Chinh phục mọi bài tập vận dụng cao logarit

Trước khi đi chi tiết vào bài viết, các em hãy cùng VUIHOC nhận định độ khó cũng như tổng quan về các bài tập vận dụng cao logarit dưới bảng sau nhé:

Chi tiết hơn về lý thuyết hàm logarit và các công thức áp dụng vào bài tập vận dụng cao logarit, các em tải tại link dưới đây:

Tải xuống file lý thuyết hàm logarit - vận dụng cao logarit

1. Ôn lại lý thuyết về logarit và hàm logarit áp dụng vận dụng cao logarit

1.1. Lý thuyết về logarit

Về định nghĩa:

Logarit viết tắt là Log là phép toán nghịch đảo của lũy thừa. Theo đó, logarit của một số b là số mũ của cơ số a (giá trị cố định), phải được nâng lên lũy thừa để tạo ra số a đó. Một cách đơn giản, logarit là một phép nhân có số lần lặp đi lặp lại. 

Ví dụ: $log_ab=y$ giống như $a^y=b$. Nếu logarit cơ số 10 của 1000 là 3, ta có $10^3$ là $1000=10.10.10=10^3$ hay là $log_{10}1000=3$. Như vậy, phép nhân ở ví dụ được lặp đi lặp lại 3 lần.

Công thức chung của logarit có dạng logab trong đó $b>0$, $0<a\neq 1$.

Về điều kiện xác định:

Để có nghĩa, logarit $log_ab$ có 2 điều kiện cần ghi nhớ như sau:

• Không có logarit của số âm, nghĩa là $b>0$.

• Cơ số phải dương và khác 1, nghĩa là $0<a\neq 1$

1.2. Lý thuyết về hàm logarit

Về định nghĩa:

Hàm logarit nói theo cách hiểu đơn giản là hàm số có thể biểu diễn được dưới dạng logarit. Theo chương trình Đại số THPT các em đã được học, hàm logarit có định nghĩa bằng công thức như sau:

Cho số thực $0<a\neq 1$, hàm số $y=log_ax$ được gọi là hàm số logarit cơ số a. 

Về điều kiện xác định:

Xét hàm số $y=log_ax$, ta có 3 điều kiện hàm logarit ở dạng tổng quát như sau:

• $0<a\neq 1$, $x>0$

• Xét trường hợp hàm số $y=log_a[U(x)]$ điều kiện $U(x)>0$. Nếu $a$ chứa biến $x$ thì ta bổ sung điều kiện $0<a\neq 1$

• Xét trường hợp đặc biệt: $y=log_a[U(x)]^n$ điều kiện $U(x)>0$ nếu n lẻ; $U(x)\neq 0$ nếu $n$ chẵn. 

Tổng quát lại: $y=log_au(x)(a>0,a\neq 1)$ thì điều kiện xác định là $u(x)>0$ và $u(x)$ xác định.

Về khảo sát và vẽ đồ thị:

Đồ thị hàm logarit $y=log_ax$ được biểu diễn như sau:

• Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục $Oy$ và luôn đi qua các điểm $(1;0)$ và $(a;1)$ và nằm phía bên phải trục tung.
• Đồ thị nhận trục tung là tiệm cận đứng.

Ta rút ra được nhận xét sau: Đồ thị hàm số $y=a^x$ và $y=log_ax$, $(0<a\neq 1,x>0)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$ (góc phần tư thứ nhất và thứ 3 trong hệ trục toạ độ $Oxy$).

1.3. Các công thức cần nhớ khi giải bài tập vận dụng cao logarit

Công thức 1: Bất đẳng thức AM - GM

• Cho 2 số thực dương a,b khi đó $a+b\geq 2\sqrt{ab}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b$

• Cho 3 số thực dương a, b, c khi đó $a+b+c\geq \sqrt[3]{abc}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

Công thức 2: Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

Cho 2 bộ số ($x_1$, $x_2$,...,$x_n$) và ($y_1$, $y_2$,..., $y_n$) khi đó ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi các số lập thành các bộ số tỉ lệ.

Công thức 3: Bất đẳng thức Minkowski

Tổng quát: Cho số thực $r_1$ và mọi số dương $a_1$, $a_2$,...$a_n$, $b_1$, $b_2$,..., $b_n$ thì ta có:

Ở đây chỉ xét trường hợp cho 2 bộ số (a_1, a_2,..., a_n) và ($b_1$, $b_2$,... $b_n$). Khi đó ta có:

Dấu “=” xảy ra khi $a_1b_1$=$a_2b_2$=...=$a_nb_n$

Dạng mà ta hay gặp nhất trong các bài tập vận dụng cao logarit là công thức: $a_2+b_2+c_2+d_2(a+c)^2+(b+d)^2$. Bất đẳng thức này còn gọi là bất đẳng thức Vector.

Công thức 4: Bất đẳng thức trị tuyệt đối

Cho 2 số thực a, b khi đó ta có: $\left | a \right |+\left | b \right |\geq \left | a+b \right |\geq \left | a \right |-\left | b \right |$

Dấu “=” thứ nhất khi a,b cùng dấu; Dấu “=” thứ 2 khi a,b trái dấu.

Công thức 5: Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2

Cho phương trình $ax^2+bx+c=0(a\neq 0)$. Khi đó nếu:

• Delta bằng 0 thì phương trình có nghiệm, đồng nghĩa vế trái luôn không âm hoặc không dương.

• Delta lớn hơn 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Ứng dụng của công thức này sẽ áp dụng cho những bài tập vận dụng cao logarit dạng tìm điều kiện có nghiệm để suy ra min, max. Ngoài ra các em phải chú ý tới một số phép biến đổi logarit mà ta đã được học.

Công thức 6: Tính chất hàm đơn điệu

• Nếu hàm số $f(x)$ đơn điệu và liên tục trên tập xác định của nó thì phương trình $f(x)=a$ có tối đa 1 nghiệm.

• Nếu hàm số $f(x)$ đơn điệu và không liên tục trên tập xác định của nó thì phương trình $f(x)=a$ có tối đa $n+1$ nghiệm.

2. Các dạng bài tập vận dụng cao logarit và ví dụ minh hoạ

2.1. Các bài toán cực trị vận dụng cao logarit

Dạng 1: Dùng kỹ thuật rút thế - đánh giá điều kiện đưa về hàm 1 biến số

Đây là một kỹ thuật cơ bản nhất khi giải bài toán vận dụng cao logarit. Hầu hết dạng này sẽ được giải quyết bằng cách thế một biểu thức từ giả thiết xuống yêu cầu từ đó sử dụng các công cụ như đạo hàm, bất đẳng thức để giải quyết bài toán vận dụng cao logarit.

Các em cùng VUIHOC xét các ví dụ minh hoạ sau đây:

Dạng 2: Hàm đặc trưng

Dạng toán vận dụng cao logarit này đề bài sẽ cho các em phương trình hàm đặc trưng từ đó ta sẽ đi tìm mối liên hệ giữa các biến và rút thế và giả thiết thứ 2 để giải quyết yêu cầu bài toán. Nhìn chung dạng toán này ta chỉ cần nắm chắc được kỹ năng biến đổi làm xuất hiện được hàm đặc trưng kết hợp với kiến thức về đạo hàm là sẽ được giải quyết.

Ta có tính chất sau của hàm số:

Nếu hàm số $y=f(x)$ đơn điệu 1 chiều trên miền D và tồn tại $u$, với mọi $u$ thuộc D thì khi đó phương trình $f(u)=f(v)$ khi và chỉ khi $u=v$.

Chúng ta cùng xét ví dụ minh hoạ sau:

Dạng 3: Sử dụng định lý Viet trong các bài toán vận dụng cao logarit

Phương pháp chung của các bài toán ở dạng này hầu hết sẽ đưa giả thiết phương trình logarit về dạng một tam thức, sau đó sử dụng định lý Viet và các phép biến đổi logarit để giải quyết.

Ta cùng xét ví dụ về dạng bài tập vận dụng cao logarit này:

Dạng 4: Sử dụng phương pháp đánh giá bất đẳng thức

Đây là phương pháp đặc trưng nhất và là 1 dạng toán vận dụng cao logarit được lấy ý tưởng từ đề thi THPT quốc gia năm 2018. Ta cùng xét ví dụ sau để hiểu cách làm bài toán này:

2.2. Các bài toán liên quan tới tham số

Dạng 1: Ứng dụng tam thức bậc 2

Ta xét ví dụ minh hoạ sau:

Dạng 2: Sử dụng ứng dụng của đạo hàm giải bài tập vận dụng cao logarit

Bài toán 1: Tìm $m$ để phương trình $f(x;m)=0$ có nghiệm trên D?

• Bước 1: Độc lập $m$ ra khỏi biến số $x$ và đưa về dạng $f(x)=A(m)$

• Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ trên D

• Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị của tham số m để đường thẳng $y=A(m)$ nằm ngang cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$

• Bước 4: Kết luận những giá trị cần tìm của m để phương trình $f(x)=A(m)$ có nghiệm trên D.

Bài toán 2: Tìm $m$ để bất phương trình $f(x;m)\geq 0$ hoặc $f(x;m)\leq 0$ có nghiệm trên D?

• Bước 1: Độc lập m ra khỏi biến số x và đưa về dạng $f(x)\geq A(m)$ hoặc $f(x)\leq A(m)$.

• Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ trên D

• Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị của tham số $m$ để bất phương trình có nghiệm.

  • Với bất phương trình $f(x)\geq A(m)$ đó là những m sao cho tồn tại phần đồ thị nằm trên đường thẳng $y=A(m)$, tức là $A(m)\leq maxf(x)$ 

  • Với bất phương trình $f(x)\leq A(m)$ đó là những m sao cho tồn tại phần đồ thị nằm dưới đường thẳng $y=A(m)$, tức là $A(m)\geq min f(x)$

Khi giải các bài tập vận dụng cao logarit sử dụng ứng dụng của đạo hàm, các em cần lưu ý:

• Các bài toán liên quan hệ phương trình, hệ bất phương trình thì ta cần biến đổi chuyển về các phương trình và bất phương trình.

• Khi đổi biến, cần quan tâm đến điều kiện của biến mới.

Chúng ta cùng xét ví dụ sau đây để hiểu rõ hơn về các dạng bài tập vận dụng cao logarit sử dụng đạo hàm:

2.3. Các bài toán liên quan tới đồ thị

Đồ thị vận dụng cao logarit là dạng toán rất thịnh hành trong 3 năm thi đại học gần đây với những bài tập sáng tạo và biến tấu đa dạng. Mấu chốt của những bài toán này gần giống với bài toán tham số, các em sẽ phát hiện các điểm đặc biệt trên đồ thị, kết hợp các kiến thức mà ta đã học để giải quyết nó.

3. Bài tập áp dụng

Để hiểu rõ hơn và vận dụng tốt hơn các công thức để giải các bài toán vận dụng cao logarit, các em cần tập luyện nhiều dạng bài tập khác nhau. Khi luyện nhiều bài tập, các em sẽ hình thành phản xạ trong việc nhận diện đề bài để áp dụng công thức thích hợp. VUIHOC đã biên soạn bộ tài liệu đầy đủ các dạng bài tập vận dụng cao logarit thường xuất hiện trong các đề kiểm tra và đề thi. Các em nhớ tải về để luyện tập nhé!

Tải xuống file bài tập vận dụng cao logarit có giải chi tiết

Trên đây là tổng hợp mọi lý thuyết và các dạng bài tập vận dụng cao logarit sẽ xuất hiện trong các câu hỏi điểm 9, 10. Chúc các em gặp vận dụng cao mà không hề ngán nữa nhé!