Phương pháp giải phương trình mũ khó siêu nhanh

Trước khi vào chi tiết bài viết, các em cùng theo dõi bảng sau để có nhận định chung về độ khó của các bài tập giải phương trình mũ khó cũng như xác định các vùng kiến thức cần ôn tập nhé!

Để tiện hơn trong quá trình ôn tập, thầy cô VUIHOC gửi tặng các em file tổng hợp lý thuyết cần nắm vững để giải phương trình mũ khó tại link dưới đây:

Tải xuống file tổng hợp lý thuyết chung về phương trình mũ - giải phương trình mũ khó

1. Tổng hợp lý thuyết về phương trình mũ - vận dụng giải phương trình mũ khó

1.1. Định nghĩa và công thức phương trình mũ chung

Hiểu đơn giản, phương trình mũ là dạng phương trình 2 vế trong đó có chứa biểu thức mũ. 

Theo định nghĩa đã được học trong chương trình THPT, ta có định nghĩa và dạng tổng quát chung của toán 12 phương trình mũ như sau:

Phương trình mũ có dạng $a^x=b$ với $a,b$ cho trước và $0<a\neq 1$

Phương trình mũ có nghiệm khi:

• Với $b>0$: $a^x=b\Rightarrow x=log_ab$

• Với $b\leq 0$: phương trình mũ vô nghiệm

1.2. Các công thức cơ bản áp dụng giải phương trình mũ khó

Để giải phương trình mũ khó, các em vẫn luôn cần ghi nhớ các công thức cơ bản của số mũ phục vụ áp dụng trong các bước biến đổi. Công thức mũ cơ bản được tổng hợp trong bảng sau:

Ngoài ra, các tính chất của số mũ cũng là một phần kiến thức cần nhớ để giải phương trình mũ khó. Tổng hợp tính chất của số mũ được VUIHOC liệt kê theo bảng dưới đây:

Các em cần lưu ý, các tính chất trên áp dụng khi số mũ đó đã xác định nhé!

2. Một số bài toán giải phương trình mũ khó kèm giải chi tiết

2.1. Tổng hợp các dạng bài tập phương trình mũ cơ bản - nền tảng xây dựng cách giải phương trình mũ khó

Dạng 1: Đưa về cùng cơ số

Ở dạng toán phương trình mũ này, ta cần biến đổi theo công thức sau để đưa về cùng cơ số:

  Với $a>0$ và a ≠ 1 ta có $a^{f(x)}=a^{g(x)}\Rightarrow f(x)=g(x)$.

Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

Đây là một phương pháp thường được sử dụng để giải phương trình mũ khó thường gặp trong các đề thi. Chúng ta thường sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình mũ ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ. Khi sử dụng phương pháp này, ta cần thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Đưa phương trình mũ về dạng ẩn phụ quen thuộc
• Bước 2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ
• Bước 3: Giải phương trình mũ với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện
• Bước 4: Thay giá trị t tìm được vào giải phương trình mũ cơ bản
• Bước 5: Kết luận

Các phép ẩn phụ thường gặp như sau:

Trường hợp 1: Các số hạng trong phương trình mũ có thể biểu diễn qua af(x) nên ta đặt t=af(x)

Lưu ý trong loại này ta còn gặp một số bài mà sau khi đặt ẩn phụ ta thu được 1 phương trình vẫn chứa x. Khi đó, ta gọi đó là các bài toán đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

Trường hợp 2: Phương trình mũ đẳng cấp bậc n đối với anf(x) và  bnf(x)

Với dạng này, ta sẽ chia cả 2 vế của phương trình mũ cho anf(x) hoặc bnf(x) với n là số tự nhiên lớn nhất có trong phương trình mũ. Sau khi chia ta sẽ đưa được phương trình mũ về dạng 1.

Trường hợp 3: Trong phương trình có chứa 2 cơ số nghịch đảo

• Loại 1: $A.a^{f(x)}+B.b^{f(x)}+C=0$ với $a.b=1$

=> Đặt ẩn phụ $t=a^{f(x)}\Rightarrow b^{f(x)}=\frac{1}{t}$

• Loại 2: $A.a^{f(x)}+B.b^{f(x)}+C=0 với a.b=c^2$

=> Chia 2 vế của phương trình mũ cho $c^{f(x)}$ và đưa về dạng 1.

Dạng 3: Phương pháp logarit hóa

Dấu hiệu nhận biết bài toán giải phương trình mũ khó áp dụng phương pháp logarit hóa: Phương trình loại này thường có dạng $a^{f(x)}.b^{g(x)}.c^{h(x)}=d$. (tức là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau). Khi đó, các em có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số a (hoặc b, hoặc c).

Dạng 4: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Để sử dụng tính đơn điệu giải các bài tập phương trình mũ nâng cao, ta cần nắm vững cách khảo sát hàm số mũ như sau:

• Tập xác định của hàm số mũ $y=a^x (0<a\neq 1)$ là $\mathbb{R}$.

• Chiều biến thiên:

  • $a>1$: Hàm số luôn đồng biến

  • $0<a<1$: Hàm số luôn nghịch biến

• Tiệm cận: Trục hoành $Ox$ là đường tiệm cận ngang

• Đồ thị: Đi qua điểm $(0;1), (1;a)$ và nằm phía trên trục hoành.

Để giải theo phương pháp này, ta cần làm theo các bước sau đây:

Hướng 1:

• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x)=k.

• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D. Khẳng định hàm số đơn điệu

• Bước 3. Nhận xét:

+ Với $x=x_0$ ⇔ $f(x)=f(x_0)=k$ do đó $x=x_0$ là nghiệm.

+ Với $x>x_0$ ⇔ $f(x)>f(x_0)=k$ do đó phương trình vô nghiệm.

+ Với $x<x_0$ ⇔ $f(x)<f(x_0)=k$ do đó phương trình vô nghiệm.

• Bước 4. Kết luận vậy $x=x_0$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 2:

• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng $f(x)=g(x)$.

• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$. Khẳng định hàm số $y=f(x)$ là hàm số đồng biến còn $y=g(x)$ là hàm số nghịch biến hoặc là hàm hằng.

• Bước 3. Xác định $x_0$ sao cho $f(x_0)=g(x_0)$ .

• Bước 4. Kết luận vậy $x=x_0$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 3:

• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng $f(u)=f(v)$.

• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=f(x)$. Khẳng định hàm số đơn điệu.

• Bước 3. Khi đó $f(u)=f(v)$ ⇔ $u=v$.

Dạng 5: Phương pháp giải phương trình mũ cơ bản có chứa tham số

Để giải phương trình mũ khó, các em cần cô lập tham số m. Nếu không thể cô lập, ta cần sử dụng các phương pháp như đặt ẩn phụ, dùng bảng biến thiên biện luận hàm số mũ,... để xử lý bài toán phương trình mũ nâng cao này.

2.2. Ví dụ minh hoạ các dạng bài tập phương trình mũ khó

Để rõ hơn về cách phối hợp các phương pháp giải phương trình mũ cơ bản tại phần 2.1 áp dụng nhằm giải phương trình mũ khó, các em cùng đọc những ví dụ sau đây nhé!

3. Bài tập áp dụng

Để nắm chắc trong tay điểm 9 điểm 10 trong các đề thi, các em cần luyện tập nhiều các dạng bài tập vận dụng - vận dụng cao, đặc biệt như các bài toán giải phương trình mũ khó. Thầy cô trường VUIHOC đã soạn riêng cho em bộ tài liệu tổng hợp các bài tập giải phương trình mũ khó có giải chi tiết giúp các em tiện hơn trong ôn tập. Các em tải về dưới link sau đây:

Tải xuống file bài tập giải phương trình mũ khó có đáp án chi tiết

Đặc biệt, trong video này thầy Thành Đức Trung có phần giải phương trình mũ khó (có tính đẳng cấp) dành cho các bạn đặt mục tiêu lấy điểm 8+ trong kỳ thi THPTQG 2022. Các em đừng bỏ qua nhé!

Các em đã cùng VUIHOC ôn tập lý thuyết về phương trình mũ và điểm qua các bài tập giải phương trình mũ khó thường gặp. Chúc các em ôn tập tốt!