Nắm trọn kiến thức pt mũ và logarit

Tác giả Minh Châu 14:27 01/12/2023 41,070 Tag Lớp 12

Kiến thức pt mũ và logarit rất đặc trưng cho chương trình học toán 12 THPT. Để nắm trọn phần kiến thức này, các em không chỉ cần mỗi luyện tập các dạng bài tập mà còn cần nắm vững lý thuyết, vững bản chất của pt mũ logarit. Trong bài viết dưới dây, VUIHOC sẽ cùng các em tổng kết để nắm trọn kiến thức pt mũ và logarit nhé!

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

Trước khi đi vào chi tiết, các em theo dõi bảng dưới đây để nắm được những nhận định chung về kiến thức pt mũ logarit trong đề thi THPTQG (Dự kiến) nhé:

tổng quan về pt mũ và logarit

Dưới đây là link tài liệu tổng hợp toàn bộ lý thuyết về pt mũ và logarit đã được chọn lọc những phần quan trọng nhất mà các em cần nắm vững. Nhớ tải về nhé!

Tải xuống file tổng hợp lý thuyết về pt mũ và logarit

1. Tổng quan lý thuyết pt mũ và logarit

Lý thuyết về pt mũ logarit là vùng kiến thức rất quen thuộc đối với các em học sinh THPT. Tuy nhiên, các em không nên chủ quan bỏ qua ôn tập lý thuyết bởi vì từ đây các em mới có nền tảng xử lý các bài tập từ cơ bản đến vận dụng cao về pt mũ logarit. Tại phần này, VUIHOC sẽ tổng hợp từng phần lý thuyết kèm với công thức tổng quát của pt mũ và logarit.

1.1. Lý thuyết về pt mũ trong vùng kiến thức pt mũ logarit

Về định nghĩa:

Phương trình mũ là phương trình chứa ẩn số ở số mũ của luỹ thừa. Pt mũ cơ bản có dạng tổng quát là $a^x=b (0<a\neq 1)$

Nếu b nhỏ hơn hoặc bằng 0, phương trình vô nghiệm
Nếu b lớn hơn 0, phương trình có nghiệm duy nhất $x=log_ab$

Một số công thức biến đổi mũ phục vụ cho việc giải phương trình mũ được VUIHOC tổng hợp tại bảng dưới đây:

$1. a^{n} = \underset{n thua so}{a.a.a....a}$	$7. (\frac{a}{b})^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$
$2. a^{0} = 1$ $\forall a \neq 0$	$8. (a^{m})^{n} = (a^{n})^{m} = a^{m.n}$
$3. a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$	$9. \sqrt[n]{a^{m}} = (\sqrt[n]{a})^{m} = a^{\frac{m}{n}}$
$4. a^{m} . a^{n} = a^{m - n}$	$10. \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$
$5. \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$	$11. a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}$
$6. (a.b)^{n} = a^{n}.b^{n}$	$12. \sqrt[n]{a^{n}} = \left\{\begin{matrix} a, n = 2k + 1\\ \|a\|, n = 2k \end{matrix}\right.$

1.2. Lý thuyết về phương trình logarit

Về định nghĩa:

Với cơ số a dương và khác 1 thì phương trình có dạng như sau được gọi là phương trình logarit cơ bản: $log_ax=b$

Ta thấy vế trái của phương trình là hàm đơn điệu có miền giá trị là $\mathbb{R}$ . Vế phải phương trình là một hàm hằng. Vì vậy phương trình logarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất. Theo định nghĩa của logarit ta dễ dàng suy ra nghiệm đó là: $x=a^b$

Với điều kiện $0<a\neq 1$ , ta có các phương trình logarit cơ bản như sau:

1. log_ax = b $\Leftrightarrow$ x = a^b

2. log_af(x) = log_ag(x) $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} f(x), g(x) > 0\\ g(x) > 0 \end{matrix}\right.$

3. log_f(x)g(x) = b $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0 < f(x) \neq 1\\ g(x) = f(x)^{2} \end{matrix}\right.$

4. log_af(x) $\geq$ log_ag(x) (*)

Nếu a > 1 thì phương trình (*) $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x) > g(x)\\ g(x) > 0 \end{matrix}\right.$

Nếu 0 < a < 1 thì phương trình (*) $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x) < g(x)\\ f(x) > 0 \end{matrix}\right.$

Lưu ý: log_af(x) có nghĩa $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x) > 0 \\ 0 < a \neq 1 \end{matrix}\right.$

Một số công thức biến đổi logarit vận dụng để giải phương trình logarit được VUIHOC tổng hợp tại bảng sau đây, các em lưu ý nhé:

1. log_a1 = 0, log_aa = 1	6. $log_{a}(\frac{x}{y}) = -log_{a}(\frac{y}{x})$
2. log_aa^m = m	7. $log_{a}x^{\alpha } = \alpha log_{a}x$ , log_ax² = 2log_ax² = 2log_a\|x\|
^3.	8. $log_{a^{\alpha }} = \frac{1}{\alpha }log_{a}x, log_{a^{\beta }}x^{\alpha } = \frac{\alpha }{\beta }log_{a}x$
4. log_a(x,y) = log_ax + log_ay	9. lg b = logb = log₁₀b (logarit thập phân)
5. $log_{a}(\frac{x}{y}) = log_{a}x - log_{a}y$ , $log_{a}(\frac{1}{y}) = -log_{a}y$	10. ln b = log_eb (e = 2,718....) (logarit tự nhiên hay log nêpe)

2. Tổng hợp các dạng bài tập pt mũ và logarit

Nhìn chung, các dạng bài tập pt mũ logarit đều ở mức độ thông hiểu, khung điểm từ 7-8 trong đề thi THPT Quốc gia. Mỗi dạng bài tập pt mũ và logarit đều có những phương pháp giải khác nhau cần các em lưu ý những đặc điểm chính của từng dạng và áp dụng chính xác.

2.1. Dạng bài tập phương trình mũ cơ bản

Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

Phương pháp đưa về cùng cơ số - pt mũ

Ta cùng xét ví dụ sau đây về phương pháp giải đưa về cùng cơ số đối với pt mũ:

Ví dụ: $a^{x+1}.4^{x-1}.\frac{1}{8^{1-x}}=16^x$

Giải:

$2^{x+1}.2^{2(x-1)}.\frac{1}{2^{3(1-x)}}=2^{4x}\Leftrightarrow 2^{x+1+2x-2-3+3x}=2^{4x}\Leftrightarrow 6x-4=4x\Leftrightarrow x=2$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=2$

Ví dụ phương pháp đưa về cùng cơ số - pt mũ

Dạng 2: Giải pt mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Đối với dạng bài đặt ẩn phụ, chúng ta luôn cần chú ý các điều kiện để cho phương trình có nghĩa. Công thức chung để giải dạng bài này như sau:

Công thức dạng toán đặt ẩn phụ

Ta cùng áp dụng các công thức trên để giải ví dụ sau:

Ví dụ phương pháp đặt ẩn phụ giải pt mũ

Ví dụ 2 -đặt ẩn phụ giải pt mũ - đề bài

Ví dụ 2 -đặt ẩn phụ giải pt mũ - giải

Dạng 3: Phương pháp logarit hoá

Khi giải pt mũ và logarit, chắc chắn ta sẽ gặp các bài toán cần phải mũ hoá hoặc logarit hoá để khử mũ hoặc khử loga. Đối với phương trình mũ, logarit hoá là phương pháp cơ bản và rất dễ để xử lí bài toán.

phương pháp logarit hoá

Xét ví dụ minh hoạ về phương pháp logarit hoá như sau:

Ví dụ minh hoạ pp logarit hoá

Dạng 4: Phương pháp hàm số

Giả sử $y=f(x)$ là hàm liên tục trên miền .

- Nếu hàm số $y=f(x)$ luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên thì:

Phương trình $f(x)=k$ có không quá một nghiệm trên .

$f(u)=f(v)\Leftrightarrow u=v,\forall u,v\in D$.

- Nếu hàm số $y=f(x)$ luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến), còn hàm số $y=g(x)$ luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) với $x\in D$ thì phương trình $f(x)=g(x)$ với $x\in D$ có nhiều nhất một nghiệm.

- Nếu hàm số $y=f(x)$ có $f'(x)$ luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) với $x\in D$ (tức là $f''(x)>0$ hoặc $f''(x)<0$ với $x\in D$) thì phương trình $f(x)=k$ có nhiều nhất là hai nghiệm.

Ta xét ví dụ sau đây:

Ví dụ pp hàm số - đề bài

Ví dụ pp hàm số - giải

Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi THPT đạt 9+ sớm ngay từ bây giờ

2.2. Dạng bài tập phương trình logarit cơ bản

Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

Một lưu ý nhỏ cho các em khi làm bài tập về pt mũ logarit, đó là trong quá trình biến đổi để tìm ra cách giải pt logarit, chúng ta thường quên việc kiểm soát miền xác định của phương trình. Vì vậy để cho an toàn thì ngoài phương trình logarit cơ bản, các bạn nên đặt điều kiện xác định cho phương trình trước khi biến đổi.

Phương pháp giải dạng toán này như sau:

Trường hợp 1: $Log_af(x)=b => f(x)=a^b$
Trường hợp 2: $Log_af(x)=log_ag(x) khi và chỉ khi f(x)=g(x)$

Ta cùng xét ví dụ sau để rõ hơn về cách giải pt logarit bằng cách đưa về cùng cơ số:

Ví dụ giải pt logarit bằng cách đưa về cùng cơ số

Dạng 2: Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

Ở cách giải pt logarit này, khi đặt ẩn phụ, chúng ta cần chú ý xem miền giá trị của ẩn phụ để đặt điều kiện cho ẩn phụ hoặc không. Ta có công thức tổng quát như sau:

Phương trình dạng: $Q[log_af(x)]=0$ -> Đặt $t=log_ax$ $(x\in\mathbb{R})$

Các em cùng VUIHOC xét ví dụ sau đây:

Ví dụ giải pt logarit bằng cách đặt ẩn phụ

Dạng 3: Mũ hoá giải pt logarit

Bản chất của việc giải phương trình logarit cơ bản (ở trên) cũng là mũ hóa 2 vế với cơ số a. Trong 1 số trường hợp, phương trình có cả loga có cả mũ thì ta có thể thử áp dụng mũ hóa 2 vế để giải.

Phương trình $log_af(x)=log_bg(x) (a>0, a\neq 1)$

Ta đặt $log_af(x)=log_bg(x)=t$ => Hoặc $f(x)=a^t$ hoặc $g(x)=b^t$

=> Đưa về dạng phương trình ẩn $t$.

vi dụ mũ hoá giải pt logarit

Dạng 4: Cách giải phương trình logarit bằng đồ thị

Giải phương trình: $log_ax=f(x) (0<a\neq 1)$ (Đây là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị $y=log_ax (0<a\neq 1)$ và $y=f(x)$. Khi đó ta thực hiện 2 bước:

Bước 1: Vẽ đồ thị các hàm số: $y=log_ax (0<a\neq 1)$ và $y=f(x)$
Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị

Ta có ví dụ minh hoạ về phương pháp giải pt logarit này như sau:

Giải phương trình: log₃[(x + 1)³ + 3(x + 1)² + 3x + 4] = 2log₂(x + 1)

Điều kiện: x > -1

Phương trình đã cho tương đương log₃(x + 2)³ = 2log₂(x + 1) hay 3log₃(x + 2) = 2log₂(x + 1)

Đặt 3log₃(x + 2) = 2log₂(x + 1) = 6t

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x + 2 = 3^{2t}\\ x + 1 = 2^{3t} \end{matrix}\right. \Rightarrow 9^{t} - 8^{t} = 1$

tức $(\frac{1}{9})^{t} + (\frac{8}{9})^{t} = 1 (*)$

Ta xét hàm số:

$f(t) = (\frac{1}{9})^{t} + (\frac{8}{9})^{t}$

Ta thấy hàm f(t) nghịch biến, ta lại có f(1) = 1 nên t = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình *

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 7

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

3. Bài tập áp dụng

Học lý thuyết không thể thiếu các bài tập luyện tập. VUIHOC gửi tặng các em file bài tập tổng hợp pt mũ và logarit đầy đủ các dạng kèm lời giải chi tiết được thầy cô chuyên môn chọn lọc và biên soạn. Các em nhớ tải về theo link dưới đây nhé!

Tải xuống bài tập tổng hợp pt mũ logarit có lời giải

Để hiểu rõ hơn và học thêm các mẹo làm bài siêu hay từ thầy giáo Thành Đức Trung, các em cùng xem video clip dưới đây và lấy giấy bút ra học cùng thầy nhé. Phần 2 và phần 3 của bài học pt mũ logarit có ở trên kênh youtube VUIHOC.VN THPT, các em nhớ đón xem nhé!