Làm chủ toàn bộ kiến thức về phương trình mũ

Trước khi đi vào chi tiết bài viết, các em cùng đọc bảng dưới đây để khái quát chung về phương trình mũ và các vùng kiến thức cần ôn khi giải các bài tập dạng này nhé!

Để tiện lợi hơn trong ôn tập và nắm được các lý thuyết liên quan đến toán 12 phương trình mũ, các em tải và học theo file tổng hợp lý thuyết theo link dưới đây nhé!

Tải xuống file tổng hợp lý thuyết phương trình mũ chi tiết và chọn lọc

1. Tổng hợp lý thuyết về phương trình mũ

1.1. Định nghĩa và dạng tổng quát chung

Hiểu đơn giản, phương trình mũ là dạng phương trình 2 vế trong đó có chứa biểu thức mũ. 

Theo định nghĩa đã được học trong chương trình THPT, ta có định nghĩa và dạng tổng quát chung của toán 12 phương trình mũ như sau:

Phương trình mũ có dạng $a^x=b$ với $a,b$ cho trước và $0<a\neq 1$

Phương trình mũ có nghiệm khi:

• Với $b>0: a^x=b\Leftrightarrow x=log_ab$

• Với $b\leq 0$: phương trình mũ vô nghiệm

1.2. Công thức toán 12 phương trình mũ

Để giải được các bài tập về phương trình mũ, các em cần ghi nhớ các công thức cơ bản của số mũ phục vụ áp dụng trong các bước biến đổi. Công thức Toán 12 phương trình mũ cơ bản được tổng hợp trong bảng sau:

Ngoài ra, các tính chất của số mũ cũng là một phần kiến thức cần nhớ để giải được phương trình mũ. Tổng hợp tính chất của số mũ được VUIHOC liệt kê theo bảng dưới đây:

Các em cần lưu ý, các tính chất trên áp dụng khi số mũ đó đã xác định nhé!

2. 5 dạng bài tập toán 12 phương trình mũ 

2.1. Dạng toán phương trình mũ đưa về cùng cơ số

Ở dạng toán phương trình mũ này, ta cần biến đổi theo công thức sau để đưa về cùng cơ số:

  Với $a>0$ và a ≠ 1 ta có $a^{f(x)}=a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=g(x)$

Ta cùng xét ví dụ sau đây để hiểu rõ cách làm dạng toán 12 phương trình mũ đưa về cùng cơ số này:

2.2. Dạng toán 12 phương trình mũ đặt ẩn phụ

Đây là cách giải toán 12 phương trình mũ thường gặp trong các đề thi. Chúng ta thường sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình mũ ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ. Khi sử dụng phương pháp này, ta cần thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Đưa phương trình mũ về dạng ẩn phụ quen thuộc
• Bước 2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ
• Bước 3: Giải phương trình mũ với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện
• Bước 4: Thay giá trị $t$ tìm được vào giải phương trình mũ cơ bản
• Bước 5: Kết luận

Các phép ẩn phụ phương trình mũ thường gặp như sau:

Dạng 1: Các số hạng trong phương trình mũ có thể biểu diễn qua $a^{f(x)}$ nên ta đặt $t=a^{f(x)}$

Lưu ý trong loại này ta còn gặp một số bài mà sau khi đặt ẩn phụ ta thu được 1 phương trình vẫn chứa x. Khi đó, ta gọi đó là các bài toán đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

Dạng 2: Phương trình mũ đẳng cấp bậc $n$ đối với $a^{nf(x)}$ và  $b^{nf(x)}$ 

Với dạng này, ta sẽ chia cả 2 vế của phương trình mũ cho $a^{nf(x)}$ hoặc $b^{nf(x)}$ với n là số tự nhiên lớn nhất có trong toán 12 phương trình mũ. Sau khi chia ta sẽ đưa được phương trình mũ về dạng 1.

Dạng 3: Trong phương trình mũ có chứa 2 cơ số nghịch đảo

• Loại 1: $A.a^{f(x)}+B.b^{f(x)}+C=0$ với $a.b=1$

=> Đặt ẩn phụ $t=a^{f(x)}\Rightarrow b^{f(x)}=\frac{1}{t}$

• Loại 2: $A.a^{f(x)}+B.b^{f(x)}+C=0$ với $a.b=c^2$

=> Chia 2 vế của phương trình mũ cho $c^{f(x)}$ và đưa về dạng 1.

Ta cùng xét các ví dụ sau để hiểu rõ hơn về cách đặt ẩn phụ giải phương trình mũ nhé!

2.3. Giải phương trình mũ bằng cách logarit hoá

Trong một số trường hợp, chúng ta không thể giải toán 12 phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc dùng ẩn phụ được. Khi đó, các em cần lấy logarit 2 vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đó để đưa về dạng toán 12 phương trình mũ cơ bản. Phương pháp này được gọi là logarit hoá.

Dấu hiệu nhận biết bài toán phương trình mũ áp dụng phương pháp logarit hóa: Phương trình loại này thường có dạng $a^{f(x)}.b^{g(x)}.c^{h(x)}=d$ (tức là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau). Khi đó, các em có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số $a$ (hoặc $b$, hoặc $c$).

Các công thức logarit hoá phương trình mũ như sau:

Sau đây, các em cùng theo dõi ví dụ minh hoạ sau đây về phương trình mũ:

2.4. Sử dụng tính đơn điệu giải phương trình mũ

Để sử dụng tính đơn điệu giải toán 12 phương trình mũ, ta cần nắm vững cách khảo sát hàm số mũ như sau:

• Tập xác định của hàm số mũ $y=a^x (0<a\neq 1)$ là $\mathbb{R}$.

• Chiều biến thiên:

  • $a>1$: Hàm số luôn đồng biến

  • $0<a<1$: Hàm số luôn nghịch biến

• Tiệm cận: Trục hoành $Ox$ là đường tiệm cận ngang

• Đồ thị: Đi qua điểm $(0;1), (1;a)$ và nằm phía trên trục hoành.

Để giải theo phương pháp này, ta cần làm theo các bước sau đây:

Hướng 1:

• Bước 1: Chuyển phương trình về dạng $f(x)=k$.

• Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(x)$ trên $D$. Khẳng định hàm số đơn điệu

• Bước 3: Nhận xét:

+ Với $x=x_0$ ⇔ $f(x)=f(x_0)=k$ do đó $x=x_0$ là nghiệm.

+ Với $x>x_0$ ⇔ $f(x)>f(x_0)=k$ do đó phương trình vô nghiệm.

+ Với $x<x_0$ ⇔ $f(x)<f(x_0)=k$ do đó phương trình vô nghiệm.

• Bước 4: Kết luận vậy $x=x_0$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 2:

• Bước 1: Chuyển phương trình về dạng $f(x)=g(x)$.

• Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$. Khẳng định hàm số $y=f(x)$ là hàm số đồng biến còn $y=g(x)$ là hàm số nghịch biến hoặc là hàm hằng.

• Bước 3: Xác định $x_0$ sao cho $f(x_0)=g(x_0)$.

• Bước 4: Kết luận vậy $x=x_0$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 3:

• Bước 1: Chuyển phương trình về dạng $f(u)=f(v)$.

• Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=f(x)$. Khẳng định hàm số đơn điệu.

• Bước 3: Khi đó $f(u)=f(v)$ ⇔ $u=v$.

Ta xét các ví dụ sau giải toán 12 phương trình mũ sử dụng tính đơn điệu:

2.5. Dạng bài tập giải phương trình mũ có chứa tham số

3. Bài tập áp dụng

Để thành thạo lý thuyết và giải thật nhanh các bài tập phương trình mũ trong chương trình học cũng như các đề luyện thi, VUIHOC gửi tặng các em file tổng hợp bài tập luyện tập toán 12 phương trình mũ chọn lọc và có giải chi tiết theo link sau đây:

Tãi xuống file bài tập toán 12 phương trình mũ có giải chi tiết

Đặc biệt, thầy Thành Đức Trung của trường VUIHOC đã có video giảng về phương trình mũ, trong đó có hướng dẫn những mẹo siêu hay để giải nhanh các dạng bài tập toán 12 phương trình mũ trong các đề luyện thi đại học. Các em cùng xem video để học tuyệt chiêu của thầy Trung nhé!

Vậy là các em vừa ôn tập lý thuyết và các dạng bài tập toán 12 phương trình mũ cơ bản. Chúc các em luôn học tập tốt!