Toán 12 Giá Trị Lớn Nhất Nhỏ Nhất Của Hàm Số: Lý Thuyết Và Các Dạng Toán

Tác giả Cô Hiền Trần 11:58 30/09/2024 421,257 Tag Lớp 12

Bài toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số được coi là dạng toán đơn giản trong chương trình THPT. Nhưng các em cũng đừng chủ quan mà bỏ qua lý thuyết và ôn tập thật kĩ. Hãy cùng Vuihoc.vn tìm hiểu về bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cùng các dạng toán để luyện tập nhé!

Toán 12 Giá Trị Lớn Nhất Nhỏ Nhất Của Hàm Số: Lý Thuyết Và Các Dạng Toán

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Định nghĩa giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số - Toán lớp 12

Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn hay khoảng chính là giá trị đó phải đạt được tại ít nhất một điểm trên đoạn (khoảng) đó. Có những hàm số không có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất dù cho có cận trên và cận dưới trên đoạn hay khoảng mà chúng ta đang xét.

Hàm số y = f(x) và xác định trên D:

Nếu f(x) ≤ M x ∈ D và tồn tại x₀ ∈ D sao cho f(x₀) = M thì M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D.

Kí hiệu: Max f(x)= M

Nếu f(x) ≥ M với mọi x ∈ D và tồn tại x₀ ∈ D sao cho f(x₀) = M thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D.

Kí hiệu: Min f(x)=m

Ta có sơ đồ sau:

Toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

2. Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lớp 12

2.1. Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên miền D

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên tập D xác định ta sẽ khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi dựa vào kết quả bảng biến thiên của hàm số để đưa ra kết luận cho giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Ví dụ 1: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số là bao nhiêu?

$y=x^{3}-3x^{2}-9x+5$

Phương pháp giải giá trị lớn nhất nhỏ nhất toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 2: Toán 12 tìm trị nhỏ nhất lớn nhất của hàm số: $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x-1}$

Phương pháp giải:

Phương pháp toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

2.2. Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một đoạn

Theo định lý ta biết rằng mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn. Vậy quy tắc và phương pháp để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x) liên tục trên đoạn a, b là:

Tìm các điểm x_i $\in (a; b) (i - 1, 2, 3,..., n)$ mà tại đó f'(x_i) = 0
Tính f(x), f(b), f(x_i) (i = 1, 2,..., n)
Khi đó ta có:
$\max_{[a; b]} f(x) = max { f(a); f(b); f(x_{i}) }; \min_{[a; b]} f(x) = min { f(a); f(b); f(x_{i}) }$

Ví dụ 1: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: $y=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}=2x+1$ trên đoạn $\left [ -1,0 \right ]$

Giải:

$f'(x) = -x^{2} + 2x -2$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow -x^{2} + 2x -2 =0$

Ta có: $f(-1) = \frac{11}{3}; f(0) = 1$

Vậy: $max \underset{[-1;0]}{f(x)} = \frac{11}{3}; min \underset{[-1;0]}{f(x)} = 1$

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{2x+1}{x-2}$ trên đoạn $\left [ -\frac{1}{2};1\right ]$

Giải:

$f'(x) = -\frac{5}{(x - 2)^{2}} < 0, \forall x\in [-\frac{1}{2}; 1]$

Ta có:

$f(-\frac{1}{2}) = 0; f(1) = -3$

Vậy:

$max \underset{[-\frac{1}{2};1]}{f(x)} = 0; min \underset{[-\frac{1}{2};1]}{f(x)} = -3$

Đăng ký ngay để được thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT sớm ngay từ bây giờ

3. Toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số và phương pháp giải

3.1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f(x) trên một khoảng

Để giải được bài toán này, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Tìm tập xác định
Bước 2. Tính y’ = f’(x); tìm các điểm mà đạo hàm bằng không hoặc không xác định
Bước 3. Lập bảng biến thiên
Bước 4. Kết luận.

Lưu ý: Bạn có thể dùng máy tính cầm tay để giải các bước như sau:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên (a;b) ta sử dụng máy tính Casio với lệnh MODE 7 (MODE 9 lập bảng giá trị).
Quan sát bảng giá trị máy tính hiện, giá trị lớn nhất xuất hiện là max, giá trị nhỏ nhất xuất hiện là min.
Ta lập giá trị của biến x Start a End b Step $\frac{b-a}{19}$ (có thể làm tròn).

Chú ý: Khi đề bài liên có các yếu tố lượng giác sinx, cosx, tanx,… chuyển máy tính về chế độ Rad.

Ví dụ: Cho hàm số y= f(X)= $\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+z}$

Tập xác định D=ℝ

Ta có y= f(X)= $1-\frac{2x}{x^{2}+x+1}$

$\Rightarrow {y}'=\frac{2(x^{2}+x+1)-2x(2x+1)}{(x^{2}+x+1)^{2}}$
$=\frac{2x^{2}-x}{(x^{2}+x+1)^{2}}$

Do đó y'= 0 $\Leftrightarrow 2x^{2}-2=0 \Leftrightarrow x=\pm 1$

Bảng biến thiên

Phương pháp giải toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Qua bảng biến thiên, ta thấy:

$\begin{matrix}maxf(x)\\ \mathbb{R}\end{matrix} = \frac{47}{30}$ tại x=1

3.2. Tìm giá trị nhỏ nhất lớn nhất của hàm số trên một đoạn

toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Bước 1: Tính f’(x)
Bước 2: Tìm những điểm xi ∈ (a;b) mà tại điểm đó f’(xi) = 0 hoặc f’(xi) không xác định
Bước 3: Tính f(a), f(xi), f(b)
Bước 4: Tìm số có giá trị nhỏ nhất m và số có giá trị lớn nhất M trong các số trên.

Khi đó M= max f(x) và m=min f(x) trên $\left [ a,b \right ]$ .

Chú ý:

Toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

– Khi hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [a;b] thì

$\left\{\begin{matrix} maxf(x) =f(b)& \\ minf(x)=f(a)\end{matrix}\right.$

– Khi hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì

$\left\{\begin{matrix} maxf(x) =f(a)& \\ minf(x)=f(b)\end{matrix}\right.$

Ví dụ: Cho hàm số $\frac{x+2}{x-2}$ . Giá trị của $\left ( \begin{matrix}min y\\\left [ 2;3 \right ] \end{matrix} \right )^{2}+\left (\begin{matrix}max y\\\left [ 2;3 \right ]\end{matrix} \right )^{2}$

bằng

Ta có $y'=\frac{-3}{x-1}<0 \forall x\neq 1$ ; do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (-∞; 1); (1; +∞).

⇒ Hàm số trên nghịch biến [2; 3]

Do đó:

$\begin{matrix}min y\\ \left [ 2;3 \right ]\end{matrix}=y(3)=\frac{5}{2}$
$\begin{matrix}max y\\ \left [ 2;3 \right ]\end{matrix}=y(2)=4$

Vậy ta có:

$(\underset{[2; 3]}{min y})^{2} + (\underset{[2; 3]}{max y})^{2} = (\frac{5}{2})^{2} + 4^{2} = \frac{89}{4}$

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

3.3. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Phương pháp:

Điều kiện của các ẩn phụ

– Nếu t= sinx hoặc t= cosx ⇒ -1 ≤ t ≤ 1

– Nếu t= |cosx| hoặc $t=cos^{2}x$ ⇒ 0 ≤ t ≤ 1

– Nếu t=|sinx| hoặc $t=sin^{2}x$ ⇒ 0 ≤ t ≤ 1

Nếu t = sinx ± cosx = $\sqrt{2}sin(x\pm \frac{\pi }{4})\Rightarrow -\sqrt{2}\leqslant t\leqslant \sqrt{2}$

Tìm điều kiện cho ẩn phụ và đặt ẩn phụ
Giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số theo ẩn phụ
Kết luận

Ví dụ: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số y = 2cos²x + 2sinx là bao nhiêu?

Ta có y= f(x) = 2(1 – 2sin²x) + 2sinx = -4sin²x + 2sinx + 2

Đặt t = sin x, t ∈ [-1; 1], ta được y = -4t² + 2t +2

Ta có y’ = 0 ⇔ -8t + 2 = 0 ⇔ $t = \frac{1}{4}$ ∈ (-1; 1)

Vì $\left\{\begin{matrix}y(-1)=-4\\y(1)=0 \\y(\frac{1}{4})=\frac{9}{4}\end{matrix}\right.$ nên M = 94; m = -4

3.4. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất khi cho đồ thị hoặc biến thiên

Ví dụ 1: Hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình:

Phương pháp giải toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên R bằng bao nhiêu biết f(-4) > f(8)?

Giải

Từ bảng biến thiên ta có f(x) $\geq$ f(-4) $\forall m \in (-\infty ; 0]$ và $f(x) \geq 8 \forall m \in (0; +\infty )$

Mặt khác ta có f(-4) > f(8) suy ra với mọi $x \in (-\infty ; +\infty )$ thì $f(x) \geq f(8)$

Vậy $\underset{R}{minf(x)} = f(8)$

Ví dụ 2: Cho đồ thị như hình dưới và hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-1; 3]

Phương pháp giải toán 12 giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Giải

Từ đồ thị suy ra: m = f(2) = -2, M = f(3) = 3;

Vậy M – m = 5

Đăng ký ngay để sở hữu bí kíp nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài trong đề THPT Quốc Gia

Hy vọng bài viết trên sẽ giúp ích cho các bạn học sinh bổ sung thêm kiến thức cũng như các lý thuyết về giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trong trong chương trình toán 12 cũng như trong quá trình ôn thi toán tốt nghiệp THPT. Các bạn có thể truy cập Vuihoc.vn để tham gia những khóa học dành cho học sinh lớp 12 nhé!

Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết

>>> Bài viết tham khảo thêm:

Lý thuyết và bài tập về đường tiệm cận

Cách tìm tập nghiệm của phương trình logarit