Tổng ôn tập hàm số từ A đến Z

Trước khi đi vào chi tiết của bài viết, các em hãy cùng VUIHOC đánh giá tổng quan về hàm số và các bài tập ôn tập hàm số tại bảng dưới đây:

Chi tiết hơn về lý thuyết cần nhớ, các em tải file tổng hợp dưới đây để tiện trong việc ôn tập nhé!

Tải xuống file tổng hợp lý thuyết ôn tập hàm số đầy đủ công thức
 

1. Phần lý thuyết ôn tập hàm số

1.1. Định nghĩa hàm số

Giả sử $X$ và $Y$ là hai tập hợp tuỳ ý. Nếu có một quy tắc $f$ cho tương ứng mỗi $x\in X$ với một và chỉ một $y\in Y$ thì ta nói rằng f là một hàm từ X vào Y, ký hiệu

$f:X\rightarrow Y$

    $x\rightarrow f(x)$

Nếu $X$, $Y$ là các tập hợp số thì $f$ được gọi là hàm số. Như các em đã học trong chương trình Đại số lớp 9, khi ôn tập hàm số chúng ta chỉ xét các hàm số thực của các biến số thực, nghĩa là $X\in R$ và $Y\in R$. $X$ được gọi là tập xác định (hay miền xác định) của hàm số $f$. Tập xác định thường được ký hiệu là D.

Số thực $x\in X$ được gọi là biến số độc lập (gọi tắt là biến số hay đối số). Số thực $y=f(x)\in Y$ được gọi là giá trị của hàm số $f$ tại điểm $x$. Tập hợp tất cả các giá trị của $f(x)$ khi $x$ lấy mọi số thực thuộc tập hợp $X$ gọi là tập giá trị (miền giá trị) của hàm số $f$.

Ta cũng có thể định nghĩa hàm số khi ôn tập hàm số như sau:

Nếu đại lượng $y$ phụ thuộc vào đại lượng thay đổi $x$ sao cho: Với mỗi giá trị của $x$ ta luôn xác định được chỉ 1 giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của $x$ và $x$ được gọi là biến số.

Các em lưu ý khi ôn tập hàm số cần chú ý trường hợp đặc biệt: Khi $x$ thay đổi mà $y$ luôn nhận được 1 giá trị thì y được gọi là hàm hằng. Ví dụ, $y=3$ là 1 hàm hằng.

Ký hiệu của hàm số: $y=f(x)$ hoặc $y=g(x)$,...

1.2. Tập xác định của hàm số trong ôn tập hàm số

Khi ôn tập hàm số, chúng ta cần để ý đến những phần nhỏ nhưng khá quan trọng này, là tập xác định. Tập xác định của hàm số $y=f(x)$ là tập hợp tất cả các giá trị của x mà tại đó $f(x)$ xác định.

Ví dụ:

• Hàm số $y=2x$ xác định với mọi giá trị $x\in \mathbb{R}$ nên có tập xác định $D=\mathbb{R}$

• Hàm số  $y=\sqrt{x-1}$ xác định với mọi giá trị của $x\neq 1$ nên có tập xác định là $D=\mathbb{R}$

Chú ý:

• Khi hàm số được cho bằng công thức $y=f(x)$, ta hiểu rằng biến số $x$ chỉ nhận những giá trị tại đó $f(x)$ xác định.

• Giá trị của $f(x)$ tại $x_0$, $x_1$,... được ký hiệu là $f(x_0)$, $f(x_1)$,...

1.3. Hàm số đồng biến, nghịch biến khi nào?

Cho hàm số $f(x)$ xác định với mọi giá trị $x$ thuộc $\mathbb{R}$, ta có:

• Nếu giá trị của biến $x$ tăng lên mà giá trị tương ứng $f(x)$ cũng tăng lên thì hàm $y=f(x)$ được gọi là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ (gọi tắt là hàm số đồng biến).

• Nếu giá trị của biến $x$ tăng lên mà giá trị tương ứng $f(x)$ lại giảm đi thì hàm $y=f(x)$ được gọi là hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ (gọi tắt là hàm số nghịch biến).

Từ đó, ta có thể suy ra đồ thị hàm số $y=f(x)$ có chiều tương ứng như thế nào khi ôn tập hàm số. Đồ thị hàm số $y=f(x)$ là tập hợp các điểm có toạ độ $(x;f(x))$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$.

Ta có định lý liên quan đến hàm số đồng biến, nghịch biến:

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập hợp số thực R. Với $x_1$, $x_2$ bất kỳ thuộc $\mathbb{R}$:

• Nếu $x_1<x_2$ mà $f(x_1)<f(x_2)$ thì hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

• Nếu $x_1<x_2$ mà $f(x_1)>f(x_2)$ thì hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Ví dụ về khảo sát hàm số trong các bài tập ôn tập hàm số:

Xét hàm số y=f(x)=3x+1

Tập xác định (TXĐ): $D=\mathbb{R}$

Với mọi $x_1$, $x_2$ thuộc $D$ sao cho $x_1<x_2$

$3x_1<3x_2$ (nhân cả 2 vế với 3)

$3x_1+1<3x_2+1$ (cộng 2 vế với 1)

Suy ra $f(x_1) < f(x_2)$

Vậy hàm số $y=f(x)=3x+1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

2. Các dạng bài tập ôn tập hàm số

2.1. Dạng 1: Tính giá trị của hàm số $y=f(x)$ tại $x=x_0$

Đây là dạng cơ bản xuất hiện trong các bài tập khi các em tiến hành ôn tập hàm số. Để tính giá trị của hàm số $y=f(x)$ tại $x=x_0$ ta thay $x=x_0$ vào công thức hàm số $f(x)$.

Ví dụ minh hoạ:

2.2. Dạng 2: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Khi ôn tập hàm số gặp dạng bài này, chúng ta thực hiện theo 2 bước sau đây:

Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số.

Bước 2: Giả sử $x_1<x_2$ thuộc $D$, xét hiệu $f(x_1)-f(x_2)$

• Nếu $f(x_1)-f(x_2)<0$ thì $f(x_1)<f(x_2)$ suy ra hàm số đồng biến trên $D$.

• Nếu $f(x_1)-f(x_2)>0$ thì $f(x_1)>f(x_2)$ suy ra hàm số nghịch biến trên $D$.

>> Xem thêm: Cách xét tính đơn điệu của hàm số và bài tập

2.3. Dạng 3: Đồ thị hàm số

Ở dạng bài tập ôn tập hàm số này, chúng ta làm theo 3 bước sau đây:

Bước 1: Lập bảng các giá trị: Cho $x$ nhận giá trị bất kỳ trong tập xác định rồi tính $f(x)$

Bước 2: Xác định các điểm có toạ độ $(x;f(x))$ trên cùng một mặt phẳng toạ độ

Bước 3: Nối các điểm trên lại

3. Bài tập áp dụng ôn tập hàm số

Cách duy nhất để giải nhanh mà vẫn chính xác đó là luyện tập thật nhiều dạng bài trong quá trình ôn tập hàm số. Để giúp các em tiện hơn, VUIHOC đã tổng hợp cho các em tất cả các dạng bài tập ôn tập hàm số bao gồm giải chi tiết. Các em nhớ tải về để học nhé!

Tải xuống file bài tập ôn tập hàm số có giải chi tiết

Để hiểu rõ hơn và học thêm nhiều tip giải bài toán ôn tập hàm số nhanh, các em cùng đón xem bài giảng của thầy Thành Đức Trung ôn tập hàm số để học thêm về cách giải siêu nhanh và siêu dễ hiểu nhé!

Bài viết trên đã tổng hợp cho các em toàn bộ lý thuyết và các dạng bài tập phổ thông cơ bản của hàm số, giúp các em ôn tập hàm số nhanh và hiệu quả hơn. Chúc các em luôn học tốt!