Cách Xác Định Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

Tác giả Cô Hiền Trần 11:47 30/09/2024 388,443 Tag Lớp 12

Hướng dẫn cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cùng với các dạng bài tập trắc nghiệm dễ hiểu nhất. Các em tham khảo ngay để không bị mất điểm phần bài tập này nhé!

Cách Xác Định Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

Bài tập tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là một dạng toán quan trọng trọng chương trình lớp 11, tuy nhiên đây là một dạng bài khá thử thách đối với rất nhiều các bạn học sinh. Để nắm vững kiến thức này, các em học sinh hãy cùng VUIHOC ôn lại vững phần lý thuyết và cách giải các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao nhé!

1. Lý thuyết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1.1. Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Nếu đường thẳng $\alpha$ vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng $\alpha$ và mặt phẳng (P) bằng 90^o.
Nếu đường thẳng $\alpha$ không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa $\alpha$ và hình chiếu $\alpha$ ' của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng $\alpha$ và mặt phẳng (P).

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1.2. Ký hiệu góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Nếu $\alpha \perp$ (P) thì $\widehat{\alpha,(P)}=90^{0}$ .

Nếu $\alpha$ không vuông góc với (P) thì $\widehat{\alpha ,\alpha'}$ với $\alpha'$ là hình chiếu của trên (P).

Chú ý: $0^{0} \leq (\widehat{\alpha,(P)})\leq 90^{0}$ .

Nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài toán THPT với bộ bí kíp độc quyền của VUIHOC ngay

2. Hướng dẫn cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

2.1. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng phương pháp vectơ

Gọi vectơ u = (a;b) là vectơ chỉ phương của đường thẳng a.
Gọi = $\widehat{a,(P)}$ , (P) là vectơ pháp tuyến của (P).

=> $sin \alpha = sin (\widehat{\alpha,(P)}) = \frac{|\vec{u}.\vec{n}|}{|\vec{u}|.|\vec{n}|} = \frac{|a.A + b.B|}{\sqrt{a^{2}}+b^{2}\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB

B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB

C. Góc giữa AC và (ABD) là góc CAB

D. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD

Giải:

Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng vectơ

Từ giả thiết ta có:

$AB \perp BC$

$\Rightarrow AB \perp CD \Rightarrow AB \perp (BCD)$

⇒ (AC,(BCD))= ACB

⇒ Chọn đáp án: A

2.2. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng phương pháp hình học

Tìm I = $d\cap (P)$
Tìm A thuộc d kẻ AH vuông góc với (P)
(d, (P)) = $\widehat{AIH}$

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo góc giữa SA và (ABC).

A. 60^o

B. 90^o

C. 45^o

D. 30^o

Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng phương pháp hình học

Lời giải:

Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) nên SH$\perp$ (ABC)

Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp(ABC)

(SA, (ABC)) = (SA, AH) = $\widehat{SAH}$

Ta có: $SH \perp (ABC)$ => $SH \perp AH$

Mà: ⩟ ABC = ⩟ SBC => SH=AH

Vậy tam giác SAH vuông cân tại H => $\widehat{SAH} = 45^{o}$

=> Chọn C

Hãy để hình học không gian không còn là nỗi sợ hãi với giải pháp PAS THPT

3. Bài tập trắc nghiệm minh họa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng từ cơ bản đến nâng cao

Câu 1. Cho hình thoi ABCD có tâm O, AC = 2a; BD = 2AC. Lấy điểm S không thuộc (ABCD) sao cho SO $\perp$ (ABCD). Biết tan (SBO) = ½. Tính số đo của góc giữa SC và (ABCD):

A. 30^o

B. 45^o

C.60^o

D. 90^o

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC):

A. 30^o

B. 45^o

C. 60^o

D. 75^o

Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có SA\perp (ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC. Số đo góc tạo bởi SC và (BHK) là:

A. 45^o

B. 120^o

C. 90^o

D. 65^o

Câu 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp (ABCD). Gọi là góc giữa BD và mp (SAD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. $\alpha =60^{o}$

B. $\alpha =30^{o}$

C. $cos \alpha =\frac{\sqrt{6}}{4}$

D. $sin \alpha =\frac{\sqrt{6}}{4}$

Câu 5. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $SA \perp$ (ABCD), SA = $a\sqrt{6}$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa SC và mp (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. $\alpha = 60^{o}$

B. $\alpha = 30^{o}$

C. $\alpha = 45^{o}$

D. $cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$

Câu 6. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a. Gọi $\alpha$ là góc giữa AC và mp ( A’BCD’). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. $\alpha = 30^{o}$

B. $\alpha = 45^{o}$

C. $tan\alpha=\frac{2}{\sqrt{3}}$

D. $tan\alpha =\sqrt{2}$

Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), góc giữa cạnh SC và mặt phẳng (ABCD) là?

A. $tan\beta =\sqrt{2}$

B. $tan\beta =\sqrt{5}$

C. $tan\beta =3$

D. $tan\alpha =2$

Câu 8. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và đáy ABCD bằng 60^o. Tính độ dài SA?

A. SA = $a\sqrt{5}$

B. SA = $a\sqrt{3}$

C. SA = $a\sqrt{15}$

D. SA = $a\sqrt{13}$

Câu 9. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B biết AB=BC=a, AD=2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính độ dài SA để góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45^o.

A. SA = $a\sqrt{5}$

B. SA = $a\sqrt{3}$

C. SA = $a\sqrt{6}$

D. SA = $a\sqrt{2}$

Câu 10. Cho hình chóp SABC có SA = a, SA vuông góc với đáy, ABC là tam giác vuông cân tại B, góc $\widehat{ACB}=30^{o}$ , AC = 2a. Tính $tan\alpha$ góc giữa SC và mặt phẳng (SAB).

A. $tan\alpha =\frac{\sqrt{5}}{2}$

B. $tan\alpha =\frac{\sqrt{6}}{2}$

C. $tan\alpha =\frac{1}{2}$

D. $tan\alpha =\frac{3}{2}$

Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết

Trên đây là toàn bộ kiến thức cơ bản và tổng hợp đầy đủ về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình học không gian. Hy vọng rằng sau bài viết này, các em học sinh có thể giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao thật thành thục. Để học và ôn tập nhiều hơn những phần kiến thức và công thức toán hình 12 phục vụ ôn thi THPT QG, truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học ngay từ hôm nay nhé!

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!