Lý thuyết và bài tập về biểu thức tọa độ của vectơ toán 12

1. Biểu thức tọa độ của vectơ

1.1 Tổng, hiệu hai vectơ và tích của một số với một vectơ

- Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\large \overrightarrow{a}=(a_{1};a_{2};a_{3})$ và  $\large \overrightarrow{b}=(b_{1};b_{2};b_{3})$ và số thực k, khi đó: 

• $\large \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(a_{1}+b_{1};a_{2}+b_{2};a_{3}+b_{3})$
•  $\large \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(a_{1}-b_{1};a_{2}-b_{2};a_{3}-b_{3})$
•  $\large k\overrightarrow{a}=(ka_{1};ka_{2};ka_{3})$

- Cho hai vectơ  $\large \overrightarrow{a}=(a_{1};a_{2};a_{3})$ và  $\large \overrightarrow{b}=(b_{1};b_{2};b_{3}),b\neq 0$. Hai vectơ  $\large \overrightarrow{a}$ và  $\large \overrightarrow{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho: 

$\large \left\{\begin{matrix}
a_{1}=kb_{1} \\
 a_{2}=kb_{2}\\
 a_{3}=kb_{3}\\
\end{matrix}\right.$

- Chú ý: Từ nay trở đi, các bài tập liên quan đến tọa độ đều được xét trong không gian Oxyz.

1.2 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng hai vectơ

- Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\large \overrightarrow{a}=(a_{1};a_{2};a_{3})$ và  $\large \overrightarrow{b}=(b_{1};b_{2};b_{3})$ được xác định bởi công thức: $\large 
\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_{1}.b_{1}+a_{2}.a_{2}+a_{3}.b_{3}$

- Nhận xét: 

 $\large a) \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\Leftrightarrow a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=0(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\neq 0)$

 $\large b) |\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$

 $\large c) \cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}=\frac{\overrightarrow{a_{1}}.\overrightarrow{b_{1}}+\overrightarrow{a_{2}}.\overrightarrow{b_{2}}+\overrightarrow{a_{3}}.\overrightarrow{b_{3}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\neq 0)$

2. Xác định tạo độ của vectơ khi biết tọa độ điểm đầu và cuối

- Trong không gian Oxyz, cho hai điểm  $\large A(x_{A};y_{A};z_{A}),B(x_{B};y_{B};z_{B})$. Ta có: 

 $\large \overrightarrow{AB}=(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A})$

- Nhận xét:  $\large AB=|\overrightarrow{AB}|= \sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}$

3. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

- Trong không gian Oxyz: 

+ Cho hai điểm $\large A(x_{A};y_{A};z_{A}),B(x_{B};y_{B};z_{B})$. Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là: 

 $\large M\left ( \frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2};\frac{z_{A}+z_{B}}{2} \right )$

+ Cho tam giác ABC có $\large A(x_{A};y_{A};z_{A}),B(x_{B};y_{B};z_{B}), C(x_{C};y_{C};z_{C})$. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: 

 $\large G\left ( \frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3};\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3};\frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3} \right )$

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Quốc gia sớm và phù hợp nhất với bản thân

4. Bài tập về biểu thức tọa độ của vectơ toán 12

4.1 Bài tập về biểu thức tọa độ của vectơ toán 12 kết nối tri thức

Bài 2.20 trang 72 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

a) Tọa độ của vectơ  $\large \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ là (3 – 3 + 6; 1 + 0 – 1; 2 + 4 + 0) = (6; 0; 6).

Có  $\large 2\overrightarrow{a}$ = (6;2;4);  $\large 3\overrightarrow{b}$ = (−9;0;12);  $\large 5\overrightarrow{c}$ = (30;−5;0). 

Tọa độ của vectơ $\large 2\overrightarrow{a}$ - $\large 3\overrightarrow{b}$ - $\large 5\overrightarrow{c}$ là (6 + 9 – 30; 2 + 5; 4 – 12) = (−15; 7; −8).

b) Có - $\large \overrightarrow{b}$ = (3;0;−4). 

Do đó $\large \overrightarrow{a}$.(- $\large \overrightarrow{b}$) = 3.3+1.0+2.(−4) = 1. 

$\large 2\overrightarrow{a}$.$\large \overrightarrow{c}$ = 6.6 + 2.(-1) + 4.0 =34

Bài 2.21 trang 72 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

a) MN = (4 + 4; -4 - 3; 2 - 3) = (7; 8; -1), MP = (3 +4; 6 - 3; -1 - 3) = (7; 3; -4)

Do 2 vecto $\large \overrightarrow{MN} $ và $\large \overrightarrow{MP} $ không cùng phương nên 3 điểm M, N, P thẳng hàng

b) Ta có $\large \overrightarrow{NM} $ = (-8; 8; 1) và $\large \overrightarrow{NP} $ = (-1; 10; -3)

Nên suy ra $\large \overrightarrow{MN} $ + $\large \overrightarrow{NP} $ = (-8 - 1; 7 + 10; 1 - 3) = (-9; 17; -2) (1)

Theo quy tắc hình bình hành ta có: $\large \overrightarrow{NM} $ + $\large \overrightarrow{NP} $ = $\large \overrightarrow{NQ} $ (2)

Gọi điểm Q (x; y; z). Khi đó $\large \overrightarrow{NQ} $ = (x - 4; y + 4; z - 2) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

 $\large \left\{\begin{matrix}
x - 4 = -9 \\
y + 4 = 17 \\
z - 2 = -2 \\
\end{matrix}\right.$

 $\left\{\begin{matrix}
x = -5 \\
y = 13\\
z = 0 \\
\end{matrix}\right. $

Vậy Q(-5; 13; 0)

c) Ta có $\large \overrightarrow{MN} $ = (8; -7; -1) => |$\large \overrightarrow{MN} $| =  $\large \sqrt{114} $

$\large \overrightarrow{NP} $ = (-1; 10; -3) => |$\large \overrightarrow{NP} $| = $\large \sqrt{110} $

Do đó chu vi của hình bình hàng là: 

P = 2.(|$\large \overrightarrow{MN} $| + |$\large \overrightarrow{NP} $| ) = 2.($\large \sqrt{114} $ + $\large \sqrt{110} $)

Bài 2.22 trang 72 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

a) Gọi G(x; y; z) là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó ta có: 

$\large \left\{\begin{matrix}
x=\frac{1+0+4}{3} \\
y=\frac{0-3-1}{3} \\
z=\frac{1+1+4}{3} \\
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=\frac{5}{3} \\
y=\frac{-4}{3} \\
 z=2\\
\end{matrix}\right.$

Vậy  $\large G\left ( \frac{5}{3};-\frac{4}{3};2 \right )$

Bài 2.23 trang 72 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Giả sử căn phòng hình hộp chữ nhật được mô phỏng như hình vẽ.

Khi đó ta có B' (6; 8; 3) và O'(0; 0; 3).

Gọi I là điểm chính giữa trần nhà của phòng học.

Vì O'A'B'C' là hình chữ nhật nên I là trung điểm của O'B'.

 $\large \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x_{I}=\frac{6+0}{2} \\
 y_{I}=\frac{8+0}{2}\\
 z_{I}=\frac{3+3}{2}\\
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x_{I}=3 \\
 y_{I}=4\\
 z_{I}=3\\
\end{matrix}\right.$

Vậy tọa độ điểm treo đèn là (3; 4; 3).

Bài 2.24 trang 72 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Để xác định xem ra đa có thể phát hiện được tàu thám hiểm hay không, ta cần xác định khoảng cách giữa ra đa và tàu thám hiểm.

Theo đề ta có tọa độ của ra đa là (0; 0; 0), tọa độ của tàu thám hiểm là (25; 15; −10).

Khi đó khoảng cách giữa ra đa và tàu thám hiểm là:

 $\large d=\sqrt{(25-0)^{2}+(15-0)^{2}+(-10-0)^{2}}=5\sqrt{38}\approx 30,82$

Vì phạm vi theo dõi của ra đa là 30 km mà khoảng khoảng cách giữa ra đa và tàu thám hiểm là 30,82 km nên ra đa không phát hiện được tàu thám hiểm.

4.2 Bài tập về biểu thức tọa độ của vectơ toán 12 chân trời sáng tạo 

Bài 1 trang 64 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

 $\large a) \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=5.4+2.(-2)+(-4).2=8$

 $\large b) \overrightarrow{c}.\overrightarrow{d}=2.6+(-3).5+4.(-3)=-15$

Bài 2 trang 64 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

Có  $\large \frac{3}{2}\overrightarrow{a}=\left ( 0;\frac{3}{2};\frac{9}{2} \right );2\overrightarrow{b}=(-4;6;2)$

Tọa độ của vectơ  $\large 2\overrightarrow{b}-\frac{3}{2}\overrightarrow{a}$ là  $\large \left ( -4-0;6-\frac{3}{2};2-\frac{9}{2} \right )$ hay  $\large \left ( -4;\frac{9}{2};-\frac{5}{2} \right )$

Bài 3 trang 64 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

a) Ta có:  $\large \overrightarrow{AB}=(1;1;1),\overrightarrow{AC}=(0;-2;4),\overrightarrow{BC}=(-1;-3;3)$

Vì  $\large \overrightarrow{AB}$ và  $\large \overrightarrow{AC}$ không cùng phương nên A, B, C không thẳng hàng. Do đó A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Ta có chu vi tam giác ABC là:

AB + AC + BC =  $\large \sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}+\sqrt{0^{2}+(-2)^{2}+4^{2}}+\sqrt{(-1)^{2}+(-3)^{2}+3^{2}}$

 $\large =\sqrt{3}+2\sqrt{5}+\sqrt{19}$

b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CA. Tọa độ điểm M là

Đăng ký ngay khóa học PAS THPT để nhận combo sổ tay tổng hợp kiến thức các môn học vô cùng hữu ích trong quá trình học tập của bạn!

Bài 4 trang 64 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

a) Ta có M₁(1; 2; 0), M₂(0; 2; 3), M₃(1; 0; 3).

b) Vì O là trung điểm của MM' nên

 $\large \left\{\begin{matrix}
x_{M'}=2x_{O}-x_{M} \\
y_{M'}=2y_{O}-y_{M} \\
 z_{M'}=2z_{O}-z_{M}\\
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x_{M'}=-1 \\
 y_{M'}=-2\\
 z_{M'}=-3\\
\end{matrix}\right.$

Vậy M'(−1; −2; −3).

+) Vì H ∈ (Oxy) nên H(x; y; 0).

Ta có  $\large \overrightarrow{MH}=(x-1;y-2;-3)$

Vì MH ⊥ (Oxy) 

$\large \left\{\begin{matrix}
MH\perp Ox \\
MH\perp Oy \\
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{i}=0 \\
 \overrightarrow{MH}.\overrightarrow{j}=0\\
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x=1 \\
y=2 \\
\end{matrix}\right.$

Do đó H(1; 2; 0).

Vì H là trung điểm của MM" nên

Bài 5 trang 64 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

a) Vì M ∈ Oy nên M(0; y; 0).

Vì M cách đều hai điểm B, C nên MB = MC hay MB² = MC²

 $\large \Leftrightarrow 1^{2}+(1-y)^{2}+2^{2}=5^{2}+(3-y)^{2}+1^{2}$

 $\large \Leftrightarrow 4y=29\Leftrightarrow y=\frac{29}{4}$

Vậy  $\large M\left ( 0;\frac{29}{4};0 \right )$

b) Vì N ∈∈ (Oxy) nên N(x; y; 0).

Vì N cách đều ba điểm A, B, C nên NA = NB = NC hay NA² = NB² = NC²

Vậy  $\large N\left ( 2;\frac{13}{4};0 \right )$

Bài 6 trang 64 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

Ta có  $\large \overrightarrow{AB}=(1;4;-1)$,  $\large \overrightarrow{AC}=(0;15;0)$,  $\large \overrightarrow{DC}=(2;8;-2)$

Vì  $\large \overrightarrow{DC}=(2;8;-2)=2(1;4;-1)=2\overrightarrow{AB}$ nên  $\large \overrightarrow{DC}$ và $\large \overrightarrow{AB}$ cùng phương.

Mặt khác $\large \overrightarrow{AB}$ và $\large \overrightarrow{AC}$ không cùng phương nên CD // AB.

Do đó ABCD là hình thang.

Bài 7 trang 64 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các mặt là hình bình hành.

Vậy B'(4; 6; −5).

Bài 8 trang 64 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

Công sinh bởi lực  $\large \overrightarrow{F}$  là  $\large A=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{d}$ = 20.150 + 30.200 + (-10).100 = 8000 J.

>> Xem thêm: Tổng hợp kiến thức toán 12 chương trình mới đầy đủ, chi tiết

4.3 Bài tập về biểu thức tọa độ của vectơ toán 12 cánh diều 

Bài 1 trang 80 skg toán 12/1 Cánh diều 

Đáp án đúng là: C

Ta có  $\large \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ = (2 – 3; 3 – 1; – 2 – (– 1)). Do đó  $\large \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$  = (– 1; 2; – 1).

Bài 2 trang 80 skg toán 12/1 Cánh diều 

Đáp án đúng là: A

Ta có: 

 $\large \Rightarrow (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=60^{o}$

Bài 3 trang 80 skg toán 12/1 Cánh diều 

a) Ta có  $\large 2\overrightarrow{a}$ =(−2;  4; 6) , do đó  $\large 2\overrightarrow{a}$+  $\large \overrightarrow{b}$= (– 2 + 3; 4 + 1; 6 + (– 2)) = (1; 5; 4).

Lại có $\large 3\overrightarrow{c}$ =(12;6;−9), do đó $\large 2\overrightarrow{u}$ = $\large 2\overrightarrow{a}$+  $\large \overrightarrow{b}$- $\large 3\overrightarrow{c}$ = (1 – 12; 5 – 6; 4 – (– 9)).

Vậy $\large \overrightarrow{u}=(-11;-1;13)$

b) Ta có $\large \overrightarrow{v}$ + $\large 2\overrightarrow{b}$=$\large \overrightarrow{a}$+$\large \overrightarrow{c}$

 $\large \Rightarrow \overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{b}$

 $\large \overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=(– 1 + 4; 2 + 2; 3 + (– 3))=(3; 4; 0)$

Mà  $\large 2\overrightarrow{b}=(6;2;-4)$, do đó $\large \Rightarrow \overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{b}=(3 -6; 4-2; 0 -(- 4))$

Vậy  $\large \overrightarrow{v}=(-3;2;4)$

Bài 4 trang 80 skg toán 12/1 Cánh diều

Ta có:  

Chọn  $\large \overrightarrow{c}=(-7;-4;6)$, ta có vectơ  $\large \overrightarrow{c}$  vuông góc với cả hai vectơ  $\large \overrightarrow{a}$ và  $\large \overrightarrow{b}$.

Bài 5 trang 81 skg toán 12/1 Cánh diều 

Ta có: 

Bài 6 trang 81 skg toán 12/1 Cánh diều 

a) Ta có:  $\large \overrightarrow{AB}=(6;-3;5),\overrightarrow{AC}=(2;-1;-3)$

 $\large \Rightarrow \overrightarrow{AB}=(6;-3;5)\neq k\overrightarrow{AC}=(2k;-k;-3k)$ với mọi k ∈ ℝ, do đó hai vectơ $\large \overrightarrow{AB}$ và $\large \overrightarrow{AC}$ không cùng phương.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

c) Gọi tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là (x_G; y_G; z_G).

Ta có :  $\large x_{G}=\frac{-2+4+0}{3}=\frac{2}{3}$;  $\large y_{G}=\frac{3+0+2}{3}=\frac{5}{3}$;  $\large z_{G}=\frac{0+5+(-3)}{3}=\frac{2}{3}$

Vậy  $\large G\left ( \frac{2}{3};\frac{5}{3};\frac{2}{3} \right )$

d) Ta có: 

Do đó hai vectơ $\large \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}$ vuông góc với nhau hay hai đường thẳng AB và AC vuông góc với nhau nên  $\large \widehat{BAC}=90^{o}$. Vậy $\large cos \widehat{BAC}=0$

Bài 7 trang 81 skg toán 12/1 Cánh diều 

a) Ta có:   $\large \overrightarrow{AB}=(1;1;1); \overrightarrow{AD}=(0;-1;0)$

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên ABCD là hình bình hành, do đó: 

 $\large \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=(1;0;1)$

Ta có:  $\large \overrightarrow{BD}=(-1;-2;-1)$

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên:  $\large \overrightarrow{B'D'}=\overrightarrow{BD}=(-1;-2;-1)$

Trên đây là Lý thuyết và bài tập về biểu thức tọa độ của vectơ toán 12. Qua bài học, các em nắm được cách thực hiện các biểu thức tọa độ của vectơ để áp dụng giải các bài tập liên quan. Các bạn hãy truy cập nền tảng Vuihoc.vn để ôn tập kiến thức Toán 12 và đăng ký những khóa học bổ ích, hấp dẫn nhất nhé!  

> Mời bạn tham khảo thêm: 

• Lý thuyết vectơ trong không gian toán 12 
• Lý thuyết tọa độ của vectơ trong không gian toán 12