3 phương pháp tìm tập nghiệm của bất phương trình mũ siêu nhanh

Tác giả Minh Châu 11:57 21/10/2024 50,194 Tag Lớp 12

Nội dung bài viết giới thiệu tới các em học sinh các phương pháp giải các bài tập tìm tập nghiệm của bất phương trình mũ. Cùng Vuihoc điểm danh những dạng bài cơ bản và cách xử trí nhanh gọn đối với từng dạng bài nhé!

3 phương pháp tìm tập nghiệm của bất phương trình mũ siêu nhanh

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

Để nắm vững phương pháp tìm tập nghiệm của bất phương trình mũ, các em cùng đọc và ghi nhớ bảng tổng quan về bất phương trình mũ dưới đây nhé!

Tải xuống ngay bộ tài liệu lý thuyết về bất phương trình mũ mà các thầy cô VUIHOC đã chọn lọc và biên soạn nhé!

Tải lý thuyết về bất phương trình mũ

1. Ôn tập về bất phương trình mũ

1.1. Lý thuyết chung về bất phương trình mũ

Như đã học trong chương trình lớp 12, bất phương trình mũ cơ bản có dạng tổng quát như sau: $a^{x} > b$ (hoặc $a^{x} < b$ ; $a^{x} \geq b$ ; $a^{x} \leq b$ ), trong đó a, b là hai số đã cho, $a > 0$ , a ≠ 1.

Minh hoạ bằng đồ thị:

Vẽ đồ thị hàm số $y=a^{x}$ và đường thẳng $y=b$ trên cùng một hệ trục toạ độ.

TH1: $a>1$

Nếu $b\leq 0$ thì $a^{x}>b$ với mọi x.
Nếu $b>0$ thì $a^{x}>b$ với $x>log_{a}b$

TH1: $0<a<1$

Nếu $b\leq 0$ thì $a^{x}>b$ với mọi x.
Nếu $b>0$ thì $a^{x}>b$ với $x<log_{a}b$

Dưới đây là ví dụ trong sách giáo khoa chúng ta đã học về cách tìm tập nghiệm của bất phương trình mũ cơ bản:

Ví dụ (SGK Toán 12 - Trang 86): Giải bất phương trình: $3^{x^{2}-x} < 9$

Giải: Bất phương trình đã cho có thể viết dưới dạng: $3^{x^{2}-x} < 3^{2}$

Vì cơ số 3 lớn hơn 1, ta có: $x^{2}-x < 2$

Đây là bất phương trình bậc 2 quen thuộc, giải bất phương trình này ta được -1 < x< 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình mũ đã cho là khoảng (-1;2)

1.2. Các dạng bất phương trình mũ cơ bản

Dạng 1 : $a^{x} > b$ (a > 0, a ≠ 1)
$a^{x} > b$	Nghiệm
$a^{x} > b$	$a > 1$	$0 < a < 1$
$b \leq 0$	R	R
$b > 0$	$(log_{a}b; +\infty )$	$(-\infty ; log_{a}b )$

Dạng 2 : $a^{x} \geq b$ (a > 0, a ≠ 1)

$a^{x} \geq b (a > 0, a \neq 1 )$	Nghiệm
$a^{x} \geq b (a > 0, a \neq 1 )$	$a > 1$	$0 < a < 1$
$b \leq 0$	R	R
$b > 0$	$[log_{a}b; +\infty )$	$(-\infty ; log_{a}b]$

Dạng 3 : $a^{x} < b$ (a > 0, a ≠ 1)

$a^{x} < b (a > 0, a \neq 1 )$	Nghiệm
$a^{x} < b (a > 0, a \neq 1 )$	$a > 1$	$0 < a < 1$
$b \leq 0$	R	R
$b > 0$	$(-\infty ; log_{a}b )$	$(log_{a}b; +\infty)$

Dạng 4: $a^{x} \leq b$ (a > 0, a ≠ 1)

$a^{x} \leq b (a > 0, a \neq 1 )$	Nghiệm
$a^{x} \leq b (a > 0, a \neq 1 )$	$a > 1$	$0 < a < 1$
$b \leq 0$	R	R
$b > 0$	$(-\infty ; log_{a}b ]$	$[log_{a}b; +\infty)$

2. Các phương pháp tìm tập nghiệm của bất phương trình mũ nhanh nhất

2.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số

Ta có tổng quát về cách tìm tập nghiệm của bất phương trình mũ bằng phương pháp đưa về cùng cơ số:

Ngoài ra, chúng ta có thể đưa về cùng cơ số bằng cách biến đổi logarit hoá:

Cùng xem xét một số ví dụ sau để hiểu rõ hơn về cách áp dụng phương pháp đưa về cùng cơ số để tìm nghiệm của bất phương trình mũ:

Ví dụ 1 bài tập tìm nghiệm của bất phương trình mũ

Ví dụ 2 bài tập tìm nghiệm của bất phương trình mũ

2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ

Học sinh có thể vận dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải quyết các bài toán tìm tập nghiệm của bất phương trình mũ dạng phức tạp hơn như mũ logarit, hệ bất phương trình,... để đưa về dạng bất phương trình cơ bản.

Chúng ta xét ví dụ sau để hiểu hơn về cách áp dụng phương pháp này:

Ví dụ 3 bài tập tìm nghiệm của bất phương trình mũ

2.3. Phương pháp đánh giá - sử dụng tính đơn điệu để tìm tập nghiệm của bất phương trình mũ

Trước khi áp dụng phương pháp này, ta cần nắm vững tính đơn điệu của hàm số:

Xét hàm số $y=a^{x}$ :

Nếu a > 1: $y=a^{x}$ đồng biến trên R.
Nếu 0 < a < 1: $y=a^{x}$ nghịch biến trên R

Ta có thể suy ra được:

Tổng của hai hàm số đồng biến trên D là hàm số đồng biến trên D.
Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.

Cho hàm số f(x) và g(x) nếu:

f(x) đồng biến trên D.
g(x) nghịch biến trên D.

Suy ra: f(x) - g(x) đồng biến trên D.

Ta xét ví dụ minh hoạ sau:

Ví dụ 4 bài tập tìm tập nghiệm của bất phương trình mũ

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

3. Bài tập áp dụng

Cùng VUIHOC luyện tập một số các bài tập điển hình của dạng toán tìm tập nghiệm của bất phương trình mũ nhé! Nhớ lưu tài liệu về để có thể học bất cứ lúc nào!

Tải xuống bộ bài tập tìm tập nghiệm của bất phương trình mũ

Trên đây là toàn bộ 3 phương pháp tìm tập nghiệm của bất phương trình mũ, hỗ trợ rất nhiều cho các em trong kỳ thi THPT Quốc gia cũng như quá trình học trên trường lớp. Chúc các em học tốt!

Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết