Lũy Thừa Của Lũy Thừa Là Gì? Định Nghĩa Và Công Thức Chuẩn

Tác giả Minh Châu 14:29 08/10/2024 199,864 Tag Lớp 12

Luỹ thừa của luỹ thừa là một dạng đặc biệt trong phần kiến thức luỹ thừa lớp 12. Có công thức phức tạp hơn, cách biến đổi cần nhiều bước và sáng tạo hơn luỹ thừa dạng cơ bản, tuy nhiên nếu nắm được phương pháp giải thì các bài toán dạng này không hề khó giải.

Lũy Thừa Của Lũy Thừa Là Gì? Định Nghĩa Và Công Thức Chuẩn

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

Đầu tiên, các em cùng VUIHOC nhận định mức độ khó của các bài toán luỹ thừa của luỹ thừa tại bảng sau đây:

Tổng quan về luỹ thừa của luỹ thừa

Để dễ dàng hơn trong việc theo dõi bài viết cũng như ôn tập sau này, các em tải file tổng hợp lý thuyết luỹ thừa - luỹ thừa của luỹ thừa theo link dưới đây nhé!

>>>Tải xuống file lý thuyết luỹ thừa của luỹ thừa đầy đủ và chi tiết<<<

1. Ôn lại lý thuyết về luỹ thừa

1.1. Định nghĩa lũy thừa là gì?

Về định nghĩa luỹ thừa, các em có thể hiểu đơn giản rằng, lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhân có $n$ thừa số $a$ nhân với nhau. Lũy thừa có thể hiểu là tích số của một số với chính nó nhiều lần.

Luỹ thừa ký hiệu là $a^b$, đọc là lũy thừa bậc $b$ của $a$ hay $a$ mũ $b$, số $a$ gọi là cơ số, số $b$ gọi là số mũ.

Ngoài ra, ta cần biết rằng, phép toán ngược với phép tính lũy thừa là phép khai căn.

1.2. Phân loại luỹ thừa

Như chương trình Toán 12 THPT đã được học về luỹ thừa nói chung và luỹ thừa của một luỹ thừa nói riêng, các em có thể biết được luỹ thừa được phân chia ra làm 3 dạng: luỹ thừa với số mũ nguyên, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và luỹ thừa với số mũ thực. Mỗi dạng sẽ có công thức tổng quát hoặc tính chất riêng biệt mà các em cần lưu ý phân biệt để không nhầm lẫn trong quá trình giải bài tập.

Dạng 1: Luỹ thừa với số mũ nguyên

Cho $n$ là một số nguyên dương. Với $a$ là một số thực tuỳ ý, luỹ thừa bậc $n$ của $a$ là tích của n thừa số $a$. Định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên cũng giống định nghĩa chung về luỹ thừa. Ta có công thức tổng quát như sau:

$a^n=a.a.a.a...a$ (n thừa số a)

Với a⁰ thì a⁰=1, a^-n= $\frac{1}{a^n}$

Lưu ý:

0ⁿ và 0^-n không có nghĩa
Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của luỹ thừa với số mũ nguyên dương.

Dạng 2: Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực a dương và số hữu tỉ $r=m^n$ , trong đó $m\in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{N}, n\geq 2$

Luỹ thừa của số a với số mũ r là số a^r xác định bởi: $a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

Đặc biệt: Khi $m=1: a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

Ví dụ:

Ví dụ về luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

Dạng 3: Luỹ thừa với số mũ thực

Cho $a>0,a\in \mathbb{R}$ , là một số vô tỉ, khi đó $a^\alpha =\lim_{n\rightarrow +\infty }a(r^n)$ với $r^n$ là dãy số hữu tỉ thoả mãn $\lim_{n\rightarrow +\infty }r^n=\alpha$

Tính chất của luỹ thừa với số mũ thực:

Cho a, b > 0; x, y $\in \mathbb{R}$ từ đó ta có:

1. a^x.a^y = a^{x + y}

2. a^x : a^y = a^{x - y}

3. (a^x)^y = a^xy

4. (ab)^x = a^xb^x

5. $(\frac{a}{b})^{x} = \frac{a^{x}}{b^{x}}$

6. a^x > 0, $\forall x \in \mathbb{R}$

7. a^x = a^y $\Leftrightarrow$ x = y ( $a \neq 1$ )

8. Với $a > 1$ thì a^x > a^y $\Leftrightarrow$ x > y với 0 < a < 1 thì a^x > a^y $\Leftrightarrow$ x < y

9. Với 0 < a < b và m là số nguyên dương thì a^m < b^m, nếu số m nguyên âm thì a^m > b^m

Đăng ký ngay để nhận bí kíp nắm trọn kiến thức Toán 12 thi tốt nghiệp THPT

1.3. Tính chất và công thức luỹ thừa cơ bản

Các tính chất của luỹ thừa góp phần không nhỏ trong việc hình thành cách so sánh luỹ thừa trong các bài tập cụ thể. Chúng ta cùng xét các tính chất lũy thừa áp dụng để biến đổi và so sánh luỹ thừa sau:

Tính chất về đẳng thức: Cho a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ R, ta có:

+) a^m.aⁿ = a^{m + n}

+) $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$

+) (a^m)ⁿ = a^m.n

+) (a.b)^m = a^m. b^m

+) $(\frac{a}{b})^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}$

Tính chất về bất đẳng thức:

So sánh cùng cơ số: Cho m, n ∈ R. Khi đó:
- Với a > 1 thì $a^m>a^n\Rightarrow m>n$
- Với 0 < a < 1 thì $a^m>a^n\Rightarrow m<n$
So sánh cùng số mũ:
- Với số mũ dương n > 0: a > b > 0 $\Rightarrow a^n>b^n$
- Với số mũ âm $n < 0: a > b > 0 \Rightarrow a^n < b^n$

Dưới đây là bảng công thức luỹ thừa cơ bản giúp các em biến đổi các phép tính luỹ thừa của luỹ thừa:

aⁿ = a.a.a.....a (n thừa số a)	$(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$
a⁰ = 1 $\forall a \neq 0$	$(a^{m})^{n} = (a^{n})^{m} = a^{m.n}$
$a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$	$\sqrt[n]{a^{m}} = (\sqrt[n]{a})^{m} = a^{\frac{m}{n}}$
$a^{m}.a^{n} = a^{m + n}$	$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$
$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$	$a^{\frac{-m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}$
$(ab)^{n} = a^{n}.b^{n}$	$\sqrt[n]{a^{n}} = \left\{\begin{matrix} a, n = ak + 1\\ \|a\|, n = 2k \end{matrix}\right.$

Ngoài ra còn có một số công thức khác trong các trường hợp đặc biệt, cụ thể như sau:

Luỹ thừa của số e:

Số $e$ là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số $e$ được định nghĩa qua giới hạn sau:

Hàm $e$ mũ, được định nghĩa bởi $e=\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{n})^n$ ở đây x được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa $e^{x+y}=e^x.e^y$

Hàm $e$ mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của $x$.

Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm e mũ với x là số nguyên dương k chính là e^k như sau:

$e^{k} = (\lim_{n\rightarrow \infty }(1 + \frac{1}{n})^{n})^{k} = \lim_{n\rightarrow \infty} ((1 + \frac{1}{n})^{n})^{k}$

$= \lim_{n\rightarrow \infty } (1 + \frac{k}{n.k})^{n.k} = \lim_{n.k \rightarrow \infty } (1 + \frac{k}{n.k})^{n.k} = \lim_{m\rightarrow \infty }(1 + \frac{k}{m})^{m} = e^{k}$

Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng $e^{x+y}$ thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi x và y là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.

Hàm luỹ thừa với số mũ thực:

Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của các số hữu tỷ.

Logarit tự nhiên ln(x) là hàm ngược của hàm e^x. Theo đó lnx là số b sao cho $x = e^b$

Nếu a là số thực dương, x là số thực bất kỳ ta có $a=elna$ nên nếu ax được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có:

$a^x=(e^{lna})^x=e^{x.lna}$

Điều này dẫn tới định nghĩa $a^x=e^{x.lna}$ với mọi số thực x và số thực dương a

2. Luỹ thừa của luỹ thừa

2.1. Luỹ thừa của một luỹ thừa là gì?

Để hiểu được luỹ thừa của luỹ thừa là gì,đơn giản nhất ta có thể suy ra từ định nghĩa của luỹ thừa như sau:

Luỹ thừa của luỹ thừa là biểu thức luỹ thừa trong đó phần cơ số là một biểu thức luỹ thừa khác. Luỹ thừa của luỹ thừa có ký hiệu là $(a^n)^m$

2.2. Công thức luỹ thừa của luỹ thừa

Theo định nghĩa trên, công thức luỹ thừa của luỹ thừa có dạng như sau:

$(a^m)^n=a^{m.n}$

2.3. Ứng dụng công thức luỹ thừa của luỹ thừa trong các bài toán luỹ thừa

VD1:

Ví dụ bài toán luỹ thừa của luỹ thừa

Lời giải

Chọn A

Ta có

Ví dụ bài toán luỹ thừa của luỹ thừa

VD2.

Ví dụ bài toán luỹ thừa của luỹ thừa

Lời giải

Ví dụ bài toán luỹ thừa của luỹ thừa

3. Bài tập luỹ thừa của luỹ thừa

Để thành thạo các bài tập luỹ thừa của luỹ thừa, VUIHOC gửi tặng các em bộ tài liệu tổng hợp các dạng bài áp dụng công thức biến đổi luỹ thừa của một luỹ thừa thường gặp nhất. Các em tải theo link dưới đây nhé!

>>>Tải xuống file bài tập luỹ thừa của luỹ thừa có giải chi tiết<<<

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là toàn bộ kiến thức cần ghi nhớ về luỹ thừa của luỹ thừa. Thông qua bài viết trên VUIHOC mong rằng sẽ giúp các em có thể nắm chắc kiến thức về chuyên đề này trong quá trình ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán.

Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết

>>> Bài đọc thêm:

Công thức về lũy thừa