Tổng ôn toàn bộ hàm số luỹ thừa hàm số mũ và hàm số logarit

Trước khi đi chi tiết vào bài viết hàm số lũy thừa hàm số mũ hàm số lôgarit, các em hãy đọc bảng sau để có cái nhìn tổng quan về hàm số luỹ thừa mũ logarit và nhận định độ khó của các dạng bài này:

Chi tiết hơn về lý thuyết luỹ thừa mũ logarit, các em tải theo link dưới đây:

Tải xuống file lý thuyết hàm số luỹ thừa hàm số mũ hàm số logarit
 

Đặc biệt, trong bài viết hàm số lũy thừa hàm số mũ hàm số lôgarit này, VUIHOC gửi tặng em bộ tài liệu tổng hợp lý thuyết hàm số luỹ thừa mũ logarit phiên bản giới hạn. Ở trong file này, các thầy cô VUIHOC có chọn lọc toàn bộ những kiến thức cần nhớ nhất của phần kiến thức này, đặc biệt có thêm các tips giải nhanh bằng máy tính CASIO rất có ích trong việc ôn tập đề thi đại học. Các em hãy đọc hết bài viết hàm số lũy thừa hàm số mũ hàm số lôgarit để lấy link tài liệu nhé!

 

1. Lý thuyết về luỹ thừa mũ logarit

1.1. Lý thuyết về luỹ thừa

Hiểu đơn giản, lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhân có $n$ thừa số a nhân với nhau.

Tính chất của luỹ thừa:

• Tính chất về đẳng thức: Cho a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ R, ta có:

• Tính chất về bất đẳng thức: 

  • So sánh cùng cơ số: Cho m, n ∈ R. Khi đó:

- Với $a>1$ thì $a^m>a^n\Rightarrow m>n$

- Với $0<a<1$ thì $a^m>a^n\Rightarrow m<n$

• So sánh cùng số mũ:

- Với số mũ dương $n>0$: $a>b>0\Rightarrow an>bn$

- Với số mũ âm $n<0$: $a>b>0\Rightarrow an<bn$

 

1.2. Lý thuyết về logarit

Trong toán học, logarit của một số là lũy thừa mà một giá trị cố định, gọi là cơ số, phải được nâng lên để tạo ra số đó. Có thể hiểu đơn giản, logarit chính là phép toán nghịch đảo của lũy thừa, hiểu 1 cách đơn giản hơn thì hàm logarit chính là đếm số lần lặp đi lặp lại của phép nhân.

Ví dụ, logarit cơ số 10 của 1000 là 3 vì 1000 là 10 lũy thừa 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 103. Tổng quát hơn, nếu $x=b^y$ thì $y$ được gọi là logarit cơ số $b$ của $x$ và được ký hiệu là $log_bx$.

Tóm lại, công thức chung của logarit có dạng như sau: 

Logarit có công thức là $log_ab$ trong đó $b>0$, $0<a\neq 1$

 

Để có nghĩa, logarit $log_ab$ có 2 điều kiện cần ghi nhớ như sau:

• Không có logarit của số âm, nghĩa là $b>0$.

• Cơ số phải dương và khác 1, nghĩa là $0<a\neq 1$

 

VUIHOC tổng hợp cho các em một số công thức loga cơ bản dùng để biến đổi các phép tính logarit. Ngoài ra, các công thức này rất quan trọng vì nó cũng dùng để ứng dụng trong các phép biến đổi hàm log.

• Công thức tích, thương, luỹ thừa và căn $(x,y>0; 0<b\neq 1)$:

• Công thức đổi cơ số:

Logarit $log_bx$ có thể được tính từ logarit cơ số trung gian $k$ của $x$ và $b$ theo công thức:

Logarit cơ số $b$ bất kỳ có thể được xác định bằng cách đưa một trong hai logarit đặc biệt này vào công thức trên:

 

2. Ôn tập lý thuyết hàm số luỹ thừa hàm số mũ và hàm số logarit

2.1. Lý thuyết hàm số luỹ thừa

Công thức hàm số lũy thừa tổng quát có dạng: $y=x$ với α ∈ R.

 

Đối với kiến thức về hàm số mũ và hàm số lũy thừa, các em cần đặc biệt lưu ý về tập xác định, cụ thể như sau:

Tập xác định của hàm số $y=x$ là:

• D = R nếu α là số nguyên dương.

• D = R \ {0} với α nguyên âm hoặc bằng 0

• D = (0; +∝) với α không nguyên.

Ví dụ về dạng của hàm số lũy thừa: $y=(x^2-3x+2)^{100}$

Sau đây là những tính chất của hàm số luỹ thừa khi ta xét hàm số $y=x$ trên khoảng $(0;+\infty )$:

 

Về khảo sát đồ thị hàm số, ta cùng xét hàm số lũy thừa $y=x$ trên khoảng $(0;+\infty )$:

Trên thực tế, mỗi dạng hàm số lũy thừa khác nhau đều có tập xác định khác nhau tùy thuộc vào điều kiện của . Ta xem xét ví dụ sau đây để hiểu cách áp dụng vào một bài toán khảo sát hàm số lũy thừa thực tế:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $x^{-\frac{3}{4}}$

• Tập xác định: $D=(0;+\infty )$

• Sự biến thiên:

Chiều biến thiên: $y'=-\frac{3}{4}x^{-\frac{7}{4}$

Ta có $y'<0$ trên khoảng $(0;+\infty )$ nên hàm số nghịch biến.

Tiệm cận: $\lim_{x\rightarrow 0+}y=+\infty $ $\lim_{x\rightarrow +\infty }y=0$

Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành và có tiệm cận đứng là trục tung.

• Bảng biến thiên: Như ví dụ khảo sát sau

 

2.2. Lý thuyết về hàm số mũ

Theo kiến thức về hàm số mũ và hàm số lũy thừa hàm số lôgarit THPT đã được học, Hàm số $y=f(x)=a^x$ với a là số thực dương khác 1 được gọi là hàm số mũ với cơ số $a$.

Một số ví dụ về hàm số mũ: $y=2^{x^2-x-6}$, $y=10^x$,...

Ta có công thức đạo hàm của hàm số mũ như sau:

Định lý 1: Hàm số $y=e^x$ có đạo hàm tại mọi $x$ và $(e^x)'=e^x$

Định lý 2: Hàm số $y=a^x (a>0,a\neq 1)$ có đạo hàm tại mọi $x$ và $(a^x)'=a^xllna$

 

Lưu ý: Hàm số mũ luôn có hàm ngược là hàm logarit

Về điều kiện của hàm số mũ, ta có:

Với hàm số mũ $y=a^x(a>0,a\neq 1)$ thì không có điều kiện. Nghĩa là tập xác định của nó là $\mathbb{R}$.

Vì vậy khi chúng ta gặp bài toán tìm tập xác định của hàm số $y=a^{u(x)}(a>0,a\neq 1)$ thì ta chỉ viết điều kiện để cho $u(x)$ xác định.

 

Đồ thị:

 

Đồ thị:

Chú ý: Các em lưu ý, trong hàm số mũ và hàm số lũy thừa đồ thị của một số hàm số mũ đặc biệt sẽ có dạng như sau:

Từ định nghĩa, đạo hàm và sau khi khảo sát đồ thị, ta rút ra được tính chất của hàm số mũ như sau:

Xét hàm số $y=a^x$ với $a>0$, $a\neq 1$:

Tham khảo ngay bộ tài liệu tổng ôn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi Toán THPT Quốc gia ngay!

 

 

2.3. Lý thuyết hàm số logarit

Hàm logarit nói theo cách hiểu đơn giản là hàm số có thể biểu diễn được dưới dạng logarit. Theo chương trình Đại số THPT các em đã được học, hàm logarit có định nghĩa bằng công thức như sau:

Cho số thực $a>0$, $a\neq 1$,$x>0$, hàm số $y=log_ax$ được gọi là hàm số logarit cơ số $a$.

 

Xét hàm số $y=log_ax$, ta có 3 điều kiện hàm logarit ở dạng tổng quát như sau:

• $0<a\neq 1$

• Xét trường hợp hàm số $y=log_a[U(x)]$ điều kiện $U(x)>0$. Nếu $a$ chứa biến $x$ thì ta bổ sung điều kiện $0<a\neq 1$

 

• Xét trường hợp đặc biệt: $y=log_a[U(x)]^n$ điều kiện $U(x)>0$ nếu n lẻ; $U(x)\neq 0$ nếu $n$ chẵn. 

 

Tổng quát lại:

thì điều kiện xác định là $u(x)>0$ và $u(x)$ xác định.

 

Đồ thị hàm logarit $y=log_ax$ được biểu diễn như sau:

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục $Oy$ và luôn đi qua các điểm $(1;0)$ và nằm phía bên phải trục tung.

