Công Thức Tính Thể Tích Khối Nón: Tròn Xoay, Cụt Và Bài Tập (Có Lời Giải)

1. Khối nón (hình nón) là gì?

Một hình được gọi là hình nón (khối nón) là khối hình hình học không gian 3 chiều có bề mặt cong và bề mặt phẳng hướng về phía trên. Hình nón được phân ra thành 2 phần: phần đầu nhọn là đỉnh và phần đáy chính là phần hình tròn mặt phẳng.

Trong đời sống chúng ta sẽ bắt gặp rất nhiều vật dụng hình nón như: mũ sinh nhật, que kem ốc quế,... 

Hình nón gồm có 3 thuộc tính gồm: một đỉnh hình tam giác, một mặt tròn là đáy hình nón và nó không có bất kỳ cạnh nào.

Chiều cao (h) chính là khoảng cách từ tâm vòng tròn đến đỉnh hình nón. Hình được tạo bởi bán kính và đường cao trong hình nón chính là tam giác vuông.

2. Các loại hình nón phổ biến hiện nay

Hình nón có 3 loại phổ biến trong hiện nay, điều này tùy thuộc vào vị trí của đỉnh nằm nghiên hay nằm thẳng.

• Hình nón tròn xoay: Là hình nón có đỉnh nối vuông góc với mặt đáy tâm hình tròn.

• Hình nón cụt: Là hình nón có 2 hình tròn song song nhau.

• Hình nón xiên: Là hình nón có đỉnh không kéo vuông góc với tâm hình tròn mà có thể kéo từ 1 điểm bất kỳ mà không phải tâm của hình tròn mặt đáy.

Vậy tính thể tích khối nón như thế nào? Công thức tính thể tích khối nón được tính theo công thức nào? Các bạn học sinh hãy cùng theo dõi phần tiếp theo nhé!

3. Công thức tính thể tích khối nón

Để tính được thể tích hình nón chúng ta có công thức tính thể tích khối nón như sau:

Thể tích khối nón tính bằng 1/3 giá trị Pi nhân với bình phương bán kính đáy mặt nón và nhân chiều cao của hình nón.

$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$

Trong đó ta có:

• V: Thể tích hình nón
• π: = 3,14
• r: Bán kính 
• h: Đường cao

Ví dụ: Tính thể tích khối nón biết khối nón có độ dài đường sinh là 5 cm, bán kính R hình tròn đáy bằng 3 cm. 

Giải:

Gọi O là đỉnh khối nón, A là điểm thuộc đường tròn đáy, H là tâm của hình tròn. Ta có HA = 3 cm, OA = 5 cm, 

Trong tam giác vuông OHA, tính được OH

$OH=\sqrt{OA^{2}-HA^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$

$V=\frac{1}{3}\pi.R^{2}.h=\frac{1}{3}\pi.3^{2}.4=12\pi (cm^{3})$

$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h = V = 12\pi = 37,68 m^{3}$

>>>Đăng ký ngay để được thầy cô hướng dẫn ôn tập, nắm chắc kiến thức khối tròn xoay một cách dễ dàng nhất<<<

4. Công thức tính thể tích khối nón tròn xoay

Thể tích khối nón tròn xoay được tính bằng công thức như sau:

$V=\frac{1}{3}B.h=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$

• B: Diện tích đáy 
• r: Bán kính đáy 
• h: Chiều cao hình nón

5. Công thức tính thể tích khối nón cụt (hình nón cụt)

Thể tích khối nón cụt được tính bằng hiệu của thể tích hình nón lớn và hình nón nhỏ, như sau:

$V=\frac{1}{3}\pi (r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1}.r_{2})$

• V: Thể tích hình nón cụt
• $r_{1}, r_{2}$: Bán kính 2 đáy
• h: Chiều cao 

6. Công thức tính diện tích xung quanh hình nón

Chúng ta đã được biết công thức tính thể tích khối nón, hình nón cụt, hình nón tròn xoay. Và để tính diện tích xung quanh hình nón, ta cấn tính diện tích các mặt xung quanh, bao quanh hình nón và không bao gồm diện tích đáy.

Công thức diện tích xung quanh hình nón được tính theo công thức sau:

Sxq = π.r.l

Trong đó:

• S_xq: Diện tích xung quanh
• r: Bán kính đáy 
• l: Độ dài đường sinh

7. Cách xác định đường sinh, đường cao và bán kính đáy

• Đường cao h là khoảng cách từ tâm mặt đáy đến đỉnh hình chóp.

• Đường sinh l là khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ trên đường tròn đáy đến đỉnh hình chóp.

Do hình nón được tạo thành khi quay một tam giác vuông quanh trục một cạnh góc vuông của nó nên có thể bán kính đáy và đường cao là 2 cạnh góc vuông của tam giác, đường sinh là cạnh huyền. Nên khi biết đường cao h và bán kính đáy, ta tính được đường sinh bằng công thức như sau:

$l = \sqrt{r^{2}+h^{2}}$

Biết bán kính và đường sinh, ta tính đường cao:

$h = \sqrt{l^{2}-r^{2}}$

Khi ta được biết đường cao và đường sinh, ta tính bán kính đáy theo công thức sau:

$r = \sqrt{l^{2}-h^{2}}$ 

8. Một số bài tập tính thể tích khối nón từ cơ bản đến nâng cao

Bài 1: Cho khối nón có đỉnh là O có độ dài đường sinh bằng 5 cm, bán kính hình tròn đáy là 3 cm. Tính thể tích khối nón.

l = 5 cm R = 3 cm 

Gọi O là đỉnh khối nón

H là tâm hình tròn

A là điểm thuộc đường tròn đáy

Theo đề bài ta có OA = 5 cm, HA = 3 cm

Trong tam giác vuông OHA, có:

$OH=\sqrt{OA^{2}-HA^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$

$V=\frac{1}{3}\pi.R^{2}.h=\frac{1}{3}\pi.3^{2}.4=12\pi (cm^{3})$

Thể tích khối nón là: $37,68 cm^{3}$

Bài 2: Tính thể tích khối nón? Biết tứ diện đều ABCD có đỉnh A và có đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và các cạnh bằng a. 

Bài giải :

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD, ta có AO = h, OC = r như hình bên

$\Rightarrow r=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Suy ra

$h= \sqrt{a^{2}-r^{2}}=\sqrt{a^{2}-(\frac{a\sqrt{3}}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{3}}$

Vậy thể tích khối nón là:

$V=\frac{1}{3}\pi.R^{2}.h=\frac{1}{3}\pi.\frac{a^{2}}{3}.\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}=\frac{\pi\sqrt{6}a^{3}}{27}$

Bài 3: Hãy tính thể tích khối nón khi cho hình nón N có góc ở đỉnh bằng 60 độ, mặt phẳng qua trục của hình nón, cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng 2.

Bải giải :

Tam giác SAB đều, có góc S bằng 60 độ, SA = SB. Trọng tâm tam giác là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.  

Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB là:

$r=\frac{2}{3}SO=2\Leftrightarrow SO=3$

Mà SO=SA.sin 60^o 

$\Rightarrow SA=\frac{SO}{Sin 60^{\circ}}$

$=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$

Bán kính của đường tròn khối nón là:

$R=\frac{AB}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

Ta áp dụng công thức tính thể tích khối nón như sau :

$V=\frac{1}{3}\pi(\sqrt{3})^{2}.3=3\pi$

Vậy V khối nón là: 3 x 3.14 = 9,42 Cm³

Bài 4: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 5cm, bán kính hình tròn đáy là 3cm. Tính thể tích khối nón. Với l = 5 cm, R = 3 cm

Giải

Gọi O là đỉnh khối nón

      H là tâm hình tròn 

      A là điểm thuộc đường tròn đáy

OA = 5cm, HA = 3cm

Trong tam giác vuông OHA,

$OH=\sqrt{OA^{2}-HA^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$

$V=\frac{1}{3}\pi.R^{2}.h=\frac{1}{3}\pi.3^{2}.4=12\pi (cm^{3})$

Bài 5: Cho ABC vuông tại A, AB = 8cm, BC = 10cm, Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho đường gấp khúc

a) ACB quay quanh AB.

b) ABC quay quanh AC.

Giải

Trong tam giác vuông ABC,

$AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$ (cm)

a) Khi đường gấp khúc ACB quay quanh AB ta được hình nón có chiều cao h=AB=8(cm), bán kính R=AC=6(cm).

$V=\frac{1}{3}\pi.R^{2}.h=\frac{1}{3}.6^{2}.8=96\pi (cm^{3})$

b) Khi đường gấp khúc ABC quay quanh AC ta được hình nón có chiều cao h = AC = 6(cm), bán kính R = AB = 8(cm).

$V=\frac{1}{3}\pi.R^{2}.h=\frac{1}{3}\pi.8^{2}.6=128\pi (cm^{3})$

Trên đây là toàn bộ kiến thức và công thức về thể tích khối nón. Hy vọng rằng sau bài viết, các bạn học sinh có thể áp dụng công thức Toán hình 12 để giải các bài tập thật chính xác. Để học và ôn tập nhiều hơn những phần kiến thức lớp 12, hãy truy cập ngay nền tảng học online Vuihoc.vn và đăng ký khóa học ngay từ hôm nay!

>> XEM THÊM:

• 12 Công thức tính thể tích khối chóp kèm ví dụ cụ thể
• Công thức tính thể tích khối lăng trụ đứng và bài tập 
• Công thức tính thể tích khối cầu nhanh và chính xác nhất
• Công thức tính thể tích khối tròn xoay và bài tập vận dụng
• Công thức tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều và bài tập
• Công thức tính thể tích khối trụ tròn xoay và bài tập
• Công thức tính thể tích khối nón tròn xoay và bài tập