Thủ thuật tìm tập xác định của hàm số mũ và logarit siêu nhanh

Tác giả Minh Châu 11:44 30/09/2024 280,431 Tag Lớp 12

Tập xác định của hàm số mũ và logarit là một bước nhỏ nhưng rất quan trọng trong các bài tập liên quan đến hàm số mũ và logarit. Các em cần đặt mục tiêu không tốn quá nhiều thời gian để giải bước này, nhưng cũng cần tính chính xác cao. Trong bài viết này, VUIHOC sẽ hướng dẫn các em tìm tập xác định của hàm số mũ và logarit chỉ trong 3 bước đơn giản.

Thủ thuật tìm tập xác định của hàm số mũ và logarit siêu nhanh

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

Trước khi đi vào chi tiết bài viết, các em cùng đọc bảng sau để có cái nhìn tổng quan nhất về độ khó và phần kiến thức cần nắm về dạng bài tập xác định của hàm số mũ và logarit:

Tổng quan về tập xác định của hàm số mũ và logarit

Chi tiết hơn, VUIHOC đã tổng hợp giúp các em toàn bộ lý thuyết về hàm số mũ và logarit nói chung và dạng bài tìm tập xác định của hàm số mũ và logarit nói riêng. Các em nhớ tải về để ôn tập nhé!

Tải xuống file tổng hợp lý thuyết hàm số mũ và logarit - tập xác định

1. Tổng ôn lý thuyết hàm số mũ và logarit

1.1. Lý thuyết về hàm số mũ

Hiểu đơn giản, hàm số mũ nghĩa là hàm số trong đó có chứa biểu thức mũ, mà biến số hoặc biểu thức chứa biến nằm ở phần mũ. Theo kiến thức đã được học, Hàm số $y=f(x)=a^x$ với a là số thực dương khác 1 được gọi là hàm số mũ với cơ số a.

Một số ví dụ về hàm số mũ: $y=2^{x^2-x-6}, y=10^x,...$

Về đạo hàm của hàm số mũ, ta có công thức như sau:

đạo hàm hàm số mũ

Lưu ý: Hàm số mũ luôn có hàm ngược là hàm logarit

Chúng ta cùng xét hàm số mũ dạng tổng quát $y=a^x$ với a > 0, $a\neq 1$ có tính chất sau:

Tập xác định	$(-\infty ; +\infty )$
Đạo hàm	y' = a^xlna
Chiều biến thiên	a > 1: Hàm số luôn đồng biến 0 < a < 1: Hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận	Trục Ox là tiệm cận ngang
Đồ thị	Đi qua các điểm (0; 1) và (1; a), nằm phía trên trục hoành (y = a^x > 0, $\forall$ x $\in \mathbb{R}$

Về đồ thị:

Đồ thị của hàm số mũ được khảo sát và vẽ dạng tổng quát như sau:

Xét hàm số mũ $y= a^x (a>0; a\neq 1)$ .

• Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ .

• Tập giá trị: T = (0; +∞).

• Khi $a>1$ hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.

Khảo sát đồ thị:

+ Đi qua điểm (0;1)

+ Nằm phía trên trục hoành.

+Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

• Hình dạng đồ thị:

đồ thị hàm số mũ

Chú ý: Đối với các hàm số mũ như $(\frac{1}{2})^x, y=10^x, y=e^x, y=2^x$ đồ thị của hàm số mũ sẽ có dạng đặc biệt như sau:

đồ thị hàm số mũ đặc biệt

1.2. Lý thuyết về hàm số logarit

Vì đều có “xuất thân” từ hàm số, cho nên tập xác định của hàm số mũ và logarit có những nét tương đồng nhau trong định nghĩa. Hàm logarit nói theo cách hiểu đơn giản là hàm số có thể biểu diễn được dưới dạng logarit. Theo chương trình Đại số THPT các em đã được học, hàm logarit có định nghĩa bằng công thức như sau:

Cho số thực a>0, $a\neq 1$ , x > 0, hàm số $y=log_ax$ được gọi là hàm số logarit cơ số a.

Về đạo hàm, logarit có các công thức như sau:

Cho hàm số $y=log_ax$ . Khi đó đạo hàm hàm logarit trên là:

$y' = \frac{1}{xlna}$

Trường hợp tổng quát hơn, cho hàm số $y=log_au(x)$ . Đạo hàm hàm số logarit là:

$y' = \frac{u'(x)}{u(x)lna}$

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số logarit:

Xét hàm số logarit $y = log_ax (a > 0; a \neq 1,x > 0)$ , ta khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước sau:

• Tập xác định: D = (0; +∞).

• Tập giá trị: $T=\mathbb{R}$

• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.

• Khảo sát hàm số:

+ Đi qua điểm (1; 0)

+ Nằm ở bên phải trục tung

+Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

• Hình dạng đồ thị:

đồ thị hàm logarit

Nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán thi THPT Quốc Gia với bộ tài liệu độc quyền của VUIHOC ngay!!!

2. Cách tìm tập xác định của hàm số mũ và logarit

2.1. Các bước tìm tập xác định của hàm số mũ kèm ví dụ minh hoạ

Hiểu đơn giản, tập xác định của hàm số mũ là tập giá trị làm cho hàm số mũ có nghĩa.

Với hàm số mũ $y=a^x(a>0, a\neq 1)$ thì không có điều kiện. Nghĩa là tập xác định của nó là $\mathbb{R}$ .

Vì vậy khi chúng ta gặp bài toán tìm tập xác định của hàm số:

y = a^u(x) (a > 0, a $\neq$ 1)

Thì ta chỉ viết điều kiện để cho u(x) xác định.

Để tìm tập xác định của hàm số mũ, chúng ta thực hiện lần lượt theo 3 bước sau đây:

Xét hàm số mũ $y=a^{u(x)} (a>0, a\neq 1)$

Bước 1: Chỉ ra điều kiện hàm mũ trên là không có điều kiện

Bước 2: Viết điều kiện để u(x) xác định

Bước 3: Giải các phương trình, hệ phương trình được chỉ ra từ bước 2 và kết luận tập nghiệm

Để hiểu rõ cách áp dụng lý thuyết để giải bài tập, ta cùng xét ví dụ minh hoạ sau:

Ví dụ: Tìm tập xác định D của hàm số sau:

$y = (\frac{x + 2}{x - 2})^{-2018} - 3(16 - x^{2})^{1 - \sqrt{8}} + 3$

Hàm số trên xác định khi và chỉ khi:

$\left\{\begin{matrix} x + 2 \neq 0\\ x - 2 \neq 0 \\ 16 - x^{2} > 0 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \neq -2\\ x \neq 2 \\ -4 < x < 4 \end{matrix}\right.$

Vậy tập xác định cảu hàm số D là (-4; 4)\ {-2; 2}

2.2. Các bước tìm tập xác định của hàm số logarit kèm ví dụ minh hoạ

Xét hàm số $y=log_ax$ , ta có 3 điều kiện hàm logarit ở dạng tổng quát như sau:

$0<a\neq 1$
Xét trường hợp hàm số $y=log_a[U(x)]$ điều kiện U(x)>0. Nếu a chứa biến x thì ta bổ sung điều kiện $0<a\neq 1$
Xét trường hợp đặc biệt: $y=log_a[U(x)]^n$ điều kiện U(x)>0 nếu n lẻ; $U(x)\neq 0$ nếu n chẵn.

Tổng quát lại: $y=log_au(x) (a>0, a\neq 1)$ thì điều kiện xác định là u(x)>0 và u(x) xác định.

Để tìm nhanh tập xác định của hàm số logarit, các em cần thực hiện theo các bước như sau:

Xét hàm số logarit $y=log_au(x) (a>0,a\neq 1)$

Bước 1: Tìm điều kiện xác định hàm logarit u(x)

Bước 2: Tìm x sao cho u(x) > 0

Bước 3: Giải các phương trình, hệ phương trình được chỉ ra từ bước 2 và kết luận tập nghiệm

Các em cùng VUIHOC xét ví dụ sau đây để rõ cách tìm tập xác định của hàm số logarit:

Ví dụ: Tìm tập xác định D của hàm số có dạng: y = log(x² - 6x +5)

Hàm số trên có nghĩa khi và chỉ khi

x² - 6x + 5 > 0

x > 5 hoặc x <1

Vậy tập xác định $D = (-\infty ; 1) \cup (5; +\infty )$

3. Bài tập áp dụng tìm tập xác định của hàm số mũ và logarit

Để giải nhanh các bài tập tìm tập xác định của hàm số mũ và logarit, các em cần làm thật nhiều bài tập dạng này để thành thạo hơn. VUIHOC gửi tặng các em file tổng hợp toàn bộ các dạng bài tìm tập xác định của hàm số mũ và logarit chọn lọc kèm giải chi tiết. Các em nhớ đừng bỏ qua nhé!

Tải xuống file bài tập hàm số mũ và logarit siêu chi tiết có giải

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Các em vừa cùng VUIHOC ôn tập lý thuyết và thực hành các bài tập về tập xác định của hàm số mũ và logarit. Chúc các em ôn tập thật tốt và đạt điểm cao!

Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết