Bỏ túi bí kíp khảo sát hàm số luỹ thừa siêu nhanh

Trước khi vào chi tiết lý thuyết khảo sát hàm số luỹ thừa trong chương trình Toán 12, chúng ta cùng tổng hợp lại tất cả những lý thuyết chung của hàm số luỹ thừa và dạng bài khảo sát hàm số luỹ thừa tại bảng dưới đây nhé!

Chi tiết hơn, các thầy cô VUIHOC đã tổng hợp toàn bộ lý thuyết về hàm số luỹ thừa và khảo sát hàm số luỹ thừa tại file dưới đây để các em tiện ôn tập. Nhớ tải về và lưu lại nhé!

>>> Tải xuống file lý thuyết hàm số luỹ thừa và khảo sát hàm số luỹ thừa <<<

1. Tổng ôn về lý thuyết hàm số lũy thừa

Để có bước khảo sát hàm số luỹ thừa tốt và chính xác, các em cần nắm vững lý thuyết cơ bản về hàm số luỹ thừa. Khi vững được kiến thức cơ bản, các em sẽ hạn chế được rất nhiều những lỗi sai không đáng có trong lúc giải bài toán.

1.1. Khái niệm

Như các em đã biết, hàm số y trong các bài toán khảo sát hàm số luỹ thừa thường có dạng ví dụ như ; ; ;... Tổng quát lên, hàm số luỹ thừa có dạng như sau:

Hàm số lũy thừa có công thức tổng quát: (trong đó  là hằng số, )

Ta có, tập xác định của hàm số là:

•  nếu  nguyên dương

• nếu  nguyên âm hoặc  = 0

• nếu  không nguyên

Lưu ý trường hợp đặc biệt:

Ta có đẳng thức:  chỉ xảy ra trong trường hợp $x > 0$. Do đó hàm số  không đồng nhất với hàm số . Ta có thể hiểu đơn giản là, ta có đẳng thức  nhưng hàm số  có tập xác định  còn hàm số   có 

1.2. Đạo hàm hàm số luỹ thừa

Khi thực hiện khảo sát hàm số luỹ thừa, chúng ta không thể thiếu bước đạo hàm để xét biến thiên. Trong chương trình lớp 11, các em đã được học đạo hàm của hàm số $y=x^{n} (n\in \mathbb{N}, n\geq 1)$ và $y=\sqrt{x}$ là:

$(x^{n})'=n.x^{n-1} (x\in \mathbb{R}$

$(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ hay $(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} (x>0)$

Do vậy, người ta chứng minh được hàm số luỹ thừa $y=x^{\alpha }$ với $x>0$ và $(x)'=x-1$

Các dạng đạo hàm hàm luỹ thừa:

Dạng 1: Đối với hàm luỹ thừa có số mũ tổng quát

Hàm số $y=x^{\alpha }$ có đạo hàm tại mọi $x\in (0;+\infty )$ và $y'=(x^{\alpha })'=\alpha .x^{\alpha -1}$

Nếu hàm số $u=u(x)$ nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng $J$ thì hàm số $y=u^{\alpha }(x)$ cũng có đạo hàm trên $J$ và

Dạng 2: Hàm số luỹ thừa có số mũ nguyên dương

Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số luỹ thừa $y=x^{n}$ có tập xác định là  và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm hàm số luỹ thừa tổng quát được mở rộng thành $x\in \mathbb{R}$, $(x^{n})'=n.x^{n-1}$ và:

Dạng 3: Hàm luỹ thừa có số mũ nguyên âm

Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số luỹ thừa $y=x^{n}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ và có đạo hàm tại mọi $x$ khác 0, công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành $x\neq 0$, $(x^{n})'=n.x^{n-1}$

$\forall x\in J,[u^{n}(x)]'=nu^{n-1}(x)u'(x)$

nếu $u=u(x)\neq 0$ có đạo hàm trong khoảng $J$

Dạng 4: Đạo hàm của căn thức

Hàm số $y=\sqrt[n]{x}$ có thể xem là mở rộng của hàm số luỹ thừa $y=x^{\frac{1}{n}}$ (tập xác định của $y=\sqrt[n]{x}$ chứa tập xác định của $y=x^{\frac{1}{n}}$ và trên tập xác định của $y=x^{\frac{1}{n}}$ thì hai hàm số sẽ trùng nhau).

• Khi $n$ lẻ thì hàm số $y=x^{\frac{1}{n}}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$. Trên khoảng $(0;+\infty )$ ta có $y=\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$ và $(x^{\frac{1}{n}})'=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$, do đó $(\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$

=> Công thức này còn đúng với cả $x<0$ và hàm số $y=x^{\frac{1}{n}}$ không có đạo hàm tại $x=0$

• Khi n chẵn hàm $y=x^{\frac{1}{n}}$ có tập xác định là $[0;+\infty )$, không có đạo hàm tại $x=0$ và có đạo hàm tại mọi $x>0$ tính theo công thức:

$(\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$

Tóm lại, ta có $(\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$ đúng với mọi $x$ làm cho hai vế có nghĩa.

Nắm trọn phương pháp giải mọi dạng bài Toán 12 ngay với bộ bí kíp tổng ôn kiến thức cực hay của VUIHOC

1.3. Tính chất ứng dụng trong khảo sát hàm số luỹ thừa

Sau đây là những tính chất của hàm số luỹ thừa khi ta xét hàm số trên khoảng . Các em lưu ý, những tính chất này suy ra từ định nghĩa và đồ thị hàm số luỹ thừa, vì thế đây cũng được coi là các tính chất rút ra từ khảo sát hàm số luỹ thừa:

2. Phương pháp khảo sát hàm số luỹ thừa

2.1. Các bước khảo sát hàm số luỹ thừa

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số luỹ thừa

Xét hàm số  

Tập xác định của hàm số là khoảng với mọi

Bước 2: Tính đạo hàm rồi suy ra chiều biến thiên, tiệm cận của hàm số luỹ thừa

Về tổng quát ta khảo sát hàm số luỹ thừa trên khoảng , ta được bảng tóm tắt sau:

Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số lũy thừa

3. Bài tập áp dụng

Để thực hành tốt các bài tập khảo sát hàm số luỹ thừa, thầy cô VUIHOC đã soạn riêng cho em một bộ tài liệu bài tập khảo sát hàm số luỹ thừa cực đầy đủ và chi tiết, với các dạng bài rất sát với các đề thi. Các em hãy tải về và luyện tập nhé!

>>>Tải xuống file bài tập khảo sát hàm số luỹ thừa kèm giải chi tiết<<<

Các em vừa ôn tập lại toàn bộ lý thuyết và phương pháp giải dạng bài tập khảo sát hàm số luỹ thừa. Hy vọng rằng sau bài viết này các em hoàn toàn dễ dàng xử lý các bài tập liên quan trong quá trình học nói chung cũng như ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán nói riêng. Chúc các em đạt được kết quả tốt trong những kỳ thi sắp tới.

>>> Bài viết tham khảo thêm:

Tổng hợp bộ công thức luỹ thừa

Tập xác định của hàm số lũy thừa