Cách Tính Tích Phân Hàm Lượng Giác Chi Tiết Và Bài Tập

1. Các dạng tích phân hàm lượng giác và cách tính

1.1. Dạng 1: Biến đổi lượng giác

Để làm được dạng bài này chúng ta có bảng công thức biến đổi tích phân hàm lượng giác dưới đây:

Ví dụ 1: Tính tích phân $\int sin3x.cos5x.dx$

Giải:

Ta có:

$\int sin3x.cos5x.dx=\frac{1}{2}\int (sin8x-sin2x)dx$
$=-\frac{1}{6}cos8x+\frac{1}{4}cos2x+C$

Ví dụ 2: Tính tích phân $\int \frac{1}{4cos^{4}x-4cos^{2}x+1}dx$

Giải:

Ta có:

$\int \frac{1}{4cos^{4}x-4cos^{2}x+1}dx=\int \frac{1}{(2cos^{2}x-1)^{2}}dx$
$=\int \frac{1}{cos^{2}2x}dx=tan2x+C$

Ví dụ 3: Tính  I=$\int cot^{2}xdx$

Giải:

Ta có:

 I=$\int cot^{2}xdx=\int (cot^{2}x+1-1)dx$
$=\int (cot^{2}x+1)dx-\int 1dx=-cotx-x+C$

1.2. Dạng 2: Đổi biến số dạng 1

Hàm số y = f[u(x)] liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số y = f(u) liên tục và hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định. Ta có:

I=$\int_{b}^{a}f\left [ u(x) \right ].u'(x)dx=\int_{u(b)}^{u(a)}f(u)du$

Từ công thức trên ta có bảng dấu hiệu nhận biết và cách tính tích phân hàm lượng giác sau đây:

Ví dụ 1: Tính tích phân $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin^{2}xcosxdx$

Giải:

Đặt u= sinx => du= cosx.dx

Đổi cận: x=0 => u(0)= 0; $x=\frac{\pi }{2}=>u(\frac{\pi }{2})=1$

Khi đó: I= =$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin^{2}xcosxdx=\int_{0}^{1}u^{2}du=\frac{1}{3}u^{3}=\frac{1}{3}$

Ví dụ 2: Tính tích phân I=$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}+2}sin(x-2)dx$

Giải:

Đặt t= x-2 => dt= dx

Đổi cận: x= $\frac{\pi }{2}+2=> t=\frac{\pi }{2}$ hoặc x=2 => t= 0

I=$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin(x-2)dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sint.dt=1$

Ví dụ 3: Tính tích phân I=$\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\frac{dx}{cosx(sinx-cosx)}$

Giải

I=$\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\frac{dx}{cosx(sinx-cosx)}=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\frac{dx}{cos^{2}x(tanx-1)}$

Đặt t= tanx => dt= $\frac{dx}{cos^{2}x}$

Đổi cận: x=$\frac{\pi }{6}=>t=\frac{\pi }{\sqrt{3}}$ hoặc x=0 => t=0

=> I= $\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\frac{dt}{t-1}=ln\frac{3-\sqrt{3}}{3}$

1.3. Dạng 3: Đổi biến số dạng 2

Cho hàm số y = f(x) liên tục, đạo hàm trên [a;b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm liên tục trên [α;β] sao cho φ(α) = a; φ(β) = b và a ≤ φ(t) ≤ b với mọi t ∈ [α;β]. Ta có:

I=$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha }^{\beta }f(\psi (t)).\psi(t)du$

Ví dụ 1: Tính I=$\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{dx}{\sqrt[3]{sin^{5}x.cosx}}$

Giải:

I=$\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{dx}{\sqrt[3]{sin^{5}x.cosx}}$

<=> I=$\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{sinx}{cosx}5}}.\frac{dx}{cos^{2}x}$
$=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}(tan)^{-\frac{5}{3}}.\frac{dx}{cos^{2}x}$

Đặt t= tanx => dx= $\frac{dx}{cos^{2}x}$

Đổi cận: x=$\frac{\pi }{4}$ => t=1 hoặc x=0 => t=0

I=$\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{-5}{t^{3}}dt=\frac{-3}{2}$

Ví dụ 2: Tính tích phân I=$\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\frac{dx}{cosx(sinx-cosx)}$

Giải: 

I=$\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\frac{dx}{cosx(sinx-cosx)}$

=$\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\frac{dx}{cos^{2}x(tanx-1)}$

Đặt: t= tanx => dx= $\frac{dx}{cos^{2}x}$

Đổi cận: x=$\frac{\pi }{6}=>t=\frac{\pi }{\sqrt{3}}$ hoặc x=0 => t=0

=> I= $\int_{0}^{\frac{\pi }{\sqrt{3}}}\frac{dx}{t-1}=ln\frac{3-\sqrt{3}}{3}$

Ví dụ 3: Tính tích phân I=$\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{dx}{sinx}$

Giải:

I=$\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{dx}{sinx}$

=$\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{dx}{2sin\frac{x}{2}.cos\frac{x}{2}}$

Đặt  t=$tan\frac{x}{2}$ => dx=$\frac{1}{2}.\frac{dx}{cos^{2}x}$

Đổi cận: x=$\frac{\pi }{2}=>t=1$ hoặc x=$\frac{\pi }{2}=>t=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 

=> I=$\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{1}\frac{dt}{t}=ln\sqrt{3}$

1.4. Dạng 4: Tích phân từng phần

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên [a;b] thì ta có tích phân từng phần là:

$\int_{a}^{b}u(x)v'dx=u(x)v(x)|\begin{matrix}b\\ a\end{matrix}-\int_{a}^{b}u'(x)v(x)dx$

Ví dụ 1: Tính tích phân I=$\int_{0}^{1}(1-x)e^{x}dx$

Giải:

Đặt u=1-x;  du=$e^{x}dx$

Ta có: du=-dx;   v=$e^{x}$

=> I=$\left ( 1-x \right )e^{x}|\begin{matrix}1\\ 0\end{matrix}+\int_{0}^{1}e^{x}dx$

=$\left ( 1-x \right )e^{x}|\begin{matrix}1\\ 0\end{matrix}+e^{x}|\begin{matrix}1\\ 0\end{matrix}$

Vậy I= e - 2

Ví dụ 2: Tính tích phân I=$\int_{1}^{2}\frac{lnx}{x^{2}}dx$

Giải:

Đặt u= Inx; dv=$\frac{dx}{x^{3}}$

Ta có: du=$\frac{dx}{x}$, chọn v=$-\frac{1}{2x^{2}}$

I=$-\frac{ln}{2x^{2}}|\begin{matrix}2\\ 1\end{matrix}+\int_{1}^{2}\frac{dx}{x^{3}}$
$=-\frac{ln2}{8}-\frac{1}{4x^{2}}|\begin{matrix}2\\ 1\end{matrix}=\frac{3-2ln2}{16}$

Ví dụ 3: Tính tích phân I=$\int_{2}^{1}\frac{lnx}{x^{2}}dx$

Giải:

Đặt u=Inx; dv=(4x+3)dx

du=$\frac{1}{x}dx$ và v=$2x^{2}+3x$

Khi đó I=$(2x+3x)lnx|\begin{matrix}2\\ 1\end{matrix}+\int_{1}^{2}\frac{2x+3x}{x}dx$
$=14ln2-0-x^{2}+3x|\begin{matrix}2\\ 1\end{matrix}$
$=14ln2-0-\left [ (2^{2}+3.2) -(1^{2}+3)\right ]$
$=14ln2-(10-4)=14ln2-6$

2. Một số bài tập tính tích phân lượng giác và phương pháp giải chi tiết

Trên đây là toàn bộ công thức kèm bài tập minh họa nhằm giúp các em hiểu rõ hơn về kiến thức tích phân hàm lượng giác . Bên cạnh đó, các em có thể truy cập vào Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để luyện tập thêm các bài tập và phục vụ ôn thi THPT Quốc Gia nhé! Chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia 2022 sắp tới.