Bí kíp giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số

Trước tiên, các em cùng đọc bảng sau đây để có nhận định chung về độ khó và vùng kiến thức cần ôn tập khi giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số nhé!

Dưới đây là link tài liệu lý thuyết về phương trình mũ và hướng dẫn giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số. Các em nhớ lưu về nhé!

Tải xuống file tài liệu lý thuyết về phương trình mũ - giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số

1. Toàn bộ lý thuyết về phương trình mũ

1.1. Định nghĩa và công thức phương trình mũ chung

Hiểu đơn giản, phương trình mũ là dạng phương trình 2 vế trong đó có chứa biểu thức mũ. 

Theo định nghĩa đã được học trong chương trình THPT, ta có định nghĩa và dạng tổng quát chung của toán 12 phương trình mũ như sau:

Phương trình mũ có dạng  $a^x=b$ với $a,b$ cho trước và $0<a\neq 1$

Phương trình mũ có nghiệm khi:

• Với $b>0$: $a^x=b\Rightarrow x=log_ab$

• Với $b\leq 0$: phương trình mũ vô nghiệm

1.2. Các công thức áp dụng trong bài tập giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số

Để giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số, các em cần ghi nhớ các công thức cơ bản của số mũ phục vụ áp dụng trong các bước biến đổi. Công thức mũ cơ bản được tổng hợp trong bảng sau:

Ngoài ra, các tính chất của số mũ cũng là một phần kiến thức cần nhớ để giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số. Tổng hợp tính chất của số mũ được VUIHOC liệt kê theo bảng dưới đây:

1.3. Công thức khảo sát hàm số mũ - áp dụng trong phương pháp giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số

Xét hàm số mũ $y=a^x$, ta có 2 trường hợp phân chia theo hệ số a như sau:

TH1: $a>1$

• Tập xác định: D = ℝ

• Tập giá trị: T = (0; +∞)

• Tính đơn điệu: $y'=ax.lna$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ ⇒ Hàm số đồng biến trên ℝ

• Giới hạn đặc biệt:

⇒ $y=0$ là tiệm cận ngang.

• Bảng biến thiên

• Đồ thị

TH2: $0<a<1$

• Tập xác định: D = ℝ

• Tập giá trị: T = (0; +∞)

• Tính đơn điệu:

$y'=ax.lna$ với mọi $x\in \mathbb{R}$⇒ Hàm số nghịch biến trên ℝ

• Giới hạn đặc biệt

=> $y=0$ là tiệm cận ngang

• Bảng biến thiên

• Đồ thị

Đồ thị hàm số $y=a^x$ luôn đi qua 2 điểm $A(0;1), B(1;a)$ và nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

2. Cách giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số

2.1. Các bước giải

Để sử dụng hàm số, cụ thể là tính đơn điệu của hàm số mũ vào trong cách giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số, ta cần nắm vững cách khảo sát hàm số mũ theo lý thuyết phần 1.3 đã nêu trên.

Có 3 hướng giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số như sau:

Hướng 1:

• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng $f(x)=k$.

• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(x)$ trên $D$. Khẳng định hàm số đơn điệu

• Bước 3. Nhận xét:

+ Với $x=x_0$ ⇔ $f(x)=f(x0)=k$ do đó $x=x_0$ là nghiệm.

+ Với $x>x_0$ ⇔ $f(x)>f(x0)=k$ do đó phương trình vô nghiệm.

+ Với $x<x_0$ ⇔ $f(x)<f(x0)=k$ do đó phương trình vô nghiệm.

• Bước 4. Kết luận vậy $x=x_0$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 2:

• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng $f(x)=g(x)$.

• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$. Khẳng định hàm số $y=f(x)$ là hàm số đồng biến còn $y=g(x)$ là hàm số nghịch biến hoặc là hàm hằng.

• Bước 3. Xác định $x_0$ sao cho $f(x_0)=g(x_0)$ .

• Bước 4. Kết luận vậy $x=x_0$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 3:

• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng $f(u)=f(v)$.

• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=f(x)$. Khẳng định hàm số đơn điệu.

• Bước 3. Khi đó $f(u)=f(v)$ ⇔ $u=v$.

2.2.  Ví dụ minh hoạ bài toán giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số

Các em cùng VUIHOC xét các ví dụ sau để hiểu rõ hơn về cách giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số nhé!

3. Bài tập áp dụng

Để thành thạo các dạng bài tập giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số, các em cần nắm vững lý thuyết và thực hành các bài tập luyện tập hằng ngày. VUIHOC gửi tặng các em file tổng hợp các dạng bài tập giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số chọn lọc theo các đề luyện thi. Link tải ở dưới đây:

Tải xuống file bài tập giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số có giải chi tiết

Dưới đây là ví dụ giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số mà thầy Trung có hướng dẫn chi tiết. Các em cùng xem và học tập thêm những phương pháp giải đặc sắc của thầy nhé!

VUIHOC vừa cùng các em ôn lại lý thuyết và phương pháp giải bài tập giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số. Các em nhớ ôn tập thường xuyên nhé!