img

Các dạng bài tập bất đẳng thức thường gặp trong toán 9

Tác giả Hoàng Uyên 15:31 19/12/2024 Tag Lớp 9

Bất đẳng thức là một phần quan trọng trong chương trình Toán 9, yêu cầu khả năng tư duy logic và kỹ thuật làm bài vững chắc. Bài viết này sẽ tổng hợp những dạng bài tập bất đẳng thức thường gặp cùng với cách giải chi tiết để bạn làm chủ dạng toán này.

Các dạng bài tập bất đẳng thức thường gặp trong toán 9
Mục lục bài viết
1. Các dạng bài tập bất đẳng thức cosi (Cauchy)
1.1 Tổng quan kiến thức
1.2 Một số ví dụ về dạng bài tập bất đẳng thức cosi

1. Các dạng bài tập bất đẳng thức cosi (Cauchy) 

1.1 Tổng quan kiến thức

  Dạng hai số không âm Dạng ba số không âm Dạng tổng quát với n số không âm
Tổng sang tích x+y2xy x+y+z3xyz3 x1+x2+...+xnnx1x2...xnn
Tích sang tổng xyx+y2
xy(x+y2)2
xyz3x+y+z3
xyz(x+y+z3)3
x1x2...xnnx1+x2+...+xnn
x1x2...xn(x1+x2+...+xnn)n
Dạng lũy thừa

x2+y22xy
xyx2+y22

Dấu "=" xảy ra khi x = y

xyz3x+y+z3
xyzx3+y3+z33
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z

x1n+x2n+...+xnnx1x2...xn
x1x2...xnx1n+x2n+...+xnnn

Dấu "=" xảy ra khi x1 = x2 =...= xn

Dạng đặc biệt x=x.1x2+12 x=x.1.1x3+y3+z33 x=x.1.1.....1xn+n1n

* Bất đẳng thức trung gian: 

1x+1y4x+yx>0;y>0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y. 

1x+1y+1z9x+y+zx>0;y>0;z>0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. 

1.2 Một số ví dụ về dạng bài tập bất đẳng thức cosi

a. Dạng bài tổng sang tích

Bài 1: Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 4x2 - 3x + 14x + 2011.

Lời giải: Có M = 4x2 - 3x + 14x + 2011

=(2x1)2+(x+14x)+20100+2x.14x+2010=2011

Vậy MinM = 2011 khi x=12

Bài 2: Cho x > y > 0 và xy = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H=x2+y2xy

Có H=x2+y22xy+2xyxy=(xy)2+4xy

=(xy)+4xy2(xy).4xy=4

Vậy MinH = 4 khi: 

{xy=4xyxy=2{xy=2xy=2{y=2xx22x2=0{x=3+1y=31

b. Dạng bài tích sang tổng, nhân bằng số thích hợp

Bài 1: Cho a0;b0;a2+b22. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M=ab(a+2b)+ba(b+2a)

Lời giải:
Xét: M.3

=a3b(a+2b)+b3a(b+2a)a.3b(a+2b)2+b.3a+(b+2a)2=a2+b22+5aba2+b22+5.a2+b226M23

Vậy MaxM = 23 khi a = b = 1

Bài 2: a1;b1. Chứng minh ab1+ba1ab

Có: b1=1.(b1)1+(b1)2=b2ab1ab2

Và tương tự: 

ba1ab2ab1+ba1ab2+ab2=abdpcm

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2.  

c. Dạng bài qua một bước biến đổi rồi sử dung BĐT cosi

Bài 1: Cho a > 0; b > 0; c > 0 và ab + bc + ac = 3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P=a2c(c2+a2)+b2a(a2+b2)+c2b(b2+c2)

Lời giải: 
Có: P=a2c(c2+a2)+b2a(a2+b2)+c2b(b2+c2)

=a2+c2c2c(c2+a2)+b2+a2a2a(a2+b2)+c2+b2b2b(b2+c2)

=(1ccc2+a2)+(1aaa2+b2)+(1bbb2+c2)(1cc2c2a2)+(1aa2a2b2)+(1bb2b2c2)

=(1c12a)+(1b12b)+(1b12c)=12(1a+1b+1c)=ab+bc+ac2abc=32

Vậy MinP = 3/2 khi a = b = c = 1. 

Bài 2: Cho a, b, c > 0 và 

 

d. Dạng bài ghép cặp đôi

e. Dạng bài kết hợp đặt ẩn phụ và dự đoán kết quả

f. Dạng bài tìm lại điều kiện của ẩn 

2. Các dạng bài tập bất đẳng thức bunhia

 

Banner after post bài viết tag lớp 9
0 | 0 đánh giá
Hotline: 0987810990