnh 230 m nên OA = OB = OC = OD = $\large 115\sqrt{2}$.

Xét tam giác SOB vuông tại O, có: $\large SO=\sqrt{SB^{2}-OB^{2}}=\sqrt{219^{2}-(115\sqrt{2})^{2}}=7\sqrt{439}$. 

Ta có: $\large A(-115\sqrt{2};0;0),B(0;-115\sqrt{2};0),C(115\sqrt{2};0;0),S(0;0;7\sqrt{439}) $

Ta có: $\large \overrightarrow{SA}=(-115\sqrt{2};0;-7\sqrt{439}) $, $\large \overrightarrow{SB}=(0;-115\sqrt{2};-7\sqrt{439}) $, $\large \overrightarrow{SC}=(115\sqrt{2};0;-7\sqrt{439}) $

Mặt phẳng (SAB) nhận: $\large \overrightarrow{n}=\frac{1}{5}[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB}]=(-161\sqrt{878};-161\sqrt{878;5290})$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (SBC) nhận: $\large \overrightarrow{n'}=\frac{1}{5}[\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}]=(161\sqrt{878};-161\sqrt{878;5290})$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó: $\large cos((SAB),(SBC))=\frac{|-(161\sqrt{878})^{2}+(161\sqrt{878})^{2}+5290^{2}|}{\sqrt{(-161\sqrt{878})^{2}+(-161\sqrt{878})^{2}+5290^{2}}.\sqrt{(161\sqrt{878})^{2}+(-161\sqrt{878})^{2}+5290^{2}}}$

$\large =\frac{5290^{2}}{(161\sqrt{878})^{2}+(-161\sqrt{878})^{2}+5290^{2}}\approx 0,3807$

=>  ((SAB), (SBC)) ≈ 67,6°.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) khoảng 67,6°.

4.5 Bài 5.24 trang 53 sgk toán 12/2 kết nối tri thức

a) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

40 cm = 0,4 m, 44 cm = 0,44 m, 48 cm = 0,48 m.

Khi đó ta có A(0; 1; 0,4), B(1; 1; 0,44), C(1; 0; 0,48).

Có $\large \overrightarrow{AB}=(1;0;0,04)$

Vì ABCD là hình bình hành nên:

 $\large \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
1-x_{D}=1 \\
-y_{D}=0 \\
 0;48-z_{D}=0,04\\
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x_{D}=0 \\
y_{D}=0 \\
 z_{D}=0,44\\
\end{matrix}\right.$

=>  D(0; 0; 0,44).

Vậy khoảng cách từ điểm D đến đáy bể là 44 cm.

b) Ta có đáy bể nằm trong mặt phẳng Oxy: z = 0 có vectơ pháp tuyến  $\large \overrightarrow{k}=(0;0;1)$. 

Ta có:  $\large \overrightarrow{AB}=(1;0;0,04)$,  $\large \overrightarrow{AC}=(1;-1;0,08)$,  

 $\large [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(0,04;-0,04;-1)$

Mặt phẳng (ABCD) đi qua A(0; 1; 0,4) và có vectơ pháp tuyến:  $\large \overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(0,04;-0,04;-1)$ có phương trình là: 

0,04x – 0,04(y – 1) – (z – 0,4) = 0 ⇔ 0,04x – 0,04y – z + 0,44 = 0.

Do đó góc giữa đáy bể và mặt phẳng nằm ngang chính là góc giữa mặt phẳng (ABCD) và mặt đáy.

 $\large cos((ABCD),(Oxy))=\frac{|-1|}{\sqrt{1}.\sqrt{0,04^{2}+(-0,04)^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{25}{\sqrt{627}}$

=>  ((ABCD), (Oxy)) ≈ 3,2°.

Trên đây là toàn bộ bài học Công thức tính góc trong không gian toán 12. Hi vọng bài viết này sẽ giúp cho các bạn học sinh áp dụng công thức tính góc để tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng trong không gian. Các bạn hãy truy cập nền tảng Vuihoc.vn để ôn tập kiến thức Toán 12 và đăng ký những khóa học bổ ích, hấp dẫn nhất nhé! 

>> Mời bạn tham khảo thêm:

Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm toán 12

Ứng dụng hình học của tích phân trong giải bài tập toán 12