Góc ở vị trí đặc biệt, tia phân giác của một góc| Toán 7 chương trình mới

Tác giả Hoàng Uyên 15:34 03/05/2024 17,469 Tag Lớp 7

Các góc ở vị trí đặc biệt sẽ có tính chất gì? Tia phân giác của một góc xác định như thế nào? Tham khảo bài viết góc ở vị trí đặc biệt, tia phân giác của một góc toán 7 trong bài viết dưới đây.

Góc ở vị trí đặc biệt, tia phân giác của một góc| Toán 7 chương trình mới

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Góc ở vị trí đặc biệt

a. Hai góc kề bù

- Hai góc có một cạnh chung, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau được gọi là hai góc kề bù. Hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180^o.

- Chú ý: Hai góc kề bù được hiểu là hai góc vừa kề nhau, vừa bù nhau. Trong đó:

+ Hai góc kề nhau là hai góc có một cạnh chung và hai cạnh còn lại nằm khác phía nhau đối với đường thẳng chứa cạnh chung đó.

+ Hai góc bù nhau là hai góc có tổng số đo bằng 180^o.

b. Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh cảu góc này là tia đối của một cạnh của góc kia. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

2. Tia phân giác của một góc

2.1 Định nghĩa tia phân giác là gì

- Tia nằm giữa hai cạnh của một góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau được gọi là tia phân giác của góc đó. Đường thẳng chứa tia phân giác của một góc gọi là đường phân giác của góc đó.

- Tính chất: Khi Oz là tia phân giác củ góc xOy thì $\large \widehat{xOz}=\widehat{yOz}=\frac{1}{2}\widehat{xOy}$

* Định lý thuận về tia phân giác:

Tất cả các điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì khoảng cách từ điểm đó tới 2 cạnh của góc bằng nhau.

* Định lí đảo về tia phân giác:

- Các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

- Tập hợp tất cả các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc chính là tia phân giác của góc đó.

2.2 Các tính chất của tia phân giác

Trong tam giác, đường phân giác của một góc sẽ chia cạnh đối diện của góc đó thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Lưu ý: Định lý trên vẫn đúng với tia phân giác của góc ngoài tam giác

Ví dụ: Cho tam giác ABC có 2 đoạn thẳng AD và AE lần lượt là đường phân giác trong và góc ngoài tại đỉnh A của tam giác.

Khi đó ta có: $\frac{DC}{BC} = \frac{AB}{AC}$ và $\frac{EB}{EC} = \frac{AB}{AC}$

Duy nhất khóa học DUO tại VUIHOC dành riêng cho cấp THCS, các em sẽ được học tập cùng các thầy cô đến từ top 5 trường chuyên toàn quốc. Nhanh tay đăng ký thôi !!!!

3. Một số dạng bài tập về đường phân giác

3.1. Dạng 1: Chứng minh tia phân giác của một góc cho trước

Phương pháp giải: Chứng minh đường thẳng Oy là tia phân giác của góc xOz

- Phương pháp 1. Chứng minh tia Oy giữa giữa 2 tia Ox và Oz

Ta có thể chứng minh 2 điểm bất kỳ thuộc tia Oy có khoảng cách với 2 tia Ox và Oz bằng nhau

- Cách 2: Chứng minh sự liên hệ giữa các góc: $\widehat{xOy} = \widehat{yOz} = \frac{1}{2}\widehat{xOz}$

- Cách 3: Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân và đồng thời là tia phân giác của đỉnh tam giác cân đó

Bài 1: Cho tam giác ABC, hai đường phân giác của hai góc ngoài đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại E. Chứng minh E thuộc phân giác trong của BAC.

Hướng dẫn giải

Từ điểm E ta hạ lần lượt EH vuông góc BC, đoạn thẳng EF vuông góc AB và EG vuông góc AC (với các điểm H thuộc BC, F thuộc AB và G thuộc AC).

Từ đó ta có:

EF = EH ( do điểm E thuộc phân giác ngoài của $\widehat{FBC}$ ) (1)

và EH = EG (E do điểm thuộc phân giác ngoài của $\widehat{HCG}$ ) (2)

Từ (1) và (2) ta có: EF = EG => E thuộc tia phân giác trong của $\widehat{BAC}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Bài 2: Cho tam giác vuông ABC (góc A bằng 90^o) . Từ một điểm K bất kì nằm trên cạnh BC, kẻ KH vuông góc AC (với điểm H thuộc AC). Trên tia đối của tia HK lấy điểm I sao cho thỏa mãn điều kiện HI = HK. Chứng minh rằng:

a. AB // HK

b. $\widehat{KAH} = \widehat{IAH}$

c. Chứng minh tam giác AKI là tam giác cân

Hướng dẫn giải

a. Ta có: $AB \perp AC$ ( do tam giác ABC vuông tại A),

KH $\perp$ AC (theo giả thiết đề bài ra)

=> AB // KH (dựa theo tính chất từ vuông góc đến song song)

b. Xét 2 tam giác AHK và AHI, ta có:

HK = HI (theo giả thiết đề bài ra)

$\widehat{AHK} = \widehat{AHI} = 90^{o}$ (theo giả thiết đề bài ra)

AH là cạnh chung chung

Do đó, tam giác AHK = tam giác AHI (theo tính chất 2 cạnh góc vuông)

=> $\widehat{KAH} = \widehat{IAH} = 90^{0}$ (hai góc tương ứng)

c. Theo kết quả câu b, ta có: $\Delta$ AHK = $\Delta$ AHI => AK = AI (hai cạnh tương ứng)

Vậy tam giác AKI là tam giá cân tại điểm A.

3.2. Dạng 2: Tính số đo góc

Bài 1. Cho hai $\widehat{xOy}$ và góc $\widehat{yOz}$ là hai góc kề bù, biết rằng $\widehat{xOy}$ = 120^o

a. Tính $\widehat{yOz}$

b. Gọi Om là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ . Tính $\widehat{zOm}$

Hướng dẫn giải

a. Do góc $\widehat{xOy}$ và góc $\widehat{yOz}$ là hai góc kề bù nên ta có góc $\widehat{xOy}$ + $\widehat{yOz}$ = 180^o hay góc $\widehat{yOz}$ = 180 - $\widehat{xOy}$ = 60^o

b. Ta có tia Om là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ nên $\widehat{xOm}$ = $\widehat{mOy}$ = $\frac{\widehat{xOy}}{2} = \frac{120}{2} = 60^{o}$

Hai góc $\widehat{xOm}$ và $\widehat{zOm}$ là 2 góc kề bù nên $\widehat{zOm} + \widehat{zOm} = 180^{o}$

=> $\widehat{zOm} = 120^{o}$

Bài 2. Cho hai góc kề nhau góc AOB và góc BOC sao cho góc AOB = 50, góc BOC = 80. Gọi OD là tia đối của tia OC.

a. Tính số đo góc AOC

b. chứng tỏ tia OA nằm giữa hai tia OB và OD

c. Tia OA có phải là tia phân giác của BOD không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

a. Ta có: $\widehat{AOC} = \widehat{AOB} + \widehat{BOC} = 50 + 80 = 130^{o}$

b. Ta có: $\widehat{AOC} < \widehat{COD} (130 < 180)$ và góc $\widehat{COB} < \widehat{AOC} (80 < 130)$

Do vậy, tia OA nằm giữa tia OB và OD

c. Tia OA nằm giữa hai tia OD và OD

$\Rightarrow \widehat{COD} = \widehat{COA} + \widehat{AOD} \Rightarrow \widehat{AOD} = 50^{o}$

Từ đó suy ra: $\widehat{AOD} = \widehat{AOB} = 50^{o}$

Kết hợp với kết quả câu b, OA nằm giữa hai tia OD và OB nên OA là tia phân giác của $\widehat{BOD}$ .

3.3. Dạng 3: Vận dụng tính chất của một góc để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau

Phương pháp giải: Áp dụng định lí thuận của đường phân giác: Nếu một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì điểm đó cách đều hai cạnh của góc đó.

Bài 1. Cho tam giác ABC có chiều dài đoạn AB < AC. Tia phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng BC tại trung điểm của BC tại điểm D. Gọi 2 điểm H và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ D tới các đường thẳng AB, AC. Chứng minh: BH = CK.

Hướng dẫn giải

Ta có: điểm D thuộc phân giác của góc A

DH vuông góc với AB, DK vuông góc với AC (theo giả thiết đề bài ra)

=> DH = DK (dựa trên tính chất tia phân giác của một góc)

Gọi điểm G là trung điểm của BC

Xét tam giác BGD và tam giác CGD, ta có:

$\widehat{BGD} = \widehat{CGD} = 90^{o}$ (do DG là đường trung trực của BC)

BG = CG (theo giả thiết mà đề bài ra)

DG là cạnh chung

Do vậy, tam giác BGD = tam giác CGD (hai cạnh góc vuông)

=> BD = CD (hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác BHD và tam giác CKD có:

$\widehat{BHD} = \widehat{CKD} = 90^{o}$

DH = DK (chứng minh trên)

BD = CD (chứng minh trên)

Suy ra, tam giác BHD = tam giác CKD (dựa trên tính chất cạnh huyền - cạnh góc vuông)

=> BH = CK (hai cạnh tương ứng)

HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN TOP 5 TRƯỜNG ĐIỂM QUỐC GIA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học cá nhân hóa, giúp con tăng 3 - 6 điểm chỉ sau 1 khóa học

⭐ Học chắc - ôn kỹ, tăng khả năng đỗ vào các trường chuyên cấp 2, cấp 3

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo mong muốn và thời gian biểu cá nhân

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô, hỗ trợ con 24/7

⭐ Học lý thuyết đi đôi với thực hành, kết hợp chơi và học giúp con học hiệu quả

⭐ Công nghệ AI cảnh báo học tập tân tiến, giúp con tập trung học tập

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập được biên soạn bởi các thầy cô TOP 5 trường điểm quốc gia

Trải nghiệm khóa học DUO hoàn toàn miễn phí ngay!!

Trên đây là những kiến thức về bài học làm quen với Góc ở vị trí đặc biệt, tia phân giác của một góc trong chương trình toán lớp 7. Qua bài học, các em đã biết được về khái niệm vị trí góc đặc biệt cũng như phương pháp giải một số dạng bài liên quan tới tia phân giác. Theo dõi các bài học mới nhất của VUIHOC trên trang web vuihoc.vn và đừng quên để lại thông tin để được tư vấn lộ trình học toán THCS hiệu quả nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm: