Các dạng bài tập bất đẳng thức thường gặp trong toán 9
Bất đẳng thức là một phần quan trọng trong chương trình Toán 9, yêu cầu khả năng tư duy logic và kỹ thuật làm bài vững chắc. Bài viết này sẽ tổng hợp những dạng bài tập bất đẳng thức thường gặp cùng với cách giải chi tiết để bạn làm chủ dạng toán này.
1. Các dạng bài tập bất đẳng thức cosi (Cauchy)
1.1 Tổng quan kiến thức
| Dạng hai số không âm | Dạng ba số không âm | Dạng tổng quát với n số không âm | |
| Tổng sang tích | $x+y\geq2\sqrt{xy}$ | $x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$ | $x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\geq n\sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}$ |
| Tích sang tổng | $\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}$ $\sqrt{xy}\leq \left ( \frac{x+y}{2} \right )^{2}$ |
$\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{x+y+z}{3}$ $xyz\leq \left ( \frac{x+y+z}{3} \right )^{3}$ |
$\sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}\leq \frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}$ $x_{1}x_{2}...x_{n}\leq \left ( \frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n} \right )^{n}$ |
| Dạng lũy thừa |
$x^{2}+y^{2}\geq 2xy$ Dấu "=" xảy ra khi x = y |
$\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{x+y+z}{3}$ $xyz\leq \frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{3}$ Dấu "=" xảy ra khi x = y = z |
$x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+...+x_{n}^{n}\geq x_{1}x_{2}...x_{n}$ Dấu "=" xảy ra khi x1 = x2 =...= xn |
| Dạng đặc biệt | $x=x.1\leq \frac{x^{2}+1}{2}$ | $x=x.1.1\leq \frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{3}$ | $x=x.1.1.....1\leq \frac{x^{n}+n-1}{n}$ |
* Bất đẳng thức trung gian:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}\forall x>0; y>0$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y.
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}\forall x>0; y>0; z>0$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
1.2 Một số ví dụ về dạng bài tập bất đẳng thức cosi
a. Dạng bài tổng sang tích
Bài 1: Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 4x2 - 3x + $\frac{1}{4}x$ + 2011.
Lời giải: Có M = 4x2 - 3x + $\frac{1}{4}x$ + 2011
$=(2x-1)^{2}+\left ( x+\frac{1}{4x} \right )+2010\geq 0+2\sqrt{x.\frac{1}{4x}}+2010=2011$
Vậy MinM = 2011 khi $x=\frac{1}{2}$
Bài 2: Cho x > y > 0 và xy = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $H=\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}$
Có $H=\frac{x^{2}+y^{2}-2xy + 2xy}{x-y}=\frac{(x-y)^{2}+4}{x-y}$
$=(x-y)+\frac{4}{x-y}\geq 2\sqrt{(x-y).\frac{4}{x-y}}=4$
Vậy MinH = 4 khi:
$\left\{\begin{matrix}
x-y=\frac{4}{x-y} \\xy=2
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x-y=2 \\xy=2
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
y=2-x\\x^{2}-2x-2=0
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=\sqrt{3}+1 \\y=\sqrt{3}-1
\end{matrix}\right.$
b. Dạng bài tích sang tổng, nhân bằng số thích hợp
Bài 1: Cho $a\geq 0;b\geq 0; a^{2}+b^{2}\leq 2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $M=a\sqrt{b(a+2b)}+b\sqrt{a(b+2a)}$
Lời giải:
Xét: $M.\sqrt{3}$
$=a\sqrt{3b(a+2b)}+b\sqrt{3a(b+2a)}\leq a.\frac{3b(a+2b)}{2}+b.\frac{3a+(b+2a)}{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{2}+5ab\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}+5.\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\leq 6\Rightarrow M\leq 2\sqrt{3}$
Vậy MaxM = $2\sqrt{3}$ khi a = b = 1
Bài 2: $a\geq 1; b\geq 1$. Chứng minh $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$
Có: $\sqrt{b-1}=\sqrt{1.(b-1)}\leq \frac{1+(b-1)}{2}=\frac{b}{2}\Rightarrow a\sqrt{b-1}\leq \frac{ab}{2}$
Và tương tự:
$b\sqrt{a-1}\leq \frac{ab}{2}\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq \frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}=ab\Rightarrow dpcm$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2.
c. Dạng bài qua một bước biến đổi rồi sử dung BĐT cosi
Bài 1: Cho a > 0; b > 0; c > 0 và ab + bc + ac = 3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$P=\frac{a^{2}}{c(c^{2}+a^{2})}+\frac{b^{2}}{a(a^{2}+b^{2})}+\frac{c^{2}}{b(b^{2}+c^{2})}$
Lời giải:
Có: $P=\frac{a^{2}}{c(c^{2}+a^{2})}+\frac{b^{2}}{a(a^{2}+b^{2})}+\frac{c^{2}}{b(b^{2}+c^{2})}$
$=\frac{a^{2}+c^{2}-c^{2}}{c(c^{2}+a^{2})}+\frac{b^{2}+a^{2}-a^{2}}{a(a^{2}+b^{2})}+\frac{c^{2}+b^{2}-b^{2}}{b(b^{2}+c^{2})}$
$=\left ( \frac{1}{c}-\frac{c}{c^{2}+a^{2}} \right )+ \left ( \frac{1}{a}-\frac{a}{a^{2}+b^{2}} \right )+\left ( \frac{1}{b}-\frac{b}{b^{2}+c^{2}} \right )\geq \left ( \frac{1}{c}-\frac{c}{2\sqrt{c^{2}a^{2}}} \right )+\left ( \frac{1}{a}-\frac{a}{2\sqrt{a^{2}b^{2}}} \right )+\left ( \frac{1}{b}-\frac{b}{2\sqrt{b^{2}c^{2}}} \right )$
$=\left ( \frac{1}{c}-\frac{1}{2a} \right )+\left ( \frac{1}{b}-\frac{1}{2b} \right )+\left ( \frac{1}{b}-\frac{1}{2c} \right )=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=\frac{ab+bc+ac}{2abc}=\frac{3}{2}$
Vậy MinP = 3/2 khi a = b = c = 1.
Bài 2: Cho a, b, c > 0 và
d. Dạng bài ghép cặp đôi
e. Dạng bài kết hợp đặt ẩn phụ và dự đoán kết quả
f. Dạng bài tìm lại điều kiện của ẩn
2. Các dạng bài tập bất đẳng thức bunhia