Đồ thị nhận trục tung là tiệm cận đứng.

Ta rút ra được nhận xét sau: Đồ thị hàm số $y=a^x$ và $y=log_ax$, $(0<a\neq 1,x>0)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$ (góc phần tư thứ nhất và thứ 3 trong hệ trục toạ độ $Oxy$).

 

3. Các dạng bài tập hàm số lũy thừa hàm số mũ và hàm số logarit

3.1. Dạng bài tập hàm số lũy thừa kèm ví dụ minh hoạ

Dạng 1: Áp dụng lý thuyết hàm số lũy thừa tìm tập xác định

Các bước thực hiện giải bài toán dạng hàm số mũ và hàm số lũy thừa như sau:

Bước 1: Xác định số mũ của hàm số lũy thừa

Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số xác định

• $\alpha$ nguyên dương: $D=\mathbb{R}$

• $\alpha$ nguyên âm hoặc $\alpha=0$: D=R\{0}

• $\alpha$ không nguyên: $D=(0;+\infty )$

Bước 3: Giải các bất phương trình để tìm tập xác định của hàm số lũy thừa

 

Chúng ta cùng Vuihoc giải ví dụ minh hoạ sau đây để hiểu hơn về dạng bài tập này:

Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số: $y=(\frac{2x+1}{2x^2-x-6})^2$

A. D=\mathbb{R}

B. $D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -\frac{3}{2};2 \right \}$

C. $D=(-\frac{3}{2};2)$

D. $D=(-\infty ;-\frac{3}{2})(2;+\infty )$

Giải:

Điều kiện xác định của hàm số: $2x^2-x-6\neq 0\Rightarrow x\neq 2$; $x\neq -\frac{3}{2}$$\Rightarrow $ $D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -\frac{3}{2};2 \right \}$

 

Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa

Trong dạng bài tập về hàm số lũy thừa này, các em áp dụng các kiến thức cơ bản về đạo hàm để giải. Các bước để tiến hành giải gồm 3 bước sau:

• Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.

• Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…

• Bước 3: Tính toán và kết luận.

 

Các em cùng xét bài toán ví dụ sau đây:

Câu hỏi 3 bài 2 trang 29 SGK giải tích lớp 12: Tính đạo hàm của hàm số $y=(3x^2-1)^{\sqrt{2}}$

Giải: Sử dụng công thức đạo hàm $(u)'=u^{-1}.u'$

Dạng 3: Khảo sát đồ thị hàm số lũy thừa

Đây là dạng bài khái quát nhất về lý thuyết hàm số lũy thừa. Để vẽ được đồ thị, các em học sinh cần hoàn thiện các bước từ tìm tập xác định, xét bảng biến thiên rồi mới tới vẽ đồ thị. 

Cách làm tổng quát của bài tập khảo sát đồ thị hàm số lũy thừa:

Ta cùng xét hàm số lũy thừa $y=x$ trên khoảng $(0;+\infty)$:

Trên thực tế, mỗi dạng hàm số lũy thừa khác nhau đều có tập xác định khác nhau tùy thuộc vào điều kiện của . Cùng Vuihoc xét ví dụ minh hoạ sau đây để rõ hơn về các bước xử lý dạng bài tập này:

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=x^{-\frac{3}{4}}$

• Tập xác định: $D=(0;+\infty )$

• Sự biến thiên:

Chiều biến thiên: $y'=-\frac{3}{4}x^{-(\frac{7}{4})}$

Ta có $y’<0$ trên khoảng $(0;+\infty )$ nên hàm số nghịch biến.

Tiệm cận: $\lim_{x\rightarrow 0+}y=+\infty $, $\lim_{x\rightarrow +\infty }y=0$

Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành và có tiệm cận đứng là trục tung.

• Bảng biến thiên: Xét bảng biến thiên trong khảo sát sau

Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi THPT đạt 9+ sớm ngay từ bây giờ

 

3.2. Tổng hợp dạng bài tập hàm số mũ kèm ví dụ minh hoạ

Dạng 1: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại

Đây là dạng cơ bản và rất dễ xuất hiện trong các câu trắc nghiệm đề thi đại học. Để làm được các bài toán tìm hàm số mũ có đồ thị cho trước, ta thực hiện theo 2 bước sau:

- Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.

- Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận

 

Các em cùng xét ví dụ sau đây:

Giải:

• Đồ thị hàm số nghịch biến $(0<a<1)$, suy ra loại C,D

• Đồ thị hàm số đi qua điểm $(-1;3)$, suy ra loại B

• Chọn đáp án A

 

Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị

- Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số.

+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn 1

+ Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1

- Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số.

- Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm.

Đối với một số bài toán phức tạp hơn thì ta cần chú ý thêm đến một số yếu tố khác như điểm đi qua, tính đối xứng,…

Ví dụ: Hình bên là đồ thị của ba hàm số $y=a^x$, $y=b^x$, $y=c^x$ được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Dạng 3: Tính đạo hàm các hàm số

Đối với dạng bài tính đạo hàm của các hàm số mũ, ta cần nắm vững các công thức đạo hàm của tổng hiệu tích thương để áp dụng giải bài toán. Cụ thể, các em thực hiện theo các bước sau:

- Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.

- Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…

- Bước 3: Tính toán và kết luận.

 

Chúng ta cùng xét ví dụ đạo hàm hàm số mũ sau:

Dạng 4: Tính giới hạn các hàm số

Ở dạng này, các em áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:

Ví dụ minh hoạ sau sẽ giúp em hiểu cách biến đổi khi giải bài toán giới hạn của hàm số mũ:

Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ trên một đoạn.

Đây là dạng toán thường xuất hiện trong các câu hỏi phương trình hàm số mũ, bất phương trình hàm số mũ vận dụng - vận dụng cao của các đề thi. Để làm được các bài tập dạng này, các em cần thực hiện lần lượt theo 3 bước sau đây:

- Bước 1: tính $y’$, tìm các nghiệm $x_1$, $x_2$,... ,$x_n$ thuộc $[a;b]$ của phương trình $y’=0$

- Bước 2: Tính $f(a)$, $f(b)$, $f(x_1)$,... ,$f(x_n)$

- Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính được ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số

• GTNN m là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được

• GTLN M là số lớn nhất trong các giá trị tính được

Các em cùng xét ví dụ minh hoạ về bài tập hàm số mũ sau:

 

3.3. Dạng bài tập hàm số logarit kèm bài tập minh hoạ

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số logarit

Đây là dạng rất cơ bản trong bài tập hàm số logarit. Khi tiến hành giải, các em dựa vào 2 quy tắc sau:

+ Hàm số $y=a^x$ cần điều kiện là a là số thực dương và a khác 1.

+ Hàm số $y=log_ax$ cần điều kiện:

• Số thực $a$ dương và khác 1.

• $x>0$

Ví dụ minh hoạ:

 

Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số logarit

Ở dạng này, chúng ta vận dụng những công thức đạo hàm, đạo hàm logarit để tiến hành biến đổi. Chúng ta cùng xét ví dụ minh hoạ về 1 cách biến đổi tìm đạo hàm logarit sau:

 

Dạng 3: Ứng dụng đạo hàm vào khảo sát đồ thị hàm logarit

Đây là bước nâng cao hơn của các bài tập dạng 2, nghĩa là sau khi tìm đạo hàm bài toán sẽ yêu cầu thêm các em một bước nữa đó là khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho. Ở đây, chúng ta áp dụng những kiến thức về cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất… để giải bài toán. 

Để rõ hơn, ta cùng xét ví dụ minh hoạ sau đây:

 

Dạng 4: Cực trị hàm số logarit và min - max nhiều biến

Đây là dạng toán ở mức độ vận dụng - vận dụng cao. Để giải được các bài tập dạng này, các em cần vận dụng tốt các công thức biến đổi và nắm chắc các tính chất của hàm số logarit. 

Cùng VUIHOC xét 2 ví dụ sau đây để hiểu cách làm dạng toán cực trị và min max này nhé!

 

 

4. Bài tập áp dụng kiến thức hàm số luỹ thừa hàm số mũ và hàm số logarit

Để áp dụng thành thạo những kiến thức đã học ở trên, các em nhớ tải file tài liệu tổng hợp bài tập hàm số luỹ thừa hàm số mũ và hàm số logarit tại link dưới đây:

Tải xuống bài tập hàm số luỹ thừa hàm số mũ và hàm số logarit có lời giải

Tải xuống tài liệu đặc biệt về hàm số luỹ thừa mũ logarit của trường VUIHOC

Bài viết đã tổng hợp cho các em tất cả các kiến thức và bài tập về hàm số luỹ thừa hàm số mũ và hàm số logarit. Chúc các em ôn tập thật tốt nhé!

 

     Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết