5 phút hiểu tường tận về luỹ thừa hàm số luỹ thừa

Tác giả Minh Châu 10:15 04/12/2023 14,052 Tag Lớp 12

Ai học cấp ba mà không “va” phải các bài tập luỹ thừa hàm số luỹ thừa. Đây là mảng kiến thức không thể thiếu trong chương trình học cũng như đề thi đại học. Trước khi giải được mọi bài tập về hàm số luỹ thừa, ta cần trả lời được câu hỏi hàm số luỹ thừa là gì.

5 phút hiểu tường tận về luỹ thừa hàm số luỹ thừa

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

Trước khi tìm hiểu lý thuyết về luỹ thừa hàm số luỹ thừa, các em cần có cái nhìn tổng quan về luỹ thừa trước tiên.

tổng quan về luỹ thừa hàm số luỹ thừa

Chi tiết hơn, VUIHOC đã tổng hợp toàn bộ lý thuyết về luỹ thừa hàm số luỹ thừa trong file dưới đây để các em tiện cho ôn tập. Nhớ tải về và đọc thật kỹ nhé!

Tải xuống file tổng hợp lý thuyết về luỹ thừa hàm số luỹ thừa

1. Ôn tập lý thuyết tổng quan về luỹ thừa

1.1. Định nghĩa về luỹ thừa

Trước khi trả lời được câu hỏi hàm số luỹ thừa là gì, học sinh cần nắm vững phần kiến thức về luỹ thừa.

Các em có thể hiểu đơn giản rằng, luỹ thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán luỹ thừa là tích số của phép nhân có n thừa số a nhân với nhau.

1.2. Tính chất

Các tính chất của luỹ thừa có liên quan rất nhiều đến lý thuyết hàm số luỹ thừa. Chúng ta cùng xét các tính chất luỹ thừa sau:

Tính chất về đẳng thức: Cho a ≠ 0; b ≠ 0; m,n ∈ $\large \mathbb{R}$ , ta có:

Tính chất về bất đẳng thức:

So sánh cùng cơ số: Cho m,n ∈ $\large \mathbb{R}$ . Khi đó:
- Với $a>1$ thì $\large a^m>a^n\Rightarrow m>n$
- Với $0<a<1$ thì $\large a^m>a^n\Rightarrow m<n$
So sánh cùng số mũ:
- Với số mũ dương $n>0$: $\large a>b>0\Rightarrow a^n>b^n$
- Với số mũ âm $n<0$: $\large a>b>0\Rightarrow a^n<b^n$

2. Ôn tập lý thuyết hàm số luỹ thừa

2.1. Hàm số luỹ thừa là gì?

Hàm số luỹ thừa là gì? Chúng ta có thể hiểu đơn giản hàm số luỹ thừa là hàm số trong đó có chứa biểu thức luỹ thừa. Tổng quan lại bằng công thức, ta có hàm số luỹ thừa là các hàm số có dạng $\large y=x^\alpha$ với $\large \alpha$ là một số thực đã cho ( $\large \alpha \in \mathbb{R}$ ).

Tập xác định của hàm số $\large y=x^\alpha$ là:

• D = $\large \mathbb{R}$ nếu $\large \alpha$ là số nguyên dương.

• D = $\large \mathbb{R}$ \{0} với $\large \alpha$ nguyên âm hoặc bằng 0

• D = $\large (0;+\infty )$ với $\large \alpha$ không nguyên.

Ví dụ về dạng của hàm số luỹ thừa: $\large y=(3x+2)^{10}$ ; $\large y=\sqrt[4]{2x^2+1}$ ; $\large y=x^{\frac{1}{3}}$ ;...

2.2. Tính chất của hàm số luỹ thừa

Trong các bài tập về luỹ thừa hàm số lũy thừa, tính chất luôn đóng vai trò quyết định.

Ta cùng xét hàm số $\large y=x^\alpha$ trên khoảng $\large (0;+\infty )$ :

Đồ thị luôn đi qua điểm (1;1)
$\large \alpha >0$ : Hàm số đồng biến; $\large \alpha <0$ : Hàm số nghịch biến
Khi $\large \alpha >0$ , đồ thị hàm số không có tiệm cận; Khi $\large \alpha <0$ , đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y=0$, tiệm cận đứng $x=0$.

2.3. Các dạng bài tập ứng dụng lý thuyết luỹ thừa hàm số luỹ thừa

Như đã được học ở chương trình THPT, luỹ thừa hàm số luỹ thừa có 3 dạng bài tập phổ biến. Các em cùng VUIHOC điểm lại từng dạng một kèm với ví dụ để hiểu rõ nhé!

Dạng 1: Áp dụng lý thuyết hàm số luỹ thừa tìm tập xác định

Các bước thực hiện giải bài toán dạng này như sau:

Bước 1: Xác định số mũ của hàm số lũy thừa
Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số xác định
- $\large \alpha$ nguyên dương: $\large D=\mathbb{R}$
- $\large \alpha$ nguyên âm hoặc $\large \alpha =0$ : $\large D=\mathbb{R}$ \{0}
- $\large \alpha$ không nguyên: $\large D=(0;+\infty )$
Bước 3: Giải các bất phương trình để tìm tập xác định của hàm số luỹ thừa

Chúng ta cùng VUIHOC giải ví dụ minh hoạ sau đây để hiểu hơn về dạng bài tập này:

Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số: $\large y=(\frac{2x+1}{2x^2-x-6})^2$

A. $\large D=\mathbb{R}$

B. $\large D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -\frac{3}{2};2 \right \}$

C. $\large D=(-\frac{3}{2};2)$

D. $\large D=(-\infty ;-\frac{3}{2})\cup (2;+\infty )$

Giải:

Điều kiện xác định của hàm số:

$\large 2x^2-x-6\neq 0\Leftrightarrow x\neq 2;x\neq -\frac{3}{2}\Rightarrow D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -\frac{3}{2};2 \right \}$

Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số luỹ thừa

Trong dạng bài tập về luỹ thừa và hàm số luỹ thừa này, các em áp dụng các kiến thức cơ bản về đạo hàm để giải. Các bước để tiến hành giải gồm 3 bước sau:

Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.

Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…
Bước 3: Tính toán và kết luận.

Các em cùng xét bài toán ví dụ sau đây:

Dạng 3: Khảo sát đồ thị hàm số luỹ thừa

Đây là dạng bài khái quát nhất về lý thuyết luỹ thừa và hàm số luỹ thừa. Để vẽ được đồ thị, các em học sinh cần hoàn thiện các bước từ tìm tập xác định, xét bảng biến thiên rồi mới tới vẽ đồ thị.

Cách làm tổng quát của bài tập khảo sát đồ thị hàm số luỹ thừa:

Ta cùng xét hàm số luỹ thừa $\large y=x^\alpha$ trên khoảng $\large (0;+\infty )$ :

Trên thực tế, mỗi dạng luỹ thừa và hàm số luỹ thừa khác nhau đều có tập xác định khác nhau tùy thuộc vào điều kiện của $\large \alpha$ . Cùng VUIHOC xét ví dụ minh hoạ sau đây để rõ hơn về các bước xử lý dạng bài tập này:

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

3. Bài tập áp dụng

Để có thể giải mọi bài tập về luỹ thừa hàm số luỹ thừa, các em cần luyện tập thật nhiều bài tập ở nhiều dạng khác nhau. Để các em thuận tiện hơn trong việc ôn luyện, các thầy cô VUIHOC gửi tặng các em bộ tài liệu tổng hợp mọi dạng bài tập về luỹ thừa và hàm số luỹ thừa có đầy đủ các dạng bài cực sát các đề thi. Nhớ tải về và làm thử nhé!

Tải xuống file bài tập luỹ thừa và hàm số luỹ thừa cực sát các đề thi

Thầy Thành Đức Trung của VUIHOC đã có buổi livestream cực hay về luỹ thừa hàm số luỹ thừa. Trong buổi livestream này, thầy có hướng dẫn giải các dạng bài tập luỹ thừa với phương pháp siêu hay và siêu nhanh. Các em có thể tham khảo thêm bài giảng của thầy tại video dưới đây nhé!

Vuihoc đã tổng hợp cho em toàn bộ kiến thức cơ bản về luỹ thừa hàm số luỹ thừa. Mong rằng với những giải thích và ví dụ trên, các em có thể xử lý toàn bộ các dạng bài tập liên quan đến khối kiến thức này!