Nằm lòng phương pháp giải phương trình logarit

Đầu tiên, các em học sinh cùng VUIHOC đọc bảng sau để nắm được vùng kiến thức cần ôn và độ khó của các phương pháp giải phương trình logarit trong đề thi THPT Quốc gia (dự kiến) nhé!

Để ôn tập dễ hơn, các em tải bộ tài liệu lý thuyết về phương trình logarit theo link dưới đây. Bộ tài liệu này tổng hợp toàn bộ lý thuyết cũng như các công thức logarit, phương pháp giải phương trình logarit cơ bản.
Tải xuống file tổng hợp lý thuyết phương trình logarit - phương pháp giải phương trình logarit

1. Tổng quan lý thuyết về logarit và phương trình logarit

1.1. Logarit và phương trình logarit là gì?

Theo kiến thức về lũy thừa - mũ - logarit đã học, logarit của một số là lũy thừa mà một giá trị cố định, gọi là cơ số, phải được nâng lên để tạo ra số đó. Có thể hiểu đơn giản, logarit chính là phép toán nghịch đảo của lũy thừa, hiểu 1 cách đơn giản hơn thì hàm logarit chính là đếm số lần lặp đi lặp lại của phép nhân.

Công thức chung của logarit có dạng như sau: 

Logarit có công thức là logab trong đó $b>0, 0<a\neq 1$

Có 3 loại logarit:

• Logarit thập phân: là logarit có cơ số 10, viết tắt là $log_{10}b=logb(=lgb)$ có nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật.

• Logarit tự nhiên: là logarit có cơ số là hằng số $e$, viết tắt là $ln(b)$, $log_eb$ có ứng dụng nhiều trong toán học và vật lý, đặc biệt là vi tích phân.

• Logarit nhị phân: là logarit sử dụng cơ số 2, ký hiệu là log2b có ứng dụng trong khoa học máy tính, lập trình ngôn ngữ $C$

• Ngoài ra, ta còn 2 cách phân loại khác là logarit phức (là hàm ngược của hàm lũy thừa trong số phức) và logarit rời rạc (ứng dụng trong mật mã hoá khoá công khai)

Về phương trình logarit, với cơ số a dương và khác 1 thì phương trình có dạng như sau được gọi là phương trình logarit cơ bản: $log_ax=b$

Ta thấy vế trái của phương trình là hàm đơn điệu có miền giá trị là $\mathbb{R}$. Vế phải phương trình là một hàm hằng. Vì vậy phương trình logarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất. Theo định nghĩa của logarit ta dễ dàng suy ra nghiệm đó là $x=a^b$

Với điều kiện 0<a ≠ 1, ta có các phương trình logarit cơ bản như sau:

1.2. Bảng công thức áp dụng trong phương pháp giải phương trình logarit

Một số công thức biến đổi logarit vận dụng trong phương pháp giải phương trình logarit được VUIHOC tổng hợp tại bảng sau đây, các em lưu ý nhé:

Hai quy tắc tính logarit quan trọng dùng để biến đổi phương trình logarit mà các em cần ghi nhớ:

Quy tắc logarit của 1 tích:

– Công thức logarit của một tích như sau: $log(ab)=log(a)+log(b)$

–  Điều kiện: $a, b$ đều là số dương với $0<\neq 1$ .

– Đây là logarit hai số $a$ và $b$ thực hiện theo phép nhân thông qua phép cộng logarit ra đời vào thế kỷ 17. Sử dụng bảng logarit, ta sẽ đưa logarit về cơ số $a=10$ là logarit thập phân sẽ dễ dàng tra bảng, tính toán hơn. Logarit tự nhiên với hằng số e là cơ số (khoảng bằng 2,718) được áp dụng thuận tiện trong toán học. Logarit nhị phân có cơ số 2 được dùng trong khoa học máy tính.

– Nếu muốn thu nhỏ phạm vi các đại lượng, bạn dùng thang logarit.

Quy tắc logarit của 1 luỹ thừa:

– Ta có công thức logarit như sau: $log_ab=log_ab$.

– Điều kiện $a, b$ là số dương và  $0<\neq 1$.

Đối với phương trình logarit, chúng ta cần lưu ý thêm các công thức dưới đây:

2. Tổng hợp các phương pháp giải phương trình logarit 

2.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số

Một lưu ý nhỏ cho các em đó là trong quá trình biến đổi để tìm ra cách giải pt logarit, chúng ta thường quên việc kiểm soát miền xác định của phương trình. Vì vậy để cho an toàn thì ngoài phương trình logarit cơ bản, các bạn nên đặt điều kiện xác định cho phương trình trước khi biến đổi.

Phương pháp giải dạng toán này như sau:

• Trường hợp 1: $log_af(x)=b\Leftrightarrow f(x)=a^b$
• Trường hợp 2:  $log_af(x)=log_ag(x)\Leftrightarrow f(x)=g(x) $

Ta cùng xét ví dụ sau để rõ hơn về phương pháp giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số:

2.2. Tìm tập nghiệm của phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

Ở phương pháp giải phương trình logarit này, khi đặt ẩn phụ, chúng ta cần chú ý xem miền giá trị của ẩn phụ để đặt điều kiện cho ẩn phụ hoặc không. Ta có công thức tổng quát như sau:

Phương trình dạng: $Q[log_af(x)]=0\Leftrightarrow  Đặt t=log_af(x) (x\in \mathbb{R})$

Các em cùng VUIHOC xét ví dụ sau đây:

2.3. Phương pháp giải phương trình logarit bằng mũ hoá

Bản chất của phương pháp giải phương trình logarit cơ bản (ở trên) cũng là mũ hóa 2 vế với cơ số a. Trong 1 số trường hợp, phương trình có cả loga có cả mũ thì ta có thể thử áp dụng mũ hóa 2 vế để giải.

Phương trình $log_af(x)=log_bg(x) 0<a,b\neq 1)$

Ta đặt $log_af(x)=log_bg(x)=t\Leftrightarrow f(x)=a^t hoặc g(x)=b^t $

=> Đưa về dạng phương trình ẩn $t$.

2.4. Dùng đồ thị tìm tập nghiệm của phương trình logarit

Giải phương trình: $log_ax=f(x) (0<a\neq 1)$ (Đây là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị $y=log_ax (0<a\neq 1)$ và $y=f(x)$). Khi đó ta thực hiện 2 bước:

• Bước 1: Vẽ đồ thị các hàm số: $y=log_ax (0<a\neq 1)$ và $y=f(x)$

• Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị

Ta có ví dụ minh hoạ về phương pháp giải phương trình logarit này như sau:

3. Bài tập áp dụng phương pháp giải phương trình logarit

Thầy cô VUIHOC đã biên tập và soạn riêng cho các em bộ bài tập luyện tập các phương pháp giải phương trình logarit có lời giải, đầy đủ các dạng toán thường xuất hiện trong các đề thi. Các em nhớ tải xuống theo link dưới đây nhé!

Tải xuống file luyện tập phương pháp giải phương trình logarit có đáp án

Đặc biệt hơn, thầy Thành Đức Trung đã có một buổi livestream chữa bài tập phương trình logarit có áp dụng những phương pháp giải phương trình logarit cực hay và nhanh chóng. Các em cùng xem và học tập dưới video sau đây:

VUIHOC đã cùng các em ôn tập lý thuyết phương trình logarit và 4 phương pháp giải phương trình logarit cơ bản. Chúc các em học tốt!