Cản phá mọi phương trình mũ và logarit nâng cao

Trước khi đi vào chi tiết bài viết, các em cùng đọc bảng dưới đây để xác định độ khó phương trình mũ và logarit nâng cao:

Để nắm bắt lý thuyết nhanh hơn, VUIHOC gửi tặng các em file tổng hợp lý thuyết chung về phương trình mũ và logarit nâng cao siêu đầy đủ theo link dưới đây!

Tải xuống file tổng hợp lý thuyết phương trình mũ và logarit nâng cao

1. Ôn tập lý thuyết phương trình mũ và logarit

1.1. Lý thuyết phương trình mũ

Về định nghĩa:

Hiểu đơn giản, phương trình mũ là dạng phương trình 2 vế trong đó có chứa biểu thức mũ. 

Theo định nghĩa đã được học trong chương trình THPT, ta có định nghĩa và dạng tổng quát chung của toán 12 phương trình mũ như sau:

Phương trình mũ có dạng $a^x=b$ với a,b cho trước và $0<a\neq 1$

Phương trình mũ có nghiệm khi:

• Với $b>0$: $a^x=b\Rightarrow x=log_ab$

• Với $b\leq 0$: phương trình mũ vô nghiệm

Các công thức phương trình mũ cơ bản cần nhớ để áp dụng bài tập phương trình mũ và logarit nâng cao:

Để giải phương trình mũ, các em cần ghi nhớ các công thức cơ bản của số mũ phục vụ áp dụng trong các bước biến đổi. Công thức mũ cơ bản được tổng hợp trong bảng sau:

Ngoài ra, các tính chất của số mũ cũng là một phần kiến thức cần nhớ để giải phương trình mũ và logarit nâng cao. Tổng hợp tính chất của số mũ được VUIHOC liệt kê theo bảng dưới đây:

Các em cần lưu ý khi giải phương trình mũ và logarit nâng cao, các tính chất trên áp dụng khi số mũ đó đã xác định nhé!

1.2. Lý thuyết phương trình logarit

Về định nghĩa:

Với cơ số a dương và khác 1 thì phương trình có dạng như sau được gọi là phương trình logarit cơ bản: $log_ax=b$

Ta thấy vế trái của phương trình là hàm đơn điệu có miền giá trị là $\Rightarrow $. Vế phải phương trình là một hàm hằng. Vì vậy phương trình logarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất. Theo định nghĩa của logarit ta dễ dàng suy ra nghiệm đó là $x=a^b$

Với điều kiện 0<a ≠ 1, ta có các phương trình logarit cơ bản như sau:

Đối với phương trình logarit, chúng ta cần lưu ý thêm các công thức để giải phương trình mũ và logarit nâng cao dưới đây:

1. Một số phương pháp áp dụng giải phương trình mũ và logarit nâng cao

Có nhiều em học sinh nghĩ rằng để giải các bài tập phương trình mũ và logarit nâng cao, ta cần biết nhiều các công thức và định lý nâng cao mới có thể giải được. Thực tế không phải vậy, cách giải các bài tập phương trình mũ và logarit nâng cao chính là nắm

2.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số

Đây là phương pháp được sử dụng rất phổ biến trong các bài tập phương trình mũ và logarit nâng cao và cơ bản. Các em cần nắm được hai dạng cơ bản sau:

Chú ý: Việc lựa chọn điều kiện f(x)>0 hoặc g(x)>0 tuỳ thuộc vào độ phức tạp của f(x)>0 và f(x)>0

2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình mũ và logarit nâng cao

Đây là phương pháp giải phương trình mũ và logarit nâng cao thường gặp trong các đề thi. Chúng ta thường sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ. Khi sử dụng cách giải phương trình mũ và logarit này, ta cần thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Đưa phương trình mũ và logarit về dạng ẩn phụ quen thuộc
• Bước 2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ
• Bước 3: Giải phương trình với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện
• Bước 4: Thay giá trị t tìm được vào giải phương trình
• Bước 5: Kết luận

Đối với phương trình mũ, các phép ẩn phụ thường gặp như sau:

Dạng 1: Các số hạn trong phương trình mũ có thể biểu diễn qua $a^{f(x)}$ nên ta đặt $t=a^{f(x)}$

Lưu ý trong loại này ta còn gặp một số bài mà sau khi đặt ẩn phụ ta thu được 1 phương trình vẫn chứa x. Khi đó, ta gọi đó là các bài toán đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

Dạng 2: Phương trình mũ đẳng cấp bậc n đối với $a^{nf(x)}$ và  $b^{nf(x)}$

Với dạng này, ta sẽ chia cả 2 vế của phương trình mũ cho $a^{nf(x)}$ hoặc $b^{nf(x)}$ với n là số tự nhiên lớn nhất có trong phương trình mũ. Sau khi chia ta sẽ đưa được phương trình mũ về dạng 1.

Dạng 3: Trong phương trình có chứa 2 cơ số nghịch đảo

• Loại 1: $A.a^{f(x)}+B.b^{f(x)}+C=0 với a.b=1$

=> Đặt ẩn phụ $t=a^{f(x)} \Rightarrow b^{f(x)}= \frac{1}{t}$

• Loại 2: $A.a^{f(x)}+B.b^{f(x)}+C=0 với a.b=c^2$

=> Chia 2 vế của phương trình mũ cho $c^{f(x)}$ và đưa về cùng cơ số.

Đối với phương trình logarit, khi đặt ẩn phụ, chúng ta cần chú ý xem miền giá trị của ẩn phụ để đặt điều kiện cho ẩn phụ hoặc không. Ta có công thức tổng quát như sau:

Phương trình dạng: $Q[log_af(x)]=0$ -> Đặt $t=log_ax (x\in \Rightarrow)$

2.3. Mũ hóa - logarit hóa giải phương trình mũ và logarit nâng cao

Ta có thể giải một phương trình có 2 vế luôn dương bằng cách lấy logarit/mũ hai vế theo cùng một cơ số thích hợp:

Lưu ý: Phương pháp này rất hiệu quả khi hai vế của phương trình có dạng tích các luỹ thừa

2.4. Sử dụng hàm số giải phương trình mũ và logarit nâng cao

Ta sử dụng các tính chất sau để giải phương trình mũ và logarit nâng cao:

Tính chất 1: Nếu hàm f(x) tăng (hoặc giảm) trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k có không quá 1 nghiệm trong khoảng (a;b).

Các bước thực hiện cụ thể:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f(x)=k

Bước 2: Xét hàm số y=f(x). Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu (giả sử đồng biến)

Bước 3: Nhận xét

• Với $x=x_0$ khi và chỉ khi $f(x)=f(x_0)=k$, do đó $x=x_0$ là nghiệm

• Với $x>x_0$ khi và chỉ khi $f(x)>f(x_0)$ khi và chỉ khi $f(x)>k$, do đó phương trình vô nghiệm

• Với $x<x_0$ khi và chỉ khi $f(x)<f(x_0)$ khi và chỉ khi $f(x)<k$, do đó phương trình vô nghiệm

Bước 4: Vậy $x=x_0$ là nghiệm duy nhất của phương trình

Tính chất 2: Nếu $f(x)$ tăng trong khoảng $(a;b)$ và hàm $g(x)$ là hàm hằng hoặc là 1 hàm giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình $f(x)=g(x)$ có nhiều nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $(a;b)$ (do đó nếu tồn tại $x_0(a;b): f(x_0)=g(x_0)$ thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình $f(x)=g(x)$

2. Ví dụ giải bài tập phương trình mũ và logarit nâng cao

Các ví dụ bài tập phương trình mũ và logarit nâng cao sau đây đều áp dụng phối hợp các phương pháp giải đã nêu trên để xử lý biến đổi. Các em chú ý cách giải của từng dạng bài để học cách phân biệt và áp dụng phương pháp làm bài phù hợp nhé!

4. Bài tập luyện tập phương trình mũ và logarit nâng cao

Để thành thạo hơn phương trình mũ và logarit nâng cao, các em tải file dưới đây về để luyện tập hằng ngày nhé!

Tải xuống file bài tập phương trình mũ và logarit nâng cao có giải chi tiết

Dưới đây là video bài giảng về phương trình mũ và logarit nâng cao của thầy Thành Đức Trung. Các em đừng bỏ qua vì trong này có rất nhiều tip giải nhanh, ăn điểm 8+ các đề thi đại học rất thú vị đó nhé!

Bài viết trên đây tổng hợp toàn bộ kiến thức bao gồm lý thuyết và các dạng bài tập phương trình mũ và logarit nâng cao. Chúc các em ôn tập thật tốt!