Giải Bài 1 Toán 12: Sự Đồng Biến Nghịch Biến Của Hàm Số

Tác giả Cô Hiền Trần 14:18 21/10/2024 83,804 Tag Lớp 12

Trong chương trình toán 12 sự đồng biến nghịch biến của hàm số là một phần kiến thức thường xuất hiện ở các đề thi đại học. Để học tốt phần này, các em cần nắm được lý thuyết và là cơ sở để giải bài tập. Các em hãy cùng ôn tập lý thuyết và bài tập về hàm số đồng biến nghịch biến lớp 12 với VUIHOC nhé!

Giải Bài 1 Toán 12: Sự Đồng Biến Nghịch Biến Của Hàm Số

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Lý thuyết toán 12 sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Toán 12 sự đồng biến nghịch biến của hàm số

1.1. Tính đơn điệu của hàm số định nghĩa như thế nào?

Một trong những tính chất quan trọng của hàm số trong chương trình Toán 12 là tính đơn điệu (đồng biến – nghịch biến hay tăng – giảm).

Ta có hàm số y = f(x) xác định trên một miền D bất kỳ.

- Hàm số f(x) được gọi là đồng biến (hay tăng) trên D nếu: $\forall x_{1}, x_{2} \in D: x_{1} < x_{2}$ thì $f (x_{1}) < f(x_{2})$

- Hàm số f(x) được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên D nếu: $\forall x_{1}, x_{2} \in D: x_{1} > x_{2}$ thì $f (x_{1}) < f(x_{2})$

Cách hiểu đơn giản: Hàm số đồng biến là hàm số có x và f(x) cùng tăng hoặc cùng giảm; hàm số nghịch biến là hàm số mà nếu x tăng thì f(x) giảm và x giảm thì f(x) tăng.

1.2. Điều kiện thỏa mãn để hàm số đơn điệu

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên (a;b):

- Nếu f’(x) ≥ 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b).

- Nếu f’(x) ≤ 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b).

1.3. Các bước xét tính đơn điệu của hàm số

4 bước xét tính đơn điệu của hàm số cụ thể như sau:

- Bước 1: Tìm tập xác định.

- Bước 2: Tìm đạo hàm f’(x) rồi tìm các điểm xᵢ (i = 1, 2, …, n) sao cho tại đó đạo hàm không xác định hoặc đạo hàm bằng 0.

- Bước 3: Sắp xếp lại các điểm xᵢ theo thứ tự tăng dần rồi lập bảng biến thiên.

- Bước 4: Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Đăng ký nhận ngay bí kíp nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán 12

2. Bài tập về sự đồng biến nghịch biến của hàm số lớp 12

2.1. Xét tính đơn điệu của hàm số đồng biến nghịch biến lớp 12

Bài tập 1: Hãy xét tính đơn điệu của hàm số sau: y = x³ – 3x² + 2

Giải:

Bước 1: Hàm số y = x³ – 3x² + 2 xác định với mọi x ∊ R

Bước 2: Ta có: y’=3x²– 6x

Xét y’=0 ⇒ 3x²– 6x = 0 ⇔ x = 0, x = 2

Bước 3: Bảng biến thiên

Bảng biến thiên của hàm số y = x³–3x²+2 - kiến thức về Toán 12 sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Bước 4: Kết luận

- Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞;0) và (2;+∞) và nghịch biến trên khoảng (0;2).

Bài tập 2: Xét tính đơn điệu của hàm số y = x⁴ – 2x² + 1

Giải:

Ta có: y = x⁴ – 2x² + 1, hàm số xác định với mọi x ∊ R

y’ = 4x³ – 4x = 4x (x² – 1)

Cho y’ = 0 ⇒ 4x (x² – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = 1

Bảng biến thiên:

Bảng biến thiên của hàm số y = x⁴ – 2x² + 1 - kiến thức về Toán 12 sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Xét bảng biến thiên có thể kết luận:

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1;+∞).
Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng (-∞;-1) và (0;1).

2.2. Phương pháp tìm điều kiện của tham số khi hàm số đơn điệu

Bài tập 3: Xác định tham số m để thỏa mãn hàm số $y= \frac{1}{3}x^{3} + (m+1)x^{2} - (m+1)x+1$ đồng biến trên tập xác định.

Giải:

Xét hàm số: $y= \frac{1}{3}x^{3} + (m+1)x^{2} - (m+1)x+1$

Có: $y'= x^{2} +2 (m+1)x - (m+1)$

Do hệ số $a= \frac{1}{3} > 0$

Nên để hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định thì phương trình y'=0 phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

Tức là: $\Delta ' \leqslant 0$

$\Leftrightarrow (m+1)^{2} + (m+1) \leq 0$

$\Leftrightarrow -1 \leqslant m +1 \leqslant 0$

$\Leftrightarrow -2 \leqslant m \leq -1$

Bài tập 4: Xác định tham số m để hàm số $y= \frac{x^{2} +mx+3}{m-x}$ luôn nghịch biến

Giải:
Toán 12 sự đồng biến nghịch biến của hàm số

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Thông qua những kiến thức trong bài viết, hi vọng các em đã có thể vận dụng lý thuyết vào làm bài tập sự đồng biến nghịch biến của hàm số thuộc chương trình Toán 12. Để có thể học thêm nhiều phần bài giảng thú vị và chi tiết khác, các em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản để bắt đầu quá trình học tập của mình nhé!

Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết

Bài viết tham khảo thêm:

Cực trị của hàm số

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số