Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông| Toán 8 chương trình mới

Tác giả Hoàng Uyên 08:41 23/04/2024 10,880 Tag Lớp 8

Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông có điều gì khác với các trường hợp bằng nhau của tam giác? Theo dõi bài học ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông để biết cách chứng minh hai tam giác đồng dạng.

Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông| Toán 8 chương trình mới

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông

- Từ các trường hợp đồng dạng góc - góc và cạnh - góc - cạnh của hai tam giác trong bài ba trường hợp đồng dạng của tam giác ta suy ra định lý:

+ Định lý 1: Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

+ Định lý 2: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

$\large \Delta ABC$ vuông tại A, $\large \Delta A'B'C'$ vuông tại A'

Nếu $\large \widehat{B'}=\widehat{B}$ thì $\large \Delta A'B'C' \sim \Delta ABC$

Nếu $\large \frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}$ thì $\large \Delta A'B'C' \sim \Delta ABC$

2. Trường hợp đồng dạng đặc biệt của hai tam giác vuông

- Định lý: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

- Chứng minh định lý:

Áp dụng định lý pythargore cho tam giác vuông A'B'C' và ABC, ta có:

B'C'² = A'B'² + A'C'² ; BC² = AB² + AC²

=> B'C'² - A'B'² và BC² - AB² = AC².

Từ giả thiết: $\large \frac{B'C'}{BC}=\frac{A'B'}{AB}$ ta có:

$\large \frac{B'C'^{2}}{BC^{2}}=\frac{A'B'^{2}}{AB^{2}}=\frac{A'B'^{2}-A'B'^{2}}{BC^{2}-AB^{2}}=\frac{A'C'^{2}}{AC^{2}}$

Do đó: $\large \frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}$
=> $\large \Delta A'B'C' \sim \Delta ABC$ (c.c.c)

Duy nhất khóa học DUO tại VUIHOC dành riêng cho cấp THCS, bạn sẽ được học tập cùng các thầy cô đến từ top 5 trường chuyên toàn quốc. Nhanh tay đăng ký thôi bạn ơi!!!!

3. Bài tập các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

3.1 Bài tập các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông toán 8 kết nối tri thức

Bài 9.24

+ Cặp tam giác vuông ở hình a) không đồng dạng vì $\large \frac{1}{1}\neq \frac{2}{4}$

+ Cặp tam giác vuông ở hình b) không đồng dạng vì $\large \frac{\sqrt{3}}{1}\neq \frac{4}{2}$

+ Cặp tam giác vuông ở hình c) không đồng dạng vì hai góc nhọn không bằng nhau.

+ Cặp tam giác vuông ở hình d) đồng dạng với nhau vì hai cạnh huyền của hai tam giác tỉ lệ với nhau.

Bài 9.25

Xét hai tam giác vuông OBN (vuông tại N) và tam giác OAM (vuông tại M) có:

Góc nhọn $\large \widehat{O}$ chung.

=> $\large \Delta OAM \sim \Delta OBN$

Bài 9.26

a) Ta có AC = 3AB.

$\large \Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{1}{3}$

- Có B′D′ = 3A′B′.

$\large \Rightarrow \frac{A'B'}{B'D'}=\frac{1}{3}$

Do đó: $\large \frac{AB}{AC}=\frac{A'B'}{B'D'}$

$\large \Rightarrow \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{B'D'}$

Mà A'B'C'D' là hình chữ nhật nên A'C' = B'D'

$\large \Rightarrow \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$

Xét tam giác vuông ABC (vuông tại B) và tam giác vuông A'B'C' (vuông tại B') có

$\large \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$

=> $\large \Delta ABC\sim \Delta A'B'C'$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

b) Vì A′B′ = 2AB.

$\large \Rightarrow \frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{2}$

Mà $\large \Delta ABC\sim \Delta A'B'C'$

$\large \Rightarrow \frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{2}$

+ Ta có diện tích hình chữ nhật ABCD là: AB.BC

+ Diện tích hình chữ nhật A'B'C'D' là: A′B′.B′C′.

Xét tỉ lệ diện tích hai hình chữ nhật ABCD và A'B'C'D', có:

$\large \frac{AB.BC}{A'B'.B'C'}=\frac{AB}{A'B'}.\frac{BC}{B'C'}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

=> A′B′ . B′C′ = 4AB. BC = 4.2 = 8 m².

Vậy diện tích hình chữ nhật A'B'C'D' là 8 m².

Bài 9.27

a) Vì $\large \Delta ABC\sim \Delta A'B'C'$ theo tỉ số k nên $\large \widehat{B}=\widehat{B'};\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=k$

Xét tam giác A'H'B' vuông tại H' và tam giác AHB vuông tại H có: $\large \widehat{B}=\widehat{B'}$

Do đó $\large \Delta A'H'B'\sim \Delta AHB$ .

$\large \Rightarrow \frac{A'H'}{AH}=\frac{A'B'}{AB}=k$

b) Diện tích tam giác ABC là:

$\large S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AH.BC$

Diện tích tam giác A'B'C' là:

$\large S_{\Delta A'B'C'}=\frac{1}{2}A'H'.B'C'$

Xét tỉ lệ diện tích giữa hai tam giác A'B'C' và tam giác ABC:

$\large \frac{\frac{1}{2}A'H'.B'C'}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{A'H'}{AH}.\frac{B'C'}{BC}=k.k=k^{2}$

$\large \Rightarrow \frac{1}{2}A'H'.B'C'=k^{2}.\frac{1}{2}AH.BC$

Vậy diện tích tam giác A'B'C' bằng k² lần diện tích tam giác ABC.

Bài 9.28

Ta có A'M' = 1 cm = 0,01 m; A'B' = 5 cm = 0,05 m.

Xét $\large \Delta$ A′M′B′ (vuông tại A') và $\large \Delta$ AMB (vuông tại A) có $\large \widehat{A'M'B'}=\widehat{AMB}$ (giả thiết).

Do đó, $\large \Delta$ A′M′B′ $\large \sim$ $\large \Delta$ AMB.

$\large \Rightarrow \frac{A'M'}{AM}=\frac{A'B'}{AB}\Leftrightarrow \frac{0,01}{2}=\frac{0,05}{AB}$ .

$\large \Rightarrow AB=\frac{0,05.2}{0,01}=10m$

Vậy khoảng cách từ A đến B là 10 m.

3.2 Bài tập các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông toán 8 chân trời sáng tạo

Bài 1

Xét hai tam giác vuông TUV và MKN, ta có:

$\large \frac{UV}{KN}=\frac{TV}{MN}=\frac{2}{3}$

$\large \Rightarrow \Delta TUV\sim \Delta MKN$ (c.g.c)

Xét hai tam giác vuông DEF và GHI, ta có:

$\large \frac{DE}{GH}=\frac{DF}{GI}=\frac{6}{5}$

$\large \Rightarrow \Delta DEF\sim \Delta GHI$ (c.g.c).

Tam giác PQR có $\large \widehat{P}=90^{o}-48^{o}=42^{o}$

Xét hai tam giác vuông BAC và PQR, ta có: $\large \widehat{B}=\widehat{P}=42^{o}$

$\large \Rightarrow \Delta BAC\sim \Delta PQR$ (g.g).

Bài 2

a) Xét tam giác vuông DEF và HDE có: $\large \widehat{E}$ chung

Vậy $\large \Delta DEF \sim \Delta HDF (g.g)$

b) Từ câu b: $\large \Delta DEF \sim \Delta HDF (g.g)$

$\large \Rightarrow \frac{DF}{FH}=\frac{FE}{DF}$ (các cạnh tương ứng).

Do đó DF² = FH.FE (đpcm).

c) Thay EF = 15 cm, FH = 5,4 cm ta có:

DF² = 5,4.15 = 81 suy ra DF = 9 cm.

Bài 3

Xét ta giác vuông MEF và MAB ta có: $\large \widehat{M}$ chung

$\large \Rightarrow \Delta MEF \sim \Delta MAB$ (g.g) nên $\large \frac{EF}{AB}=\frac{MF}{MB}$ (các cạnh tương ứng).

Khi đó $\large \frac{1,65}{AB}=\frac{2}{20}$ suy ra $\large AB=\frac{1,65.20}{2}=16,5(cm)$

Vậy AB = 16,5 (cm).

Bài 4

Xét tam giác vuông ABE và ACD có $\large \widehat{B}=\widehat{C}$

Suy ra $\large \Delta ABE\sim \Delta ACD(g.g)$ nên $\large \frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CD}$ (các cạnh tương ứng).

Khi đó $\large \frac{20}{AC}=\frac{25}{15}$ nên $\large AC=\frac{20.15}{25}=12(cm)$

Vậy AC = 12 cm.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABE, ta có:

BE² = AB²+ AE²

Suy ra $\large AE=\sqrt{BE^{2}-AB^{2}}=\sqrt{25^{2}-20^{2}}=15$

Do đó CE = AE – AC = 15 – 12 = 3 (cm).

Vậy CE = 3 cm.

Bài 5

a) Ta có BH $\large \perp$ AE, CJ $\large \perp$ AE nên BH // CJ.

$\large \Rightarrow \widehat{ABH}=\widehat{BCD}$ (hai góc so le trong)

Xét hai tam giác vuông ABH và DCB có:

$\large \widehat{ABH}=\widehat{BCD}$ (chứng minh trên).

=> $\large \Delta ABH\sim \Delta DCB$ (g.g).

b) $\large \Delta ABH\sim \Delta DCB$ nên $\large \widehat{A}=\widehat{BDC}$

Xét tam giác vuông DCB và AEB ta có: $\large \widehat{A}=\widehat{BDC}$

Suy ra $\large \Delta DCB\sim \Delta AEB$ (g.g) nên $\large \frac{BC}{BE}=\frac{BD}{BA}$ (đpcm).

Bài 6

Gọi chiều cao của tòa nhà là h = A'C' và cọc tiêu AC = 3 m.

Khoảng cách từ chân đến mắt người đo là DE = 1,5 m.

Cọc xa cây một khoảng A'A = 27 m, và người cách cọc một khoảng AD = 1,2 m và gọi B là giao điểm của C'E và A'A.

Vì A'C' $\large \perp$ A'B, AC ⊥ A'B, DE $\large \perp$ A'B nên A'C' // AC // DE.

$\large \Delta DEB\sim \Delta ACB$ (vì DE // AC)

$\large \Rightarrow \frac{DE}{AC}=\frac{DB}{AB}$ (các cặp cạnh tương ứng).

Mà AC = 3 m; DE = 1,5 m nên

$\large \frac{1,5}{3}=\frac{DB}{AB}\Rightarrow \frac{DB}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{DB}{1}=\frac{AB}{2}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\large \frac{DB}{1}=\frac{AB}{2}=\frac{AB-DB}{2-1}=\frac{AD}{1}=1,2$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{1}=1,2\Rightarrow DB=1,2$

$\large \frac{AB}{2}=1,2\Rightarrow AB=2,4$

Do đó A'B = A'A + AD + DB = 27 + 1,2 + 1,2 = 29,4 (m)

$\large \Delta ACB\sim \Delta A'C'B$ (vì AC // A'C')

$\large \Rightarrow \frac{AB}{A'B}=\frac{AC}{A'C'}$ (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó $\large A'C'=\frac{AC.A'B}{AB}=\frac{2.29,4}{2,4}=24,5(m)$

Vậy tòa nhà cao 24,5 m.

Bài 7

a) Xét hai tam giác vuông AMH và AHB có: $\large \widehat{A}$ chung

Suy ra $\large \Delta AMH\sim \Delta AHB$ (g.g)

b) $\large \Delta AMH\sim \Delta AHB$ nên $\large \frac{AM}{AH}=\frac{AH}{AB}$ hay AM.AB = AH² (1)

Xét hai tam giác vuông ANH và AHC có: $\large \widehat{A}$ chung

Suy ra $\large \Delta ANH\sim \Delta AHC$ (g.g) nên $\large \frac{AN}{AH}=\frac{AH}{AC}$ hay AN.AC = AH² (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM.AB = AN.AC (đpcm).

c) Ta có AM.AB = AN.AC, do đó $\large \frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}$

Xét hai tam giác vuông AMN và ABC có:

$\large \frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}$ (chứng minh trên)

Do đó $\large \Delta ANM\sim \Delta ABC$ (c.g.c)

d) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² = 9² + 12² = 225.

=> BC = 15 cm.

Xét hai tam giác vuông ABC và HBA có $\large \widehat{B}$ chung

Do đó $\large \Delta ABC\sim \Delta HBA$ (g.g).

$\large \Rightarrow \frac{AC}{AH}=\frac{BC}{AB}$ (các cặp cạnh tương ứng).

Khi đó AH.BC = AB.AC hay AH.15 = 9.12.

Suy ra AH = 7,2 cm.

• Từ (1): AM.AB = AH² nên:

$\large AM=\frac{AH^{2}}{AB}=\frac{7,2^{2}}{9}=5,76(cm)$

• Từ (2): AN.AC = AH² nên:

$\large AN=\frac{AH^{2}}{AC}=\frac{7,2^{2}}{12}=4,32(cm)$

Diện tích tam giác AMN là:

$\large \frac{1}{2}.5,76.4,32=12,4416 cm^{2}$

Vậy diện tích tam giác AMN là 12,4416 cm².

HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN TOP 5 TRƯỜNG ĐIỂM QUỐC GIA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học cá nhân hóa, giúp con tăng 3 - 6 điểm chỉ sau 1 khóa học

⭐ Học chắc - ôn kỹ, tăng khả năng đỗ vào các trường chuyên cấp 2, cấp 3

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo mong muốn và thời gian biểu cá nhân

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô, hỗ trợ con 24/7

⭐ Học lý thuyết đi đôi với thực hành, kết hợp chơi và học giúp con học hiệu quả

⭐ Công nghệ AI cảnh báo học tập tân tiến, giúp con tập trung học tập

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập được biên soạn bởi các thầy cô TOP 5 trường điểm quốc gia

Trải nghiệm khóa học DUO hoàn toàn miễn phí ngay!!

Trên đây là lý thuyết Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông toán 8 chi tiết cùng hướng dẫn giải bài tập cuối sách toán 8 kết nối tri thức, chân trời sáng tạo. Tham khảo thêm các bài học khác trong chương trình toán 8 tại trang web vuihoc.vn bạn nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm: