Lý thuyết vectơ trong không gian toán 12

1. Vectơ trong không gian 

- Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. 

- Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. 

- Chú ý: 

+ Kí hiệu  $\large\overrightarrow{AB}$ chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B. 

+ Nếu không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối thì vectơ còn được kí hiệu là  $\large\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v},\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}...$

+ Độ dài của vectơ  $\large\overrightarrow{AB}$ được kí hiệu là  $\large|\overrightarrow{AB}|$, độ dài của vectơ $\large\overrightarrow{a}$ được kí hiệu là  $\large|\overrightarrow{a}|$. 

+ Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối là một vectơ được gọi là giá của vectơ đó. 

- Tương tự như trường hợp của vectơ trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau đối với vectơ trong không gian: 

+ Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. 

+ Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. 

+ Hai vectơ $\large\overrightarrow{a}$ và $\large\overrightarrow{b}$ được gọi là bằng nhau, kí hiệu là $\large\overrightarrow{a}$ = $\large\overrightarrow{b}$ nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

- Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian: 

+ Trong không gian, mỗi điểm O và vectơ $\large\overrightarrow{a}$ cho trước, có duy nhất điểm M sao cho $\large\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{a}$

+ Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như $\large\overrightarrow{AA}$, $\large\overrightarrow{BB}$ gọi là các vectơ không. 

+ Ta quy ước vectơ không có độ dài là 0, cùng hướng và cùng phương với mọi vectơ. Do đó, các vectơ không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là $\large\overrightarrow{0}$

2. Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian 

2.1 Tổng của hai vectơ trong không gian

- Trong không gian, cho hai vectơ $\large\overrightarrow{a}$ và $\large\overrightarrow{b}$. Lấy một điểm A bất kì và các điểm B, C sao cho $\large\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\large\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$. Khi đó, vectơ $\large\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\large\overrightarrow{a}$ = $\large\overrightarrow{b}$. Kí hiệu là $\large\overrightarrow{a}$ + $\large\overrightarrow{b}$. 

- Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ

- Nhận xét: Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng: 

+ Tính chất giao hoán:  $\large\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$

+ Tính chất kết hợp: $\large(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$

+ Với mọi vectơ $\large\overrightarrow{a}$, ta luôn có: $\large\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$

+ Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vectơ $\large\overrightarrow{a}$, $\large\overrightarrow{b}$, $\large\overrightarrow{c}$ là: $\large\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}$

- Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành vẫn đúng với các vectơ trong không gian: 

+ Với ba điểm A, B, C ta có: $\large\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

+ Nếu ABCD là hình bình hành thì ta có: $\large\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$

- Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', ta có: $\large\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}$

2.2 Hiệu của hai vectơ trong không gian

- Trong không gian, cho hai vectơ $\large\overrightarrow{a}$ và $\large\overrightarrow{b}$. Ta gọi  $\large\overrightarrow{a}$ + (-$\large\overrightarrow{b}$) là hiệu của hai vectơ $\large\overrightarrow{a}$ và $\large\overrightarrow{b}$, kí hiệu là $\large\overrightarrow{a}$ - $\large\overrightarrow{b}$. 

- Phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ. 

- Trong không gian, với ba điểm A, B, C ta có: $\large\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$

Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình đạt 9+ thi THPT Quốc Gia

3. Tích vô hướng của hai vectơ

3.1 Góc giữa hai vectơ trong không gian

- Trong không gian, cho $\large\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ là hai vectơ khác $\large\overrightarrow{0}$. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho $\large\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}, \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$. Khi đó, ta gọi $\large \widehat{BAC}$ là góc giữa hai vectơ $\large\overrightarrow{u}$ và $\large\overrightarrow{v}$, kí hiệu $\large (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$

- Nhận xét:

• $\large0^{o}\leq (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\leq 180^{o}$
• Nếu $\large (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ = 90^o thì ta nói $\large\overrightarrow{u}$ và $\large\overrightarrow{v}$ vuông góc với nhau, kí hiệu $\large\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}$

3.2 Tích vô hướng của hai vectơ

- Trong không gian, cho hai vectơ $\large\overrightarrow{u}$ và $\large\overrightarrow{v}$ khác $\large\overrightarrow{0}$. Tích vô hướng của hai vectơ $\large\overrightarrow{u}$ và $\large\overrightarrow{v}$ là một số, kí hiệu $\large\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$, được xác định bởi công thức: $\large\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|.cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$

- Chú ý: 

+ Trong trường hợp $\large\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ hoặc $\large\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$, ta quy ước $\large\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$

+ $\large\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}^{2}=|\overrightarrow{u}|^{2};\overrightarrow{u}^{2}\geq 0,\overrightarrow{u}^{2}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$

+ Với hai vectơ $\large\overrightarrow{u}$ và $\large\overrightarrow{v}$ khác $\large\overrightarrow{0}$, ta có: 

$\large\cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|}$

+ Với hai vectơ $\large\overrightarrow{u}$ và $\large\overrightarrow{v}$ khác $\large\overrightarrow{0}$, ta có: $\large\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$

- Nhận xét: Tương tự như trong mặt phẳng, tích vô hướng của hai vectơ trong không gian cũng có các tính chất sau: Với ba vectơ $\large\overrightarrow{a}$ ,  $\large\overrightarrow{b}$ và $\large\overrightarrow{c}$ và số k, ta có: 

• $\large\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}$
• $\large\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$
• $\large(k\overrightarrow{a}).\overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}.(k\overrightarrow{b})$

4. Bài tập về vectơ trong không gian toán 12 

4.1 Bài tập về vectơ trong không gian toán 12 kết nối tri thức

Bài 2.1 trang 58 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Các câu đúng là:

a) Nếu  $\large\overrightarrow{a}$ và $\large\overrightarrow{b}$ đều cùng hướng với $\large\overrightarrow{c}$  thì  $\large\overrightarrow{a}$ và $\large\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

b) Nếu  $\large\overrightarrow{a}$ và $\large\overrightarrow{b}$ đều ngược hướng với $\large\overrightarrow{c}$  thì  $\large\overrightarrow{a}$ và $\large\overrightarrow{b}$cùng hướng.

Bài 2.2 trang 58 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật nên AA' = BB' = DD' = 4. 

=> $\large\overrightarrow{BB'}=4$

Xét DABD vuông tại A, có $\large BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$

=> $\large\overrightarrow{BD}=\sqrt{13}$

Xét DDD'B vuông tại D, có $\large BD'=\sqrt{DB^{2}+DD'^{2}}=\sqrt{13+16}=\sqrt{29}$

=> $\large\overrightarrow{BD'}=\sqrt{29}$

Bài 2.3 trang 58 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

a) Các vectơ  $\large\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\overrightarrow{e}$ đều cùng phương với nhau.

Các vectơ  $\large\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\overrightarrow{e}$ đều ngược hướng với  $\large\overrightarrow{a}$ nên các vectơ  $\large \overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\overrightarrow{e}$ cùng hướng với nhau.

b) Do trọng lực phân tán đều qua các chân bàn nên các phản lực có độ lớn như nhau.

Suy ra các vectơ  $\large\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\overrightarrow{e}$ có độ dài bằng nhau hơn nữa  $\large\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\overrightarrow{e}$ cùng hướng với nhau nên các vectơ  $\large\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\overrightarrow{e}$ đôi một bằng nhau.

Bài 2.4 trang 58 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Bài 2.5 trang 58 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Bài 2.6 trang 58 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Bài 2.7 trang 58 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Ta có  $\large\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}(1)$

Vì SM = 2AM nên  $\large\overrightarrow{MA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SA}$; CN = 2BN nên  $\large\overrightarrow{BN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}(2)$

Từ (1), (2), ta có  $\large\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{AB}$

Bài 2.8 trang 58 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Giả sử khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều được mô phỏng như hình vẽ.

G là trọng tâm DBCD, I là trọng tâm của tứ diện

Vì ABCD là hình tứ diện đều nên AG⊥(BCD) và AG = 8 cm.

Vì  $\large\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{IG}$ nên 3 điểm A, I, G thẳng hàng và  $\large\overrightarrow{IG}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AG}$

Do đó IG ⊥ (BCD). Khi đó  $\large d(I,(BCD))=IG=\frac{1}{4}AG=2cm$

Bài 2.9 trang 59 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Giả sử lực kéo trên mỗi sợi dây được biểu diễn bởi các vectơ  $\large\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ với là đầu chung của ba sợi dây. Khi ba sợi dậy cân bằng thì  $\large\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$.

Vẽ hình bình hành OADB.

Theo quy tắc hình bình hành thì  $\large\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}$

Do đó  $\large\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$  $\large \Leftrightarrow $  $\large\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OD}$

Hay O là trung điểm của CD.

Do đó các điểm O, A, B, C cùng thuộc mặt phẳng (ABCD).

Suy ra ba sợi dây cùng nằm trong mặt phẳng đó.

Bài 2.10 trang 59 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Bài 2.11 trang 59 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

 $\large a)\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$

 $\large = 1.1.cos45^{o}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

 $\large b)(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}).(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}^{2}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-6\overrightarrow{b^{2}}$

 $\large = 1+\frac{\sqrt{2}}{2}-6.1=-5+\frac{\sqrt{2}}{2}$

 $\large c)(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^{2}=\overrightarrow{a}^{2}+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^{2}$

 $\large 1+2\frac{\sqrt{2}}{2}+1=2+\sqrt{2}$

Bài 2.12 trang 59 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Đăng ký ngay combo sổ tay kiến thức các môn học để nhận ưu đãi cực hấp dẫn từ vuihoc nhé!

4.2 Bài tập về vectơ trong không gian toán 12 chân trời sáng tạo 

Bài 1 trang 50 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo 

a) Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các mặt của nó là hình bình hành.

Khi đó  $\large \overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AA'};\overrightarrow{B'C"}=\overrightarrow{AD}(=\overrightarrow{BC})$

Do đó  $\large \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}$ ( theo quy tắc hình hộp)

c) Vì  AD // B'C' và AD = B'C' (do cùng song song và bằng BC).

Do đó ADC'B' là hình bình hành.

=>  $\large \overrightarrow{AB'}; \overrightarrow{DA'}$ là hai vectơ đối nhau. Do đó  $\large \overrightarrow{AB'}+ \overrightarrow{C'D}=\overrightarrow{0}$

Tương tự DA'B'C là hình bình hành.

Bài 2 trang 51 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

Do ABCD là hình bình hành nên: 

 $\large \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow \overrightarrow{SB}=-\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SD}\Leftrightarrow \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$

Bài 3 trang 51 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 51 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

Vì I là trọng tâm của DABC nên:  $\large \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

Cộng từng vế (1) và (2), ta có:  $\large 2\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+2\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=3(SI+\overrightarrow{SJ})$

Bài 5 trang 51 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

Do ABB'A' là hình bình hành nên:  $\large \overrightarrow{B'B}=-\overrightarrow{AA'}$

Do ACC'A' là hình bình hành nên:  $\large \overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AA'}$

Bài 6 trang 51 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

Đổi 102 gam = 0,102 kg.

Độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo là:

 $\large |\overrightarrow{P}|=m.|\overrightarrow{g}|=0,102.9,8=0,9996N$

Bài 7 trang 51 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

Độ lớn của lực tĩnh điện là:  $\large |\overrightarrow{F}|=q.|\overrightarrow{E}|=10^{9}.10^{5}=10^{-4}N$

Bài 8 trang 51 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

Đổi 5 mm = 5.10^-3 m

Công A sinh bởi lực tĩnh điện  $\large \overrightarrow{F}$ là A = qEd = 2.10⁻¹². 1,8.10⁵. 5.10^-3 = 18.10^-10 (J).

>> Tổng hợp kiến thức toán 12 chương trình mới đầy đủ, chi tiết

4.3 Bài tập về vectơ trong không gian toán 12 cánh diều 

Bài 1 trang 63 sgk toán 12/1 cánh diều 

Theo quy tắc hình hộp, ta có:  $\large \overrightarrow{u}=\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{A'D'}=\overrightarrow{A'C}$

Bài 2 trang 63 sgk toán 12/1 cánh diều

a) Theo quy tắc ba điểm, ta có:  $\large \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$

b) Theo quy tắc ba điểm, ta có  $\large \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$

Bài 3 trang 63 sgk toán 12/1 cánh diều

Bài 4 trang 63 sgk toán 12/1 cánh diều

Vì G là trọng tâm của tam giác AB'D' nên với điểm A', ta luôn có:

 $\large \overrightarrow{A'G}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{A'D'})$

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên:  $\large \overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{A'D'}=\overrightarrow{A'C}$ (quy tắc hình hộp). 

 $\large \Rightarrow \overrightarrow{A'G}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A'C}$

Vậy  $\large \overrightarrow{A'C}=3\overrightarrow{A'G}$

Trên đây là toàn bộ bài học Lý thuyết vectơ trong không gian toán 12. Hi vọng bài viết này sẽ giúp cho các bạn học sinh nắm vững cách áp dụng tính chất của vectơ trong không gian để giải quyết các dạng bài tập liên quan. Các bạn hãy truy cập nền tảng Vuihoc.vn để ôn tập kiến thức Toán 12 và đăng ký những khóa học bổ ích, hấp dẫn nhất nhé!