Lí thuyết và bài tập tam giác cân toán 7 Chương trình mới

Tác giả Hoàng Uyên 17:15 15/05/2024 6,257 Tag Lớp 7

Để hiểu rõ hơn về định nghĩa, tính chất của tam giác cân, mời bạn cùng theo dõi bài học tam giác cân toán 7 chương trình kết nối tri thức, chân trời sáng tạo, cánh diều.

Lí thuyết và bài tập tam giác cân toán 7 Chương trình mới

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Tam giác cân là gì?

1.1 Định nghĩa

- Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

- Ví dụ:

Tam giác ABC có AB = AC, khi đó:

$\large \Delta ABC$ cân tại A;
AB, AC là các cạnh bên, BC là cạnh đáy;
$\large \widehat{B}; \widehat{C}$ là góc ở đáy, $\large \widehat{A}$ là góc ở đỉnh.

1.2 Tính chất tam giác cân

- Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

- Ví dụ:

Vì $\large \Delta ABC$ cân tại A nên $\large \widehat{B}=\widehat{C}$

Mà $\large \widehat{B}=45^{o}$ nên $\large \widehat{C}=45^{o}$

Do $\large \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{o}\Rightarrow \widehat{A}=90^{o}$

=> Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân. Trong tam giác vuông cân, mỗi góc ở đáy bằng 45^o.

1.3 Dấu hiệu nhận biết tam giác cân

- Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

- Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều. Tam giác cân có một góc bằng 60^o là tam giác đều.

2. Cách vẽ tam giác cân

- Dùng thước thẳng có đơn vị chia và compa để vẽ tam giác cân ABC có cạnh đáy BC = 4cm, cạnh bên AB = AC = 3cm.

Để vẽ tam giác ABC, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Vẽ đoạn thẳng BC = 4cm

Bước 2: Vẽ một phần đường tròn tâm B bán kính 3cm và một phần đường tròn tâm C bán kính 3cm, chúng cắt nhau tại điểm A.

Bước 3: Vẽ các đoạn thẳng AB, AC. Ta hoàn thành tam giác ABC.

3. Đường trung trực của một đoạn thẳng

- Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó. Đường trung trực của một đoạn thẳng cũng là trục đối xứng của đoạn thẳng đó.

- Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Khóa học DUO dành riêng cho các em bậc THCS từ nhà trường VUIHOC, các em sẽ được học cùng các thầy cô TOP trường điểm quốc gia với kinh nghiệm giảng dạy phong phú. Đăng ký học thử để được trải nghiệm buổi học trực tuyến hoàn toàn miễn phí nhé!

4. Bài tập tam giác cân lớp 7

4.1 Bài tập tam giác cân lớp 7 kết nối tri thức

Bài 4.23 trang 84 SGK toán 7/1 kết nối tri thức

Do tam giác ABC cân tại A nên $\large \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ hay $\large \widehat{FBC}=\widehat{ECB}$

Xét hai tam giác FCB vuông tại F và EBC vuông tại E có:

$\large \widehat{FBC}=\widehat{ECB}$ (chứng minh trên).

BC chung.

Do đó $\large \Delta$ FCB = $\large \Delta$ EBC (cạnh huyền – góc nhọn).

Vậy BE = CF (2 cạnh tương ứng).

Bài 4.24 trang 84 SGK toán 7/1 kết nối tri thức

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Do M là trung điểm của BC nên MB = MC.

Xét hai tam giác ABM và ACM có:

AB = AC (chứng minh trên).

AM chung.

MB = MC (chứng minh trên).

Do đó $\large \Delta$ ABM = $\large \Delta$ ACM (c – c – c).

Khi đó $\large \widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (2 góc tương ứng).

Mà $\large \widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^{o}$ (2 góc kề bù) nên $\large \widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90^{o}$

Do đó $\large AM\perp BC$

Do $\large \Delta$ ABM = $\large \Delta$ ACM nên $\large \widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (2 góc tương ứng).

Do đó AM là tia phân giác của $\large \widehat{BAC}$

Bài 4.25 trang 84 SGK toán 7/1 kết nối tri thức

Do M là trung điểm của BC nên MB = MC.

Do $\large AM\perp BC$ nên tam giác AMB vuông tại M, tam giác AMC vuông tại M.

Xét hai tam giác AMB vuông tại M và AMC vuông tại M có:

AM chung.

MB = MC (chứng minh trên).

Do đó $\large \Delta$ AMB = $\large \Delta$ AMC (2 cạnh góc vuông).

Khi đó AB = AC (2 cạnh tương ứng).

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy tam giác ABC cân tại A.

Do AM là tia phân giác của $\large \widehat{BAC}$ nên $\large \widehat{BAM}=\widehat{CAM}$

Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = MA.

Xét hai tam giác AMC và IMB có:

AM = IM (theo giả thiết).

$\large \widehat{AMC}=\widehat{IMB}$ (hai góc đối đỉnh).

MC = MB (theo giả thiết).

Do đó $\large \Delta$ AMC = $\large \Delta$ IMB(c – g – c).

Khi đó $\large \widehat{CAM}=\widehat{BIM}$ (2 góc tương ứng) và AC = BI (2 cạnh tương ứng).

Mà $\large \widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ nên $\large \widehat{BAM}=\widehat{BIM}$ hay $\large \widehat{BAI}=\widehat{BIA}$

Tam giác BIA có $\large \widehat{BAI}=\widehat{BIA}$ nên tam giác BIA cân tại B hay BI = BA.

Mà BI = AC nên AB = AC.

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy tam giác ABC cân tại A.

Bài 4.26 trang 84 SGK toán 7/1 kết nối tri thức

a) Giả sử tam giác ABC vuông tại A và cân tại B.

Khi đó $\large \widehat{A}=\widehat{C}=90^{o}$ .

Xét tam giác ABC có $\large \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{o}$

$\large \Rightarrow \widehat{B}=0^{o}$ (vô lý).

Vậy tam giác ABC phải cân ở đỉnh A hay tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông.

Tam giác ABC vuông tại A nên $\large \widehat{B}+\widehat{C}=90^{o}$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Mà tam giác ABC cân tại A nên $\large \widehat{B}=\widehat{C}=45^{o}$

Vậy tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45^o.

Tam giác ABC vuông tại A nên $\large \widehat{B}+\widehat{C}=90^{o}$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Do đó $\large \widehat{C}=90^{o}-\widehat{B}=45^{o}$

Tam giác ABC có $\large \widehat{C}=\widehat{B}=45^{o}$ nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45^o là tam giác vuông cân.

Bài 4.27 trang 84 SGK toán 7/1 kết nối tri thức

Trong Hình 4.70, ta thấy đường thẳng m vuông góc với AB tại trung điểm của AB nên đường thẳng m là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài 4.28 trang 84 SGK toán 7/1 kết nối tri thức

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $\large \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ hay $\large \widehat{ABD}=\widehat{ACD}$

Do AD là đường cao của tam giác ABC hay AD ⊥ BC tại D nên tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACD vuông tại D.

Xét hai tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACD vuông tại D có:

AB = AC (chứng minh trên).

$\large \widehat{ABD}=\widehat{ACD}$ (chứng minh trên).

Do đó Δ ABD=Δ ACD (cạnh huyền – góc nhọn).

Khi đó BD = CD (2 cạnh tương ứng) hay D là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Do AD vuông góc với BC tại trung điểm của BC nên AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Vậy đường thẳng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

4.2 Bài tập tam giác cân lớp 7 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 62 SGK toán 7/2 Chân trời sáng tạo

+) Xét Hình 13a:

ΔAMC có AM = MC nên ΔAMC cân tại M.

ΔABM có AB = AM = BM nên ΔABM đều.

+) Xét Hình 13b:

ΔDEH có DE = DH nên ΔDEH cân tại D.

ΔGEF có GE = GF nên ΔGEF cân tại G.

ΔEHF có EH = EF nên ΔEHF cân tại E.

Do đó các tam giác cân: ΔDEH , ΔGEF, ΔEHF.

ΔEDG có DE = EG = DG nên ΔEDG đều.

+) Xét Hình 13c:

ΔEGH có EG = EH nên ΔEGH cân tại E.

ΔIGH có IG = IH nên ΔIGH cân tại I.

ΔIGH cân có $\large \widehat{GIH}=60^{o}$ nên ΔIGH đều.

+) Xét Hình 13d:

Trong tam giác MBC có: $\large \widehat{B}=180^{o}-\widehat{M}-\widehat{C}=180^{o}-71^{o}-38^{o}=71^{o}$

Tam giác MBC có $\large \widehat{M}=\widehat{B}$ nên tam giác MBC cân tại C.

Bài 2 trang 62 SGK toán 7/2 Chân trời sáng tạo

a) Do EI là tia phân giác của $\large \widehat{DEF}$ nên $\large \widehat{DEI}=\widehat{FEI}$

Xét ΔEID và ΔEIF có:

ED = EF (theo giả thiết).

$\large \widehat{DEI}=\widehat{FEI}$ (chứng minh trên).

EI chung.

Do đó ΔEID = ΔEIF (c.g.c).

b) Do ΔEID=ΔEIF (c.g.c) nên ID = IF (2 cạnh tương ứng).

Tam giác DIF có ID = IF nên tam giác DIF cân tại I.

Bài 3 trang 63 SGK toán 7/2 Chân trời sáng tạo

a) Tam giác ABC cân tại A nên $\large \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

Trong tam giác ABC có: $\large \widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^{o}-\widehat{BAC}$

Do đó $\large 2\widehat{ABC}=180^{o}-56^{o}=124^{o}\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}=62^{o}$

b) Do M là trung điểm của AB nên AM = 1/2AB.

Do N là trung điểm của AC nên AN = 1/2AC.

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Do đó AM = AN.

Tam giác AMN có AM = AN nên tam giác AMN cân tại A.

c) Do tam giác AMN cân tại A nên $\large \widehat{AMN}=\widehat{ANM}$

Trong tam giác AMN có: $\large \widehat{AMN}+\widehat{ANM}=180^{o}-\widehat{NAM}$

Do đó $\large 2\widehat{AMN}=180^{o}-56^{o}=124^{o}\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{ANM}=62^{o}$

Khi đó $\large \widehat{ABC}=\widehat{AMN}=62^{o}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên MN // BC.

Bài 4 trang 63 SGK toán 7/2 Chân trời sáng tạo

a) Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\large \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

Do BF là tia phân giác của $\large \widehat{ABC}$ nên $\large \widehat{ABF}=\widehat{FBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$

Do CE là tia phân giác của $\large \widehat{ACB}$ nên $\large \widehat{ACE}=\widehat{ECB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$

Do đó $\large \widehat{ABF}=\widehat{ACE}$

b) Xét ΔABF và ΔACE có:

$\large \widehat{ABF}=\widehat{ACE}$ (chứng minh trên).

AB = AC (chứng minh trên).

$\large \widehat{A}$ chung

Do đó ΔABF=ΔACE (g.c.g).

Suy ra AF = AE (2 cạnh tương ứng).

Tam giác AEF có AF = AE nên tam giác AEF cân tại A.

c) Ta có $\large \widehat{FBC}=\widehat{ECB}$ nên $\large \widehat{IBC}=\widehat{ICB}$

Tam giác IBC có $\large \widehat{IBC}=\widehat{ICB}$ nên tam giác IBC cân tại I.

Do đó IB = IC.

Xét ΔEIB và ΔFIC có:

$\large \widehat{EIB}=\widehat{FIC}$ (đối đỉnh).

IB = IC (chứng minh trên).

$\large \widehat{EBI}=\widehat{FCI}$ (chứng minh trên).

Do đó ΔEIB = ΔFIC (g.c.g).

Suy ra IE = IF (2 cạnh tương ứng).

Tam giác IEF có IE = IF nên tam giác IEF cân tại I.

Bài 5 trang 63 SGK toán 7/2 Chân trời sáng tạo

Dựa vào Hình 17b và tam giác ABC cân nên tam giác ABC cân tại A.

Do đó AB = AC và $\large \widehat{B}=\widehat{C}$

Khi đó AC = 20 cm và $\large \widehat{C}=35^{o}$

Chu vi của $\large \Delta$ ABC bằng: 20 + 20 + 28 = 68 (cm).

Trong tam giác ABC có: $\large \widehat{A}=180^{o}-\widehat{B}-\widehat{C}=180^{o}-35^{o}-35^{o}=110^{o}$

Vậy $\large \widehat{A}=110^{o},\widehat{C}=35^{o}$ ; chu vi của tam giác ABC bằng 68 cm.

4.3 Bài tập tam giác cân lớp 7 cánh diều

Bài 1 trang 96 SGK toán 7/2 cánh diều

Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Do M là trung điểm của AC nên AM = 1/2AC.

Do N là trung điểm của AB nên AN = 1/2AB.

Mà AB = AC nên AM = AN.

Xét $\large \Delta$ AMB và $\large \Delta$ ANC có:

AM = AN (chứng minh trên).

$\large \widehat{A}$ chung.

AB = AC (chứng minh trên).

Suy ra $\large \Delta$ AMB = $\large \Delta$ ANC (c - g - c).

Do đó BM = CN (2 cạnh tương ứng).

Bài 2 trang 96 SGK toán 7/2 cánh diều

Do AD là tia phân giác của $\large \widehat{BAC}$ nên $\large \widehat{DAB}=\widehat{DAE}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=60^{o}$

Do DE // AB nên $\large \widehat{DAB}=\widehat{ADE}$ (2 góc so le trong).

Do đó $\large \widehat{ADE}=60^{o}$

Xét $\large \Delta$ ADE có: $\large \widehat{AED}=180^{o}-\widehat{DAE}-\widehat{ADE}=180^{o}-60^{o}-60^{o}=60^{o}$

Tam giác ADE có $\large \widehat{DAE}=\widehat{ADE}=\widehat{AED}=60^{o}$ nên tam giác ADE đều.

Bài 3 trang 96 SGK toán 7/2 cánh diều

Xét $\large \Delta$ AMB và $\large \Delta$ AMC có:

AM chung.

BM = CM (M là trung điểm của BC).

AB = AC (tam giác ABC cân tại A).

Suy ra $\large \Delta$ AMB = $\large \Delta$ AMC (c - c - c).

Do đó $\large \widehat{MAB}=\widehat{MAC}$ (2 góc tương ứng).

Mà $\large \widehat{MAB}+\widehat{MAC}=90^{o}$ nên $\large \widehat{MAB}=\widehat{MAC}=45^{o}$

Tam giác ABC vuông cân tại A nên $\large \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ và $\large \widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^{o}$

Suy ra $\large \widehat{ABC}+\widehat{ACB}=45^{o}$

Tam giác MAB có $\large \widehat{MBA}=\widehat{MAB}=45^{o}$ nên tam giác MAB cân tại M (1).

Xét tam giác MAB có: $\large \widehat{AMB}=180^{o}-\widehat{MBA}-\widehat{MAB}=180^{o}-45^{o}-45^{o}=90^{o}$

Suy ra AM ⊥ BM hay tam giác MAB vuông tại M (2).

Từ (1) và (2) suy ra tam giác MAB vuông cân tại M.

Vậy tam giác MAB vuông cân tại M.

Bài 4 trang 96 SGK toán 7/2 cánh diều

a) Tam giác ABD đều nên AB = BD = DA và $\large \widehat{ABD}=\widehat{ADB}=\widehat{DAB}=60^{o}$

Tam giác BCE đều nên $\large \widehat{BCE}=\widehat{BEC}=\widehat{EBC}=60^{o}$

Ta có $\large \widehat{DAB}=\widehat{EBC}=60^{o}$ , mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên AD // BE.

$\large \widehat{ABD}=\widehat{BCE}=60^{o}$ , mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên BD // CE.

b) $\large \widehat{ABE}$ là góc ngoài tại đỉnh B của ∆EBC nên $\large \widehat{ABE}=\widehat{BCE}+\widehat{BEC}=60^{o}+60^{o}=120^{o}$

$\large \widehat{DBC}$ là góc ngoài tại đỉnh B của ∆ABD nên $\large \widehat{DBC}=\widehat{DAB}+\widehat{ADB}=60^{o}+60^{o}=120^{o}$

c) Xét ∆DBC và ∆ABE có:

DB = AB (chứng minh trên).

$\large \widehat{DBC}=\widehat{ABE}$

BC = BE (chứng minh trên).

Suy ra ∆DBC = ∆ABE(c - g - c).

Do đó CD = EA (2 cạnh tương ứng).

Vậy AE = CD.

Bài 5 trang 96 SGK toán 7/2 cánh diều

Tam giác ABC cân tại A nên $\large \widehat{B}=\widehat{C}$

Xét tam giác ABC: $\large \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{o}\Rightarrow \widehat{A}+2\widehat{B}=180^{o}$

$\large \Rightarrow 2\widehat{B}=180^{o}-\widehat{A}\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}=\frac{180^{o}-\widehat{A}}{2}$

a) Khi $\large \widehat{A}=120^{o}\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}=\frac{180^{o}-120^{o}}{2}=30^{o}$

Vậy khi góc ở đỉnh A khoảng 120° thì độ nghiêng của mái nhà so với mặt phẳng nằm ngang là khoảng 30°.

b) Khi $\large \widehat{A}=140^{o}\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}=\frac{180^{o}-140^{o}}{2}=20^{o}$

Vậy khi góc ở đỉnh A khoảng 140° thì độ nghiêng của mái nhà so với mặt phẳng nằm ngang là khoảng 20°.

c) Khi $\large \widehat{A}=148^{o}\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}=\frac{180^{o}-148^{o}}{2}=16^{o}$

Vậy khi góc ở đỉnh A khoảng 148° thì độ nghiêng của mái nhà so với mặt phẳng nằm ngang là khoảng 16°.

HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN TOP 5 TRƯỜNG ĐIỂM QUỐC GIA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học cá nhân hóa, giúp con tăng 3 - 6 điểm chỉ sau 1 khóa học

⭐ Học chắc - ôn kỹ, tăng khả năng đỗ vào các trường chuyên cấp 2, cấp 3

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo mong muốn và thời gian biểu cá nhân

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô, hỗ trợ con 24/7

⭐ Học lý thuyết đi đôi với thực hành, kết hợp chơi và học giúp con học hiệu quả

⭐ Công nghệ AI cảnh báo học tập tân tiến, giúp con tập trung học tập

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập được biên soạn bởi các thầy cô TOP 5 trường điểm quốc gia

Trải nghiệm khóa học DUO hoàn toàn miễn phí ngay!!

Trên đây là những kiến thức về bài học tam giác cân trong chương trình toán lớp 7. Qua bài học, các em đã biết được về khái niệm tam giác cân cũng như hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa. Theo dõi các bài học mới nhất của VUIHOC trên trang web vuihoc.vn và đừng quên để lại thông tin để được tư vấn lộ trình học toán THCS hiệu quả nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm: