Cực Trị Của Hàm Số Lớp 12: Lý Thuyết, Cách Tìm Và Các Dạng Bài Tập

Tác giả Cô Hiền Trần 10:34 30/09/2024 625,473 Tag Lớp 12

Cực trị của hàm số là phần kiến thức cơ bản quan trọng trong đề thi THPT QG. Để thành thạo kiến thức về cực trị của hàm số, học sinh cần nắm vững không chỉ lý thuyết mà còn cần thành thạo cách giải các dạng đặc trưng. Cùng VUIHOC ôn tập tổng hợp lại lý thuyết và các dạng bài tập cực trị hàm số để các em có thể tham khảo!

Cực Trị Của Hàm Số Lớp 12: Lý Thuyết, Cách Tìm Và Các Dạng Bài Tập

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Cực trị là gì

Có rất nhiều em học sinh vẫn còn chưa nắm được chắc cũng như nắm được một cách khá mơ hồ về khái niệm cực trị là gì?. Hãy hiểu một cách đơn giản giá trị mà khiến hàm số đổi chiều khi biến thiên đó chính là cực trị của hàm số. Xét theo hình học, cực trị của hàm số biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và ngược lại.

Lưu ý: Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu không phải giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Dạng tổng quát, ta có hàm số f xác định trên D (D $\subset$ R) và $x_{0}$ $\in$ D

x₀ là điểm cực đại của hàm số f nếu (a;b) chứa x₀ thỏa mãn điều kiện: $f_{(x)} < f_{(x_{0})}, \forall x \in (a; b) \setminus {0}$ . Khi đó, f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f
x₀ là điểm cực tiểu của hàm số f nếu (a;b) chứa x₀ thỏa mãn điều kiện: $f_{(x)} > f_{(x_{0})}, \forall x \in (a; b) \setminus {0}$ . Khi đó, f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f

Một số lưu ý về cực trị hàm số:

Điểm cực đại (hoặc điểm cực tiểu) x₀ có tên gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) f(x0) của hàm số có tên gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt cực tiểu hay cực đại tại nhiều điểm trên tập hợp K.
Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu) f(x₀) lại không phải là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên tập xác định K; f(x₀) chỉ là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng (a;b) chứa x₀.
Nếu điểm x₀là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm M (x₀; f(x₀)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f đã cho.

2. Lý thuyết tổng quan về cực trị của hàm số lớp 12

2.1. Các định lý liên quan

Đối với kiến thức cực trị của hàm số lớp 12, các định lý về cực trị hàm số thường được áp dụng rất nhiều trong quá trình giải bài tập. Có 3 định lý cơ bản mà học sinh cần nhớ như sau:

Định lý số 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x₀. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x₀ thì đạo hàm của hàm số tại điểm x₀ f’(x₀) = 0.

Lưu ý:

Điều ngược lại của định lý số 1 lại không đúng. Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm x₀ nhưng hàm số f_(x) chưa chắc đã đạt cực trị tại điểm x₀
Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm nhưng tại đó hàm số lại không có đạo hàm

Định lý số 2: Nếu f’_(x) đổi dấu từ âm chuyển sang dương khi x đi qua điểm x₀ (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x₀.

Và ngược lại nếu f’_(x) đổi dấu từ dương chuyển sang âm khi x đi qua điểm x₀ (theo chiều giảm) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x₀.

Định lý số 3: Giả sử hàm số f_(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) có chứa điểm x₀, f’(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.

Trong trường hợp f’’_(x0) < 0 thì hàm số f_(x) đạt cực đại tại điểm x₀.
Nếu f’’_(x0) > 0 thì hàm số f_(x) đạt cực tiểu tại điểm x₀.
Nếu f’’_(x0) = 0 ta chưa thể kết luận và cần phải lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm để xét sự biến thiên của hàm số.

2.2. Số điểm cực trị của hàm số

Tùy vào từng dạng hàm số thì sẽ có những số điểm cực trị khác nhau, ví dụ như không có điểm cực trị nào, có 1 điểm cực trị ở phương trình bậc hai, có 2 điểm cực trị ở phương trình bậc ba,...

Đối với các số điểm cực trị của hàm số, ta cần lưu ý:

Điểm cực đại (cực tiểu) $x_{0}$ chính là điểm cực trị. Giá trị cực đại (cực tiểu) $f (x_{0})$ gọi chung là cực trị. Có thể có cực đại hoặc cực tiểu của hàm số tại nhiều điểm.
Giá trị cực đại (cực tiểu) $f (x_{0})$ không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f mà chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng (a;b) chứa $x_{0}$
Nếu một điểm cực trị của f là $x_{0}$ thì điểm $(x_{0}; f (x_{0}))$ là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn tập đạt 9+ thi THPT Quốc gia sớm ngay từ bây giờ

3. Điều kiện để hàm số có điểm cực trị

- Điều kiện cần: Cho hàm số f đạt cực trị tại điểm $x_{0}$ . Nếu điểm $x_{0}$ là điểm đạo hàm của f thì $f' (x_{0}) = 0$

Lưu ý:

Điểm $x_{0}$ có thể khiến đạo hàm f’ bằng 0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại $x_{0}$ .
Hàm số không có đạo hàm nhưng vẫn có thể đạt cực trị tại một điểm.
Tại điểm đạo hàm của hàm số bằng 0 thì hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại 1 điểm hoặc không có đạo hàm.
Nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại $(x_{0}; f (x_{0}))$ và hàm số đạt cực trị tại $x_{0}$ thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành.

- Điều kiện đủ: Giả sử hàm số có đạo hàm trên các khoảng (a;x₀) và ( $x_{0}$ ;b) và hàm số liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm $x_{0}$ thì khi đó:

Điểm $x_{0}$ là cực tiểu của hàm số f(x) thỏa mãn:

Diễn giải theo bảng biến thiên rằng: Khi x đi qua điểm $x_{0}$ và f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì hàm số đạt cực đại tại $x_{0}$ .

Điểm $x_{0}$ là cực đại của hàm số f(x) khi:

Diễn giải theo bảng biến thiên rằng: Khi x đi qua điểm $x_{0}$ và f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì hàm số đạt cực đại tại điểm $x_{0}$

4. Tìm điểm cực trị của hàm số

Để tiến hành tìm cực trị của hàm số f(x) bất kỳ, ta sử dụng 2 quy tắc tìm cực trị của hàm số để giải bài tập như sau:

3.1. Tìm cực trị của hàm số theo quy tắc 1

Tìm đạo hàm f’(x).
Tại điểm đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm, tìm các điểm $x_{i} (i= 1, 2, 3)$ .
Xét dấu của đạo hàm f’(x). Nếu ta thấy f’(x) thay đổi chiều khi x đi qua $x_{0}$ khi đó ta xác định hàm số có cực trị tại điểm $x_{0}$ .

3.2. Tìm cực trị của hàm số theo quy tắc 2

Tìm đạo hàm f’(x).
Xét phương trình f’(x)=0, tìm các nghiệm $x_{i} (i= 1, 2, 3)$ .
Tính f’’(x) với mỗi $x_{i}$ :
- Nếu $f" (x_{i}< 0)$ thì khi đó xi là điểm tại đó hàm số đạt cực đại.
- Nếu $f" (x_{i}> 0)$ thì khi đó xi là điểm tại đó hàm số đạt cực tiểu.

5. Cách giải các dạng bài tập toán cực trị của hàm số

4.1. Dạng bài tập tìm điểm cực trị của hàm số

Đây là dạng toán rất cơ bản tổng quan về cực trị của hàm số lớp 12. Để giải dạng bài này, các em học sinh áp dụng 2 quy tắc kèm theo quy trình tìm cực trị của hàm số nêu trên.

Cực trị của hàm bậc 2

Hàm số bậc 2 là hàm số có dạng: $y = ax^{2} + bx + c (a\neq 0)$ với miền xác định là D = R. Ta có: y' = 2ax + b

y' đổi dấu tại điểm $x_{0} = \frac{-b}{2a}$
Hàm số đạt cực trị tại điểm $x_{0} = \frac{-b}{2a}$

Cực trị của hàm bậc 3

Hàm số bậc 3 là hàm số có dạng: $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d (a\neq 0)$ xác định trên D = R. Ta có: y' = $y = 3ax^{2} + 2bx +c \rightarrow \Delta ' = b^{2} - 3ac$

$\Delta ' \leq 0$ : y' không đổi dấu $\rightarrow$ hàm số không có cực trị
$\Delta ' \geq 0$ : y' đổi dấu 2 lần $\rightarrow$ hàm số có cực trị (bao gồm 1 cực đại và 1 cực tiểu)

Cách tìm đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm số bậc ba

Ta có thể phân tích : y = f_(x) = (Ax + B)f'_(x) + Cx + D bằng phương pháp chia đa thức f_(x) cho đạo hàm của chính nó là đa thức f'(x).

Giả sử hàm số đạt cực trị tại 2 điểm x₁ và x₂

Ta có: f(x₁) = (Ax₁ + B)f'(x₁) + Cx₁ + D → f(x₁) = Cx₁ + D vì f ‘(x₁) = 0

Tương tự: f(x₂) = Cx₂ + D do f ‘(x₂) = 0

Từ đó, ta kết luận 2 cực trị của hàm số bậc 3 nằm trên đường thẳng dạng f_(x) = Cx + D

Cực trị của hàm số bậc 4

Hàm số trùng phương có dạng $y = ax^{4} + bx^{2} + c (a\neq 0)$ có miền xác định D = R.

Ta có đạo hàm của hàm số $y' = 4ax^{3} + 2bx = 2x(2ax^{2} + b)$

Khi y' = 0 ta có:

x = 0
$2ax^{2} + b = 0 \Leftrightarrow x^{2} = \frac{-b}{2a}$

Khi $\frac{-b}{2a} \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{b}{2a} \geqslant 0$ thì y' chỉ duy nhất 1 lần đổi dấu tại x = x₀ = 0 $\Rightarrow$ Hàm số đạt cực trị tại x = 0

Khi $\frac{-b}{2a} < 0 \Leftrightarrow \frac{b}{2a} > 0$ thì y' đổi dấu 3 lần $\Rightarrow$ Hàm số sẽ có 3 cực trị

Cực trị của hàm lượng giác

Để làm được dạng bài tìm cực trị của hàm số lượng giác, các em học sinh thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số (điều kiện để hàm số có nghĩa)
Bước 2: Tính đạo hàm y’ = f’(x). Sau đó giải phương trình y’=0, giả sử nghiệm của phương trình
Bước 3: Khi đó ta tìm đạo hàm y’’.

Tính y’’(x₀) rồi dựa vào định lý 2 để đưa ra kết luận về cực trị hàm số lượng giác.

Cực trị của hàm Logarit

Các bước giải cực trị của hàm Logarit bao gồm có:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số y', rồi giải phương trình y’=0 (với nghiệm x = x₀)

Bước 3: Tìm đạo hàm cấp 2 y’’.

Tính y’’(x₀) rồi đưa ra kết luận dựa vào định lý 3.

4.2. Bài tập cực trị của hàm số có điều kiện cho trước

Để tiến hành giải bài tập, ta cần thực hiện theo quy trình tìm cực trị tổng quan về cực trị của hàm số có điều kiện sau:

Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số đã cho.
Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số y’=f’(x).
Bước 3: Kiểm lại bằng cách sử dụng một trong hai quy tắc để tìm cực trị , từ đó, xét điều kiện của tham số thỏa mãn yêu cầu mà đề bài ra.

Xét ví dụ minh họa sau đây để hiểu hơn về cách giải bài toán tìm cực trị của hàm số có điều kiện:

Ví dụ: Cho hàm số $y= x^{3} +3mx^{2} + 3 (m^{2 } -1 )x + 2$ . Hãy tìm tất cả các giá trị của m sao cho hàm số đã cho có cực tiểu tại x = 2

Giải:

Xét điều kiện của hàm số: D = R

Ta có: $y' = 3x^{2} + 6mx + 3m^{2} - 3 \Rightarrow y'' = 6x - 6m$

Mà hàm số lại có cực tiểu tại x = 2

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y' = 0\\ y'' > 0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^{2} -12m + 11 = 0\\ 12 - 6m > 0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow m = 1$

4.3. Tìm số cực trị của hàm số bằng phương pháp biện luận m

Đối với bài toán biện luận m, học sinh cần chia ra 2 dạng hàm số để có cách giải tương ứng. Cụ thể như sau:

Xét trường hợp cực trị của hàm số bậc ba có:

Đề bài cho hàm số $y= 3ax^{3} + bx^{2} +cx +d a\neq 0$

$y = 0 \Leftrightarrow 2ax^{2}+ 2bx + c = 0 (1) ; \Delta '_{y} = b^{2} - 3ac$

Phương trình (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì hàm số không có cực trị.
Hàm số bậc 3 không có cực trị khi $b^{2} - 3ac \leq 0$ .
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt suy ra hàm số có 2 cực trị.
Có 2 cực trị khi $b^{2} - 3ac > 0$ .
Xét trường hợp cực trị hàm số bậc bốn trùng phương có:

Ta có đạo hàm $y' = 4ax^{3} + 2 bx \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0; x^{2} = \frac{-b}{2a}$

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là toàn bộ kiến thức về cực trị của hàm số bao gồm lý thuyết và các dạng bài tập thường gặp nhất trong chương trình học toán 12 cũng như các đề luyện thi THPT QG. Truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để ôn tập nhiều hơn về các dạng toán của lớp 12 nhé!

Tham khảo thêm:

⭐ Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết

>> Xem thêm: